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第2章 卫星轨道卫星轨道 2.1 卫星轨道特性 2.1.1 开普勒定律 l 约翰尼斯开普勒（15711630）通过观测数据推导了行 星运动的三大定律。 l 艾萨克牛顿（16431727）从力学原理出发证明了开普 勒定律，并创立了万有引力理论。 假设地球是质量均匀分布的理想球体，同时忽略太阳、月 球及其他行星对卫星的引力作用，则卫星仅在地球引力作 用下绕地球的运动是一个力学中的“二体问题”，符合开 普勒三大定律。 2.1.1 开普勒定律 1、开普勒第一定律 l 第一定律（1602年）：小物体（卫星）在围绕大物体（地 球）运动时的轨道是一个椭圆，并以大物体的质心作为一 个焦点。 l 偏心率e：决定了椭圆轨道 的扁平程度。当e=0时，椭 圆轨道退化为圆轨道。偏 心率、轨道半长轴和半短 轴之间满足关系： l ：是瞬时卫星-地心连线 与地心-近地点连线的夹角 ，是卫星在轨道面内相对 于近地点的相位偏移量。 l 半焦距：O 和 C 间的距离称为半焦距，半焦距长度由 半长轴和偏心率确定： l 远地点：r取值最大的点称 为远地点(Apogee)，远地 点长度为 l 近地点：r取值最小的点称 为远地点(Perigee)，近地 点长度为 l 卫星轨道平面的极坐标表达式： l 定义椭圆轨道半焦弦(过椭 圆焦点且垂直X轴的通径的 一半)： l 则式（2-5）又可写为 ： 2、开普勒第二定律 l 第二定律（1605年）：小物体（卫星）在轨道上运动时， 卫星与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等。卫星与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等。 2.1.1 开普勒定律 其中，V 为卫星在轨道上的瞬时速度。其中 a 为椭圆轨道的 半长轴，r 为卫星到地心的距离。为开普勒常数，其值为 398601.58 km398601.58 km 3 3 /s/s 2 2 。 根据机械能守恒原理，可推导椭圆轨道上卫星的瞬时速度为 ： 对于圆轨道，理论上卫星将具有恒定的瞬时速度为： 卫星的远地点速度 Va 和近地点速度 Vp 分别为： 3、开普勒第三定律 l 第三定律（1618年）：小物体（卫星）的运转周期的平方运转周期的平方 与椭圆轨道半长轴的立方成正比与椭圆轨道半长轴的立方成正比 。 2.1.1 开普勒定律 根据开普勒第三定律，可推导卫星围绕地球飞行的周期为： 对于圆轨道，轨道的半长轴 a 为地球半径 Re 与卫星轨道高 度 h 之和，此时卫星的运行周期为： 例1： l 某采用椭圆轨道的卫星，近地点高度（近地点到地球表面 的距离）为1000km，远地点高度为4000km。在地球平均半 径为6378.137km的情况下，求该卫星的轨道周期。 l 解：由图2-1可知，长轴为远地点与近地点之间的直线距离 ，在半长轴为 a ，地球半径为 Re ，近地点高度为 hp ， 远地点高度为 ha 时，有： 卫星的远地点速度 Va 和近地点速度 Vp 分别为： 因此，半长轴 a=8878.137km ，由此可计算轨道周期如下： p日心（Heliocentric）椭圆坐标系：坐标系的原点是太阳 的中心，其XY基准平面与地球绕着太阳旋转的椭圆轨道面 重合。X轴定义为连接原点和椭圆面与地球赤道面的横断 面的连线，其正方向指向春分点方向。Y轴的正方向指向X 轴正方向的东方，Z轴的正方向指向原点的北方。 2.1.2 地心坐标系与卫星轨道参数 2.1.2 地心坐标系与卫星轨道参数 q 地心（Geocentric）赤道坐标系：坐标原点为地心；X轴和Y 轴确定的平面与赤道重合，X轴指向春分点方向；Z轴垂直于 地球赤道面，与地球自转角速度方向一致，指向北极点；Y 轴与X轴、Z轴垂直，构成右手坐标系。 q天文学的几个术语 l 天球：人们为了便于研究天 体，假想以空间任意点为中 心，以无限长为半径所作的 球。 