毕设初稿论文-环形二级倒立摆起摆控制设计.doc

2015年 中国地质大学学士学位论文本科毕业论文（设计）题目： 环形二级倒立摆起摆控制设计 姓 名： 杨腊 学号： 20121004156 院（系）： 自动化学院 专业： 自动化 指导教师： 贺良华 职称： 副教授 评 阅 人： 职称： 年 月学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 年 月 日 学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、 保密 ，在_年解密后适用本授权书。2、 不保密 。（请在以上相应方框内打“”）作者签名： 年 月 日 导师签名： 年 月 日 摘 要 倒立摆系统是一种典型的多变量、非线性、强耦合、高阶次的自然不稳定系统,它的控制目标就是实现倒立摆系统各摆杆的平衡,使之没有过大震荡,并在加入随机扰动的情况下系统能够在扰动消失后迅速恢复到平衡状态。倒立摆系统的这种特性,使它成为进行控制理论研究的理想实验平台。 本文首先介绍了倒立摆的发展历史、现状、控制方法，研究方向和研究意义以及在科研方面的应用，然后经过对比分析选取了一个合适的控制方法即线性二次型最优控制（LQR)和状态反馈控制结合的控制方法来设计环形二级串联倒立摆的起摆实验。 先是查找大量和倒立摆相关的资料，把做本实验需要运用的知识复习和自学一遍，参考部分倒立摆已有的程序和视频来为自己的实验做一个铺垫。做完这些准备工作后开始建立数学模型，列出动力学方程，传递函数，拉格朗日方程等，判断系统的可观可控和稳定性，然后求解，得到需要的式子。之后设计控制器，利用MATLAB语句lqr，得到线性状态反馈增益系数。之后通过simulink来建立仿真模型，与硬件设备连接，启动倒立摆，通过调整模型参数的大小，来实现倒立摆的起摆稳态控制。 本实验所做的倒立摆起摆实验由于是建立在理想的数学模型之上，忽略了客观因素的影响（比如摆杆质量测量不精准，空气阻力，各种摩擦力都不计等），所以得到的结果和预计的有所差别，但从得到的结果已经可以看出来分析过程和程序设计的思路都是正确，所以说还算是一次成功的设计。 关键词：环形二级倒立摆、LQR控制算法、Matlab语句、simulink仿真 ABSTRACT Inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling, high order natural unstable system, its goal is to realize the control of inverted pendulum system, the balance of the swinging rod, to make it not too big shock, and in the case of adding random perturbation system can quickly return to equilibrium state after disturbance disappeared. The characteristics of the inverted pendulum system, make it become the ideal experimental platform for control theory and research. This article first introduces the development history of inverted pendulum, the present situation, the control method, the research direction and research significance and application in scientific research, and through comparison and analysis to select a suitable control method for the linear quadratic optimal control (LQR) control method combined with the state feedback control to design a circular secondary series inverted pendulum of the pendulum experiment. First find a lot of useful information related to inverted pendulum, the use of knowledge is needed to do this experiment again, review and self-study reference part of the inverted pendulum existing programs and video to do a foreshadowing for own experiments. After these preparations begin to establish mathematical model and lists the dynamics equation, transfer function