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解 如何系统计算？ 引言 第三章 一元函数积分学 3.3 不定积分 例 一、定义 若在区间I 内 问题： (2) f(x)的原函数F(x)是否唯一？ (3) 若原函数F(x)不唯一, 它们之间有什么联系？ (1) f(x)满足什么条件则一定存在原函数F(x) ? 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 例 由原函数的定义可知： 证 不定积分的定义： 若在区间I内, F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(x)的所有原函数的一般表达式 F(x)+C (C为任意常数) 称为f(x)的不定积分，记为 不定积分号 被积表达式 f(x) dx =F(x)+C 积分变量 被积函数 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的 解设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. x y=x2+1 (1,2) y=x2+c o y 不定积分的几何意义： 设F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的 图形是 xoy 平面上的一条曲线，称此曲线 为 因为 所以在每条积分曲线上同一横坐标 x0 所对应的点的 切线的斜率都等于f(x0). 在几何上表明： f(x)的一条积分曲线. 在积分曲线 族的每条积分曲线 上横坐标 x 相同的点 作切线，这些切线是互相平行的.如下图所示： o x y x 二、 不定积分的性质 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的. 证 等式成立. 有限个可积函数代数和的积分等于积分的代数和 实例 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 三、 基本积分表 因此可以根据求导公式得出积分公式. 是常数); 有时简写为 积分基本公式： 例4 求积分 解 例5 求积分 解 例6 求积分 解 例7 求积分 解 拆分、凑项 （1+x2） 恒等变形 例8 求积分 解 解 所求曲线方程为 例10
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