l 天赤道：延伸地球赤道面而 同天球相交的大圆称为“天 赤道”。 l 天极：向南北两个方向无限 延长地球自转轴所在的直线 ，与天球形成两个交点，分 别叫作北天极与南天极。 l 黄道：从地球上看，太阳于 一年之内在恒星之间所走的 视路径，即地球的公转轨道 平面和天球相交的大圆。黄 道和天赤道成23度26分的角 ，相交于春分点和秋分点。 q 春分点和秋分点：从地球 上看，太阳沿黄道逆时针 运动，黄道和天赤道在天 球上存在相距180的两个 交点，其中太阳沿黄道从 天赤道以南向北通过天赤 道的那一点，称为春分点 ，与春分点相隔180的另 一点，称为秋分点，太阳 分别在每年的春分（3月21 日前后）和秋分（9月23日 前后）通过春分点和秋分 点。 简单地说，春分点为 太阳沿黄道从天赤道以南 向北通过天赤道的那一点 。 q天文学的几个术语 q 升交点（或升节点）：卫星从地球的南半球向北半球飞行的 时候经过地球赤道平面的点。 q 降交点（或降节点）：卫星从地球的北半球向南半球飞行的 时候经过地球赤道平面的点。 q 交点线：升交点和降交点之间穿越地心的连线。 q天文学的几个术语 q 太阳日：以太阳为参考方向时，地球自转一圈所需的 时间，即通常所说的一天。如果地球只是自转，而不 绕着太阳转的话，一个太阳日就应该与地球自转一圈 的时间相同。实际上，地球除了自转外，还要绕着太 阳公转（一年转一圈）。因此，在一个太阳日中地球 自转就超过了360o，平均说来在一个太阳日中地球要 多自转0.9856o。 q 恒星日：以无穷远处的恒星为参考方向时，地球绕其 轴自转一圈所需要的时间。一个恒星日要比一个太阳 日短，一个太阳日为24小时，而一个恒星日约为 23小 时 56分4.09秒。 q 对于 GEO卫星来说，为了与地面上的一点保持相对静 止，其轨道周期就必须是一个恒星日。 q天文学的几个术语 q世界时间：为了在全世界范围内确定一个时间 基准，选择英国格林尼治的民用时间作为世界 时间（Universal Time，简记为 UT），因此 ，世界时间有时也叫格林尼治标准时间（ Greenwich Mean Time，简记为 GMT）。 q地方时：以地方子午圈为基准所决定的时间， 叫做地方时。在同一计量系统内，同一瞬间测 得地球上任意两点的地方时刻之差，在数值上 等于这两点的地理经度差。 q天文学的几个术语 在地心坐标系中，为完整地描述任意时刻卫星在地心坐标系中，为完整地描述任意时刻卫星 在空间中的位置，通常使用以下的在空间中的位置，通常使用以下的6 6个轨道参数。个轨道参数。 q右旋升交点赤经（升节点位置） q轨道倾角i q近地点幅角 q轨道偏心率e q轨道的半长轴 a q平均近点角M 下面讨论的卫星轨道要素是指单颗卫星。 q 右旋升交点赤经（又称为升节点位置） ：赤道平面内，从 春分点方向到轨道面交点线间的夹角，按地球自转方向度量 。 q 轨道倾角 i ：轨道平面与赤道平面间的夹角。 q 近地点幅角 ：轨道平面内，从升交点到地心的连线与卫 星近地点和地心连线的夹角，从升交点按卫星运行方向度量 。 q 轨道的偏心率 e ：对于椭圆轨道，是两个焦点之间的距离与 长轴之比。反映了轨道面的扁平程度，取值在0,1)范围内。 q 轨道半长轴 a ：椭圆轨道中心到远地点的距离。 q 平均近点角 M ：假设卫星经过近地点的时间为 tp ，则在时 间 (t- tp) 内卫星以平均角速度离开近地点的角度。通多平均 近点角可以计算卫星的真近点角v。有时会用卫星过近地点 的时间 tp 代替平均近点角作为轨道参数给出，则等价的平均 近点角 M 为： 式中，Ts 为卫星的轨道周期。 l 在卫星轨道的6个要素中， 右旋升交点赤经 和轨道倾角i 决定轨道平面在惯 性空间的位置； 近地点幅角 决定轨道在轨道平面内的指向； 轨道半长轴a 和轨道的偏心率e 决定轨道的大小和 形状； 平均近点角M 决定轨道的运动特性。 