and Lagrange equation, etc., determine the considerable control and stability of the system, and then to solve, need formula. Then design the controller, using the MATLAB statements LQR, linear state feedback gain coefficient. After using simulink to establish simulation model, and hardware connection, start the inverted pendulum, by adjusting the size of the model parameters, to achieve the pendulum steady control of inverted pendulum. Because this piece do a handstand for swinging pendulum experiment is based on ideal mathematical model, ignoring the influence of objective factors (such as beam quality measurement is not accurate, air resistance, all sorts of friction are not plan, etc.), so the result is different, and the expected but from the results can already see the analysis process and the program design idea is correct, so it is a successful design.Keywords：Ring double inverted pendulum, the LQR control algorithm, Matlab statements, simulink simulation 目 录第一章 绪论.1 1.1 研究现状及意义.1 1.1.1倒立摆的发展历史和现状.1 1.1.2 倒立摆的研究方法和意义.1 1.2 倒立摆简介和本文的研究内容. .1 1.2.1 倒立摆简介.1 1.2.2 本文的研究内容.1 第二章 系统设计的流程. .1 2.1建立数学模型.1 2.11Lagrange方程.3 2.12状态空间模型.3 2.13环型二级倒立摆系统数学模型的建立.3 2.2线性二次型最优控制器（LQR）的设计.3 2.21线性二次型最优控制理论.3 2.22系统的可控性与可观测性.3 2.23 LQR调节器的设计.3第三章 simulink仿真模型和倒立摆自动起摆.3 3.1 simulink的简介.3 3.2 Simulink仿真模型的建立步骤.3 第四章 倒立摆的自动起摆和scope仿真图.3 3.31摆起的能量控制策略.3 3.32仿真实验图.3结束语.3致 谢.4参考文献.5 第一章 绪论 1.1 研究现状及意义1.1.1 倒立摆的发展历史和现状 早在20世纪60年代，人们就开始研究倒立摆系统。1966年Schacfer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。到了20世纪60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出1。自此，对于倒立摆系统的研究便成了控制界关注的焦点。 倒立摆有很多种，有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的；控制电机可以是单电机，也可以是多级电机。 目前有关倒立摆的研究主要集中在亚洲，如中国的北京师范大学、北京航空航天大学2、中国科技大学3；日本的东京工业大学、东京电机大学、东京大学；韩国的釜山大学、忠南大学，此外，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学、意大利的佛罗伦萨大学也对这个领域有持续的研究。近年来，虽然各种新型倒立摆不断问世，但是可自主研发并生产倒立摆装置的厂家并不多。目前，国内各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser公司生产的系统4、5；其它一些生产厂家还包括（韩国）奥格斯科技发展有限公司（FT-4820型倒立摆）、保定航空技术实业有限公司；最近，郑州微纳科技有限公司的微纳科技直线电机倒立摆的研制取得了成功。 关于倒立摆系统的研究主要分为两个方面，一方面是设计控制器实现倒立摆系统的自动摆起，另一方面是设计控制器使得倒立摆系统稳定于垂直倒立位置。1.1.2 倒立摆的研究方法和意义 对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究 ，无论在理论上和方法上都具有重要意义， 不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践， 并且可以促成相互间的有机结合。