矩阵特征值与特征向量的计算1-3节.pptVIP

计算方法课件：计算方法课件： 由何满喜、尚绪凤制作由何满喜、尚绪凤制作 中国计量学院理学院数学系 第八章 矩阵特征值特征向 量的计算 8.1 引言 8.4 反幂法 8.3 幂法 的加速与 降价 8.2 幂法 在本章，你将学到 8.1 引言 8.2 幂法 8.3 幂法的加速与降价 8.4 反幂法 8.5 计算 对称矩阵 特征值和 特征向量 的对分法 8.6 雅可比 方法 8.5 计算对称矩阵特征值和 特征向量的对分法 8.6 雅可比方法 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 8.1 引言 定义义1 设A是n阶实对称矩阵， 对于任一非零向量 ，数 称为向量x的瑞利商，其中 是向量x的内积。 (8.1) (8.2) 定理1 设A是n阶实对称矩阵，其特征值为 是对应 的正交特征向量,即 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 则 其中是向量x的瑞利商. 证证 设 是对应 于特征值 的正交特征向量，是任一向量,则 即 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 和 所以由可得和 由此可得 由于当向量x分别取 和时,就有 于是有 第八章 定理3称为盖尔圆盘定理,(8.3)称为盖尔圆盘. 矩阵特征值与特征向量的计算 定理3 设 则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘 之中： (8.3) 定理2 设是矩阵的特征值，则有 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 解 先计算盖尔圆盘 : 即矩阵阵A的特征值都满满足 。 例1 设有矩阵 试估计矩阵A的特征值的特征值的范围. 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 1 幂法 8.2 幂法 幂法的基本思想是： 若要求某个n阶矩阵A的特征值和特征向量， 先任取一个初始向量，构造如下向量序列： 式(8.5)就称为幂幂法的迭代公式，向量序列 称为幂 法的迭代向量或迭代序列。 当k增大时，分析这一序列的极限，即可求出 按模最大的特征值和对应 的特征向量。 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 例2 设有矩阵 试用幂法来计算按模最大的特征值。 解 矩阵A的两个特征值为 ,用公式(8.5)产生向量 ,计算结果列于表8.1.计算出向量序列 的同时还计 算相邻两个向量相应分量之比 和 (见书 表8.1)，由表8.1得： 用幂法,取初始向量 序列 第八章 矩阵特征值与特征向量的计算 从上面计算出的相应分量之比看出，两个相邻向 量 1.179339,并且这个值恰好就是矩阵A的按模最大 的特征值。 相应分量之比值，随k的增大而趋向于一个固定 值 问题：为什么这个比例值就是矩阵按模最大的特 征值？ 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 (8.9) (8.10) 设矩阵A的n个特征值按模的大小排列如下 其对应 的线性无关的特征向量组设为 假定这些向量已按其长度为1或其最大模元素 为1进行了归一化。 (8.6) 取 利用迭代公式(8.5)来构造迭代序列，则有 第八章 矩阵特征值与特征向量的计算 其中 若 由于,故k充分大时 是可以忽略的无穷小量，即当 (8.12) (1)如果矩阵A的按模最大的特征值满足 即按模最大的特征值是单实 根,则(8.10)式可写成 (8.11) 时有 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 (8.13) 这说 明与特征向量相差一个常数因子。 即使 ,由于计算过程的舍入误差,必将引入在 方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程 相同。 的进展而逐渐成为主导,其收敛情况最终也将 与 因此当 时由(8.13)得 (8.14) 这说 明当矩阵A的n个特征值满足(8.11)时， 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 矩阵A的按模最大的特征值是向量与 的比例，即有 (8.15) 从以上分析看出,幂法的收敛速率虽然与初始向量 的选择 有关,但主要还是依赖于比值 比值愈,收敛愈快,当比值接近于1时,收敛比较 慢. 