l 对于圆轨道，通常认为轨道的偏心率恒为0，近 地点和升交点重合，因此只需要4个轨道参数就可 以完整的描述卫星在空间的位置，分别为右旋升 交点赤经、轨道倾角i、轨道高度h和初始时刻的 真近点角v(也称初始幅角)。 2.1.3 2.1.3 卫星轨道的分类卫星轨道的分类 q按卫星轨道的偏心率分类 q按卫星轨道的倾角分类 q按轨道的高度分类 q按卫星轨道的重复特性分类 1、按卫星轨道的偏心率不同分类 l圆轨道：偏心率为零的轨道，偏心率接近零的近圆轨道有 时也称为圆轨道。 l椭圆轨道：偏心率在0和1之间的轨道。偏心率大于0.2的 轨道称为大偏心率椭圆轨道，又称大椭圆轨道。沿椭圆轨 道运行的卫星，探测的空间范围相对较大。 l 偏心率e：决定了椭圆轨道的扁平程度。当e=0时，椭圆轨 道退化为圆轨道。偏心率满足关系： 圆、椭圆轨道的选择 l全球卫星通信系统多采用圆轨道，可以均 匀覆盖南北球。 l区域卫星通信系统，若覆盖区域相对于赤 道不对称或覆盖区域纬度较高，则宜采用 椭圆轨道。 2、按卫星轨道的倾角大小分类 卫星轨道的倾角是指卫星轨道面与赤道平面的夹角。 l 赤道轨道：轨道倾角为0度，轨道面与赤道面重合。 l 极轨道：轨道倾角为90度，轨道平面通过地球南、北极， 与赤道平面垂直。 l 顺行轨道：轨道倾角大于0度而小于90度，将这种卫星送 入轨道，运载火箭需要朝偏东方向发射。利用地球自西向 东自转的一部分速度，从而节省运载火箭的能量。 l 逆行轨道：轨道倾角大于90度而小于180度，将这种卫星 送入轨道，运载火箭需要朝偏西方向发射。不能利用地球 自转速度来节约运载火箭的能量，反而要付出额外的能量 去克服一部分地球自转速度。 l 太阳同步轨道：当卫星轨道角度大于90度时， 地球的非球形重力场使卫星的轨道平面由西向 东转动。适当调整卫星的高度、倾角、形状， 可以使卫星轨道的转动角速度恰好等于地球绕 太阳公转的平均角速度，这种轨道称为太阳同 步轨道。 太阳同步轨道卫星可以在相同的当地时间 和光照条件下，多次拍摄同一地区的云层和地 面目标，气象卫星和资源卫星多采用这种轨道 。 3、按卫星轨道的高度分类 l 范.艾伦辐射带(Van Allen Radiation Belt)： 范.艾伦辐射带是美国的詹姆斯.范.艾伦博士于 1959年发现的围绕地球的高能粒子辐射带，共内 外两层。其中，内范.艾伦带主要包含质子和电 子混合物；外范.艾伦带主要包含电子。 范.艾伦带的辐射强度与时间、地理位置、 地磁和太阳的活动有关。 通常认为，内、外范.艾伦带中带电粒子的 浓度分别在距地面3700km和18500km附近达到最 大值。 图7 范.艾伦带示意图 1500km-5000km，以3700km为中心 13000km-20000km，以18500km为中心 4、按卫星轨道的重复特性分类 卫星的星下点：卫星瞬时位置和地球中心的连线与地球 表面的交点。 l回归/准回归轨道：将卫星星下点轨迹在M个恒星日，围 绕地球旋转N圈后重复的轨道称为回归/准回归轨道。M 和N都是整数。如果M=1，称为回归轨道，其轨道周期 为1/N个恒星日；如果M1，称为准回归轨道，其轨道 周期为M/N个恒星日。 l非回归轨道：卫星的星下点轨迹不周期性重迭的轨道。 卫星 星下点 图8 星下点轨迹 回归/准回归轨道的周期： 式中，Te 为一个恒星日。 2.2 卫星的定位 2.2.1 卫星在轨道面内的定位 1、圆轨道：通常以升交点代替近地点作为面内相位参考点 。由于卫星以近似恒定的速度Vs飞行，因此瞬时卫星与升 交点间的夹角为： 2、椭圆轨道：由于卫星的在轨飞行速度是时变的，因此确 定卫星在轨道内的位置的方法相对复杂 。 偏心 近点角 真近 点角 根据开普勒第二定律，可推导偏心近点角E与平均近点角M之 间满足如下关系： 式（2-15）通常称为开普勒方程。 