当前倒立摆的控制方法可分为以下几类：（1）状态反馈控制6基于倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈，实现对倒立摆的控制。常见的利用状态反馈的方法有：1)线性二次型最优控制；2)极点配置7；3) 状态反馈H 控制8；4)鲁棒控制。 （2）PID 控制。基于倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，根据倒立摆系统的状态方程和输出方程设计出 PID 控制器，实现对倒立摆的控制。 （3）云模型控制9云模型是一种拟人控制，用云模型构成语言值，用语言值 构成规则，形成一种定性的推理机制。这种控制不需要系统数学模型，而是根据人的经验、逻辑判断和感受，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决非线性问题和不确定性问题。 （4）自适应控制。许多控制系统多为静态控制，自适应控制随着环境的变化而 变化，属于一种动态控制系统，从而提高控制精度。 （5）非线性控制10实际系统多被进行线性化处理，非线性系统更能准确反映实际系统，对提高系统控制精度具有更大意义。 （6）神经网络控制11神经网络能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，任意充分地逼近复杂的非线性关系，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将 Q学习算法和 BP 神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。 （7）采用遗传算法与神经网络相结合的方法12基于倒立摆数学模型设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制。 （8）模糊控制13主要是确定模糊规则设计出模糊控制器，实现对倒立摆的控制。（9）线性二次型最优控制（LQR):LQR理论是以线性系统的状态空间设计方法为基础的，它根据状态变量的线性反馈构成闭环最优控制，可以通过MatTab进行仿真使我们更便捷的实现控制目标。 1.2 本文的研究内容及其组织结构1.2.1 倒立摆简介 倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出单级倒立摆系统这个实验设备。后来在此基础上，人们又进行拓展，产生了直线二级 倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等实验设备。 串联倒立摆系统是指对各摆杆“头尾”相接，呈串联形式连接。而并联倒立摆系统是指多个摆杆底端都连接在“小车”上，呈并联形式连接。串联倒立摆系统中各摆杆任何 一个的角度、角速度、角加速度变化都会对另外的摆杆角度、角速度、角加速度产生影响；而并联倒立摆系统每个摆杆的状态变化不受其他摆杆状态变化的影响，只与水平连杆的角速度及角加速度有关。几种不同类型的倒立摆系统实物如下图1.1所示。 图1.1 各类倒立摆系统本实验要用到的是环形二级倒立摆系统，它是由倒立摆本体、电机驱动箱、数字计算机以及若干信号线传输线路组成。环形二阶倒立摆系统的特点 : 和直线倒立摆运动平台不同，环形倒立摆的基本模块旋转运动平台通过增加一节倒立摆杆和相应的传感器，可以构成环形单级倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，就可构成环形两级倒立摆。它的控制对象是旋转平台和一节或两节摆杆，目的是让一节或两节摆杆保持竖直的平衡状态。固高科技的环形倒立摆系列产品采用开放的控制解决方案和模块化的实验平台，以旋转运动模块为基础平台，轻松构建环型一级倒立摆, 环形串联两级倒立摆、环形并联两级倒立摆，甚至串并联混合三级摆、四级摆等，全方位满足控制研究的需要。 环形二阶倒立摆系统的工作原理：旋转平台可以绕轴自由转动带动平台上的支撑杆转动，最后带动末端的摆杆转动，通过控制伺服电机的位置，带动旋转平台转动，就可以控制平台的转角及其位置。环形倒立摆系统以角度编码器采集的电机位置信号为反馈信息，编码器反馈的传感方式得到系统的反馈，并以此为依据进行控制，通过转动平台，来控制转动平台的转角位置并保持摆杆直立。我们的目的是设计一个控制器，通过控制电机的转动，使旋转平台稳定在某一位置并保持摆杆直立。另外还需要系统对干扰有一定的鲁棒性。 环形二级倒立摆的闭环控制回路如下图1.2所示， 图1.2环形二级倒立摆的闭环控制回路其中编码器1连接在伺服电机，主要用来检测水平摆杆的角度，编码器2用来采集下摆杆的角度，编码器3用来采集上摆杆相对于下摆杆的旋转角度。 实验室的倒立摆连接好的图如下图1.3： 图1.31实验室环形二级倒立摆和机箱（机箱里都已经安装好了伺服驱动器等硬件设备) 图1.32运动控制卡安装在台式主机上，和倒立摆的机箱通过两根转接电缆连接环形二级倒立摆的物理参数如图1.4所以： 图1.4环形二级倒立摆的物理参数 1.2.2 本文的研究内容本次毕设内容可以分为以下几个方面： A.二级倒立摆的数学模型的建立与分析：在建模之前，首先采用拉格朗日方程推导数学模型，并对系统的可控性可观性进行分析和分析倒立摆系统控制的难易程度。 B.二级倒立摆的控制原理及方法的研究：本文主要研究用线性二次型最优控制方法对系统进行稳定性控制。 C.