的大小 . （2）如果矩阵A的按模最大的特征值满 足 (8.16) 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 即按模最大的特征值是2重实根或共轭复数根, 此时（8.10）式可写成 (8.17) 其中 由于 ，故k充分大时 无穷小量，即当时有 是可以忽略的 第八章 (8.18) (8.19) (8.20) 矩阵特征值与特征向量的计算 于是可得 (8.21) 记 (8.22) 则(8.21)可写成 (8.23) 所以A的特征值满 足(8.16)时，用公式(8.5)来构造 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 若(8.23)式成立,则此时矩阵A的按模最大的特征值 由公式 (8.24) 得到。 又利用(8.18)(8.20)可得 第八章 矩阵特征值与特征向量的计算 (8.25) 因此 所以A的特征值 对应 的特征 若则 对应 的特征向量是 时矩阵A的特征值 向量是 同理可得 时A的特征值 对应 的特征向 ,若,则 所以A的特征值对应 的特征向量是 (8.26) 因此 量是 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 例3 用幂法求矩阵 按模最大的特征值与对应 的特征向量。 解：用公式(8.5)可写出迭代公式 取初始向量 得到表8.2的结果。 ，用以上迭代公式计算 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 表中 ，即相邻两个向量 分量的比例，从表中计算结果可看出 ，所以有 对应 的特征向量可取为 第八章 2 改进的幂法 矩阵特征值与特征向量的计算 在实际计 算时为 了避免计算过程中出现绝对值 过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时， “归一化”，即用 的分量来除 归一化的向量 ，即实际计 算时所用公式为 对幂 法做这样 的“归一化”处理,就称为改进进的幂幂法. （8.27） 将向量序列的绝对值 最大 的各个分量，从而得出 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 如果按模最大的特征值满足(8.11),那么当k 充分大时有 （8.28） 即向量序列的按模最大的分量将收敛于按模 的符号可根据向量序列 的前后两个向量的分量符号来确定，当前后两个 此时归 一化后的向量就是对应 的特征向量. 最大的特征值 向量的分量符号相同时的符号取正,否则取负. 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 例4 用归一化的幂法求矩阵 按模最大的特征值与对应 的特征向量。 解 取初始向量 计算得到表8.3的结果.从表中计算结果可看出 且向量序列前后两个向量的符号相同,所以有 对应 的特征向量取为 ,用以上迭代公式(8.27) 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 第八章 1 幂法的加速 幂法的收敛速度依赖于按模最大特征值和按模次大 特征值之比,当这个比值很小时则 只需迭代较少的 几次就可求出按模最大特征值的一个很好的近似值 . 矩阵特征值与特征向量的计算 8.3 幂法的加速与降价 应该 考虑对 矩阵进 行适当的变换 ,使得变换 后的 这个矩阵有一个按模较大的特征值,并且变换 后 的新矩阵的按模最大特征值和按模次大特征值之 比要比 原矩阵的按模最大特征值和按模次大特征值之比 更大.这样对变换 后的新矩阵利用以上方法求其 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 (8.29) 先取一个常数对A做平移变换 ：,即用 来代替A进行迭代,因为A与 之间除 了 与有关系且相应的特征向量 不改变,因此有 按模最大的特征值,则其收敛速度将得到加快. 对角元素以外,其他元素都相同,它们之间的特征 值 为了加速迭代过程的收敛速度,适当选取 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 所以用此方法选取 有一定的困难. ,再在计算机上作些模拟计 算,考察使所取 对迭代过程是否有明显加速,然后再进行计算 . 比更小，如对于对称正定矩阵可以 这时 就有 这就是幂法加速的原点平移法. 因特征值的分布情况预先不知道 , 对矩阵的特征值分布大致有个了解后,粗略估计一 个 常用方法是可以用盖尔圆盘 定理 使 选取 第八章 2 幂法的降阶 矩阵特征值与特征向量的计算 基本思想： 对原矩阵A进行变换 ，使变换 后得到的矩阵 其按模最大的特征值是原矩阵A的按模次大的 特征值，这时对又可以用幂法进行计算， 大的特征值 求得其按模最大的特征值，从而求得A的按模次 如果矩阵阵A的特征值满足 (8.30) 那么在已经经求出和以后，如何进进一步计计算 第八章矩阵特征值与特征向量的计算 根据对对称矩阵阵的性质质有 ,所以 以 代替进进行迭代即