采用Matlab语言进行数字仿真，分析仿真结果，实现环形二级倒立摆的自动摆起的仿真和实物实现 第二章 系统设计的流程2.1数学建模 数学模型是利用数学结构来反映系统内部之间、内部与外部某些因素之间的精确的定量的表示。它是分析、设计、预报和控制一个系统的基础，所以要对一个系统进行研究，首先要建立它的数学模型。 建立数学模型有两种方法:一种是从基本物理定律，即利用各个专门学科领域提出来的物质和能量的守恒性和连续性原理，以及系统的结构数据推导出模型。这种方法得出的数学模型称为机理模型或解析模型，这种建立模型的方法称为解析法。另一种是从系统运行和实验数据建立系统的模型(模型结构和参数)，这种方法称为系统辩识。倒立摆的形状较为规则，而且是一个绝对不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型,故适合用数学工具进行理论推导。 建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动规律，结果要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此本文采用分析力学方法中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。2.11 Lagrange方程拉格朗日提出了用能量的方法推导物理系统的数学模型，引入了广义坐标。 广义坐标： 系统的广义坐标是描述系统运动必需的一组独立坐标，广义坐标数等同于系统自由度数。如果系统的运动用n维广义坐标q1,q2,qn来表示，我们可以把这n维广义坐标看成是n维空间的n位坐标系中的坐标。对于任一系统可由n维空间中的一点来表征。系统在n维空间中运动形成的若干系统点连成一条曲线，此曲线表示系统点的轨迹。 拉格朗日方程： =-& (2.1) 式中，L 拉格朗日算子， q 系统的广义坐标， T 系统的动能， V 系统的势能。 拉格朗日方程由广义坐标和L表示为： & (2.2) 其中，为系统沿该广义坐标方向上的外力。 Lagrange方程有如下特点： 1:它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度是一致的。 2:理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。 3:Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程，为了列出系统的运动方程，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量广义力。 因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。2.12状态空间模型 现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。因此，确定控制系统的状态空间描述，即建立在状态空间中的数学模型是一个基本问题，也是现代控制理论中分析和综合控制系统的前提的基础上，其重要性就像经典控制理论中确定系统的传递函数一样。 现代控制理论中的状态空间法，简单地说就是将描述系统运动的高阶微分方程改写成一阶联立微分方程组的形式，或者将系统的运动直接用一阶微分方程组表示，写成矩阵形式，这样就得到了状态空间模型。1.连续系统连续系统的状态空间模型为：式中，是的系统控制输入（r个）向量，是的系统状态变量，则是的系统输出向量。A是的系统矩阵（状态矩阵），有控制对象的参数决定；B为的控制矩阵（输入矩阵）；C为的输出矩阵（观测矩阵）；D为的输入输出矩阵（直接传输矩阵）。2.离散系统离散系统的状态空间模型为：式中，输入向量、状态向量、输出向量，表示采样点。为状态矩阵，由控制对象的参数决定；为控制矩阵；为输出矩阵；为直接传输矩阵。在MATLAB中，系统可用表示，用函数（）来建立控制系统的状态空间模型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统空间模型。2.13环型二级倒立摆系统数学模型的建立 二级倒立摆系统的数学模型是一个理想模型，需要满足下面的条件 :1)每一级摆杆都是刚体.2)在实验过程中同步带长度保持不变.3)驱动力与放大器输入成正比并无延迟的直接施加于旋转平台.4)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计.在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成两个匀质杆和质量块组成的系统，如图2.1所示: 图2.1环形二级串联倒立摆数学模型：水平杆的质量 0.234kg：摆杆 1 的质量 0.09kg：摆杆 2 的质量 0.13kg：质量块 1 的质量 0.3kg：质量块 2 的质量 0.178kg：水平杆长度 0.221m：摆杆 1 转动中心到杆质心的距离 0. 08m：摆杆 2 转动中心到杆质心的距离 0. 1975m：连杆与水平 x 轴的夹角（图示顺时针为正）：摆杆1与垂直向上方向的夹角（图示顺时针为正）：摆杆2与垂直向上方向的夹角（图示顺时针为正）利用拉格朗日方程推导环形倒立摆动力学方程 拉格朗日方程为： 其中，为拉格朗日算子，为系统的广义坐标，为系统的动能，为系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标 和表示为： 其中，为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的两个广义坐标分别是, ,。 首先计算系统的动能： 其中连杆动能， 为摆杆 1 动能，为摆杆 2 动能，为质量块 1 动能，为质量块 2 动能。 可以得到系统动能：系统的势能为：（以水平杆所在的位置为零能位置） 至此得到拉格朗日算子 : 由于在广义坐标上无外力作用，有以下等式成立： (1) (2) 展开(1)、(2)式，得到(3)、(4)式如下： (3) (4) 将(3)式对求解代数方程，得到下式： （5）将(4)式对求解代数方程，得到下式： （6）表示成以下形式： （7） （8）取平衡位置时各变量的初值为零，将(5)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令带入(5)式，得到线性化之后的公式： （9） 将(6)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令带入(6)式，得到线性化之后的公式： （10）现在得到了一个线性微分方程，我们采用角加速度作为输入，因此还需加上一个方程 （11） 取状态变量如下：由(9)，(10)，(11)式得到状态空间方程如下： 2.2线性二次型最优控制器（LQR）的设计 对于线性系统， 若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标函数时， 这种动态系统最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题， 简称线性二次型问题。它可以把一些相互矛盾的要求统一在一个性能指标中，求得系统的总体最优性，它的最优解可以写成统一的解析表达式，且可导致一个简单的状态线性反馈控制律，构成闭环控制，其计算和工程实现都比较容易。线性最优控制问题包括线性调节器和线性伺服系统两类问题。调节器问题是针对系统未处于平衡状态(通常是状态空间原点)或受脉冲型扰动时，研究利用反馈方法，施以控制，使它回到平衡状态。伺服问题是研究利用反馈方法， 对受控系统施以控制，使它的输出跟踪某一给定的输入。线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来设计一个优化的动态控制器。系统模型是用空间形式给出的线性系统，其目标函数是对象状态和控制输入的二次型。二次型问题就是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。线性二次型最优控制一般包括两个方面的问题：线性二次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题，一般针对具有系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔曼滤波器观测系统状态。注：倒立摆摆杆在摆到与垂直方向夹角很小，即cos近似为1，sin近似等于的时候可以看成是线性系统，此时可以运用LQR算法来控制摆杆的稳定性。2.21线性二次型最优控制理论 应用经典控制理论设计控制系统，能够解决很多简单、确定系统的实际设计问题。但是对于诸多新型而复杂的控制系统设计，例如多输入多输出系统与阶次较高的系统，往往得不到满意的结果。这时就需要在状态空间模型下建立最优控制策略。最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控制，就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标具有最优值。根据系统不同的用途，可以提出各种不同的性能指标。最优控制系统的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指标为最小。 线性二次型最优控制理论又细分为二部分： a)二次型最优控制理论 设给定线性系统的状态方程为: 式中：X(t)状态向量，是nl矩阵; U(t)控制向量，是:nl矩阵; Y(r)输出向量，是ll矩阵; A系统矩阵，是nn矩阵; B控制矩阵，是nr矩阵; C输出矩阵，是ln矩阵;若用表示系统的期望输出，则从系统的输出端定义: 为系统的误差向量，是11矩阵。求取最优控制，使基于误差向量e构成的指标函数: 取极小值，其中S为11对称半正定矩阵，Q为ll对称半正定矩阵，R为rr对称半正定矩阵。它们是用来权衡向量e(t)及控制向量U(t)在指标函数J中重要程度的加权矩阵。其中各项所表示的物理意义简述如下: (l).被积函数中的第一项是在控制过程中由于误差的存在而出现的代价函数项。由于加权矩阵Q是对称半正定的，故只要误差存在，该代价函数总为非负。它说明，当=0时，代价函数为零；而误差越大，则因此付出的代价也就越大。如误差为标量函数e(t)，则项变成。于是，上述代价函数的积分便是在古典控制理论中熟悉的用以评价系统性能的误差平方积分。(2).被积函数中的第二项是用来衡量控制作用强弱的代价函数项。由于加权矩阵R是对称正定，故只要有控制存在，该代价函数总是正的，而且控制越大，则付出的代价也越大。 注意，加权矩阵Q和R的选取是立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折衷考虑上的。这体现在，如果重视提高控制性能，则应增加加权矩阵Q的各个元素;反之，如果重视降低控制能量的消耗，则需增大加权矩阵R的各个元素。 (3).指标函数的第一项是在终端时刻上对误差要求设置的代价函数。它表示在给定终端时刻到来时，系统实际输出接近期望输出的程度。总上所述，具有二次型指标函数的最优控制问题，实际上在于用不大的控制能量来实现较小的误差，以在能量和误差两个方面实现综合最优。因为在倒立摆系统中C=I，及=0，则有，并且倒立摆的控制是时线性定常系统的状态调节问题，所以指标函数可以等价为: 采用反馈控制: 其中，P为满足方程的唯一正定对称解： b)加权矩阵的选取尽管二次型最优控制理论发展日趋成熟，但在工程实际应用中仍然存在不少问题，一个最关键的问题就是二次型性能指标中加权矩阵和的选取。为了使问题简单及加权矩阵具有比较明显的物理意义，本文将加权矩阵Q选为对角矩阵，即: 这样性能标 可以表示为： 可以看出，是对状态的平方的加权，的相对增加就意味着对的要求较严，在性能指标中占的比重比较大，就使的偏差状态相对减少(在平均意义上来说)。R是对控制量u平方的加权。当R相对很大，意味着控制费用增加，使得控制能量较小，反馈减弱，当R相对较小时，控制费用较低，反馈增加，系统动态响应迅速。对于二级倒立摆系统，二次型性能指标应能使二级倒立摆在调节过程中不偏离倒立摆的控制区域且尽可能在系统的线性范围内，这样，在考虑倒立摆系统的各个状态时，下摆和上摆偏角差应比下摆的偏角重要，下摆的偏角应比水平杆偏角重要。因此要在性能指标上反映这些要求，则应该使得加权最大，的加权次之，的加权最小。在选取时则选为零。二级倒立摆系统是一个比较复杂的系统，它的非线性因素很多，如:各运动副之间的干摩擦，电机的饱和特性，模型简化时忽略的高次项以及其他随机干扰。由于这些非线性因素的影响，使得以线性模型为基础的仿真与实际动态响应有很大差别，甚至使系统不能稳定，因而，利用二次型最优控制使的系统稳定的关键是寻找一个使系统稳定的加权矩阵,。由于系统的非线性是固有的，片面追求系统的线性行为是不合理的，应使采用线性模型设计的控制器能够克服系统非线性来适应对应参数变化，具有一定的鲁棒性。 选取, 时主要考虑了以下几个方面:1）由于我们采用的模型是经线性化后的模型，为使我们的设计模型能有效地工作，应使各状态尽量工作在系统的线性范围内，这样就要求不应过大。2）闭环系统的主导极点最好能有一对共轭复数极点，这样有利于克服系统的摩擦非线性，但系统主导极点的模不应过大，以免系统的频带过宽，使得系统对噪声过于敏感，以致于不能正常工作。3）加权矩阵的减小，会导致大的控制量，应注意控制的大小，不要超过系统执行机构的能力，使得放大器处于饱和状态。 2.22系统的可控性与可观测性 在状态空间分析中，系统的可控性与可观测性也是非常重要的概念。这两个概念是卡尔曼在20世纪60年代提出的，是现代控制理论中的两个基本概念。 可控性是指系统的状态能否被控制；可观测性是指系统状态的变化能否由输出检测反映出来。系统的可控性与可观测性从状态的控制能力和状态的识别能力两个方面反映系统本身的内在特性，往往是确定最优系统是否有解的先决条件，对系统的设计是至关重要的。可控性与可观测性定义如下：1.可控性定义线性系统，在时刻的任意初始值=，对于，（为系统的时间定义域），可找到容许控制，其元在上是状态完全能控的。2. 可观测性定义线性系统 在 时刻存在 ，（为系统的时间定义域），如根据在的观测值，在区间内能够唯一地确定系统在时刻的任意初始状态，则称系统在上是状态可观测的。可观测性研究状态和输出量的关系，即通过对输出量在有限时间内的量测，把系统的状态识别出来。实质上可归结为对初始状态的识别问题。2.23 LQR调节器的设计在线性定常控制系统中，状态反馈是一种非常重要的控制方式。采用状态反馈可以使系统获得一系列极为有实际价值的性质。如闭环系统的极点在一定条件下可以任意配置:可以使系统具有二次型性能指标最优化等等。这里应用最优控制中的定常线性调节器理论，选取合适的、，通过MATLABY语句lqr， 得到线性状态反馈增益系数。控制系统框图见图2.2，输出变量为各摆杆的角度信号，角速度信号通过硬件微分电路得到,省去了状态观测器的重构。 图2.2 线性定常最优调节器结构图环型倒立摆的平衡控制问题实际上就是一个调节器问题。调节器又分为有限时间调节器和无限长时间调节器。有限时间调节器问题只考察控制系统由任意初态恢复到平衡状态的行为。工程上所关心的另一类更广泛的问题，即无限长时间调节器问题，除保证有限时间内系统的非零初态响应最优性之外， 还要求系统具有保持平衡状态的能力， 即保证闭环系统渐进稳定性。为了获得良好的瞬态和静态性能， 且考虑到系统的实际要求，这里采用无限长时间调节器。 由实际数据的系统的状态方程：引入全状态反馈，如图2.3所示。图中，R是加在水平杆上的阶跃输入，六个状态量分别代表水平杆、摆杆的夹角、角速度，输出包括水平杆和摆杆角度。我们要设计一个控制器，使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，水平杆到达新的命令位置。 图2.3 状态反馈框图设计的第一步时确定系统的开环极点,并判断系统能控性和能观性。用MATLAB程序eig(A)可以求出开环极点为（10.4957，5.5110，-10.4957，-5.5110，0，0）,可以看出,有二个极点10.4957，