可通过如下方程计算瞬时卫星到地心的距离r： 使用数值方法计算出瞬时的偏心近点角E后，可以通过高斯 方程计算真近点角 至此，在已知初始平均近点角 M0（或过近地点时间 tp ），偏 心率 e，半长轴 a 的情况下，确定 t 时刻卫星在椭圆轨道面内 的瞬时位置，即真近点角 的计算流程为： 根据式（2-10） 计算轨道周期T，进而计算 平均轨道速率 ； 计算平均近点角 ； 通过开普勒方程式（2-15） 计算偏心近点 角E； 通过高斯方程式（2-18） 计算卫星的瞬时真近点角 。 2.2 卫星的定位 2.2.2 卫星对地球的定位星下点轨迹 1、星下点：指卫星-地心连线与地球表面的交点。 2、星下点轨迹：星下点随时间在地球表面上的变化路径。 假定0时刻，卫星经过升交点，则卫星在任意时刻t （t0）的星下点经度和纬度由以下方程组确定。【沿椭 圆轨道运行的卫星在某一圈运行的星下点轨迹（定义该 圈运行通过升交点的时刻作为度量零点）】 其中， 是卫星星下点的地理经度，单位是度； 是卫星星下点的地理纬度，单位是度； 是升交点的经度，单位是度； i 是轨道倾角，单位是度； 是 t 时刻卫星与升交点之间的角距（从升交点开始 度量，顺行方向取正值，逆行方向取负值）； t 是飞行时间，单位为秒； 是地球自转角速度，单位为度/秒； 号分别用于顺行和逆行轨道。 卫星星下点轨迹举例： 一颗轨道高度为13892 km，轨道倾角60，初始位置（0E， 0N）的卫星24小时的星下点轨迹如下图所示。 圆轨道卫星星下点轨迹图 2.3 卫星覆盖特性计算 圆轨道单颗卫星对地覆盖的几何关系如图2-10所示。 E 例2 卫星和观察点间的地心角： 式 式 观察点的仰角： 卫星的半视角： 式 式 另外，三者还满足： 星地距离： 卫星覆盖区面积： 卫星覆盖区半径： 因为电磁波在自由空间的传播速率是光速 星地传播时延： 卫星在地球上覆盖的弧长： 用户可以通信的轨道弧长： 用户可以通信的最长时间： 这里卫星的运动速度 V 由式（2-9）确定。 更多时候，观察点和卫星的地理位置使用经纬度坐标的形式 给出。以( u , u )表示观察点的瞬时经纬度，以( s , s )表示 卫星的瞬时经纬度，则两者所夹的地心角可由式（2-28）确 定： 一般情况下，观察点的最小仰角 Emin 是 系统的一个给定指标。根据 Emin 和卫星轨道 高度 h 即可计算卫星的最大覆盖地心角、最 小星下点视角和最大星地传输距离，从而确 定卫星的瞬时覆盖区的直径和面积、覆盖区 内不同地点的卫星天线辐射增益和边沿覆盖 区的最大传输损耗等。 例2 已知某卫星的轨道高度为1450km，系统允许的最 小接入仰角为10，试计算该卫星能够提供的最长 连续服务时间。 解：参见图2-10。假设卫星逆时针运动，则随着卫 星运动，观察点的仰角经历了从最小接入值增大 到最大90（用户恰好通过用户上空），再减小到 最小接入值的过程。该过程中卫星能够提供连续 的服务。此期间卫星运动扫过的地心角为2max。 最大地心角为： 因为对于圆轨道，轨道的半长轴 a 为地球半径 Re 与卫星轨 道高度 h 之和，此时卫星的运行周期为： 所以，卫星的在轨运动角速度为： 所以，最长连续服务时间为： 习题一 卫星绕地球做圆轨道运动，假设地球半径 为6356.755km，系统要求用户终端的最小 仰角为10o，卫星距地面的高度为785km，求 （1）单颗卫星的覆盖区域面积； （2）用户到卫星的传播时延； （3）用户可以与卫星通信的最长时间。 习题二 有一个由N颗地球静止轨道卫星组成的通信 系统，已知静止轨道卫星高度h为36785km ，假定地球站天线最小仰角Emin为20o 。为 使该通信系统能够完全覆盖地球赤道，问至 少要有多少颗卫星？ 2.4 卫星轨道摄动 摄动摄动：对卫星来说，由于地球结构的不均匀和太：对卫星来说，由于地球结构的不均匀和太 阳、月亮引力的影响等，将使卫星的轨道参数随阳、月亮引力的影响等，将使卫星的轨道参数随 时变化，不断偏离由开普勒法则所确定的理想轨时变化，不断偏离由开普勒法则所确定的理想轨 道，产生一定的漂移，这种现象称为道，产生一定的漂移，这种现象称为摄动摄动。 引起摄动的原因：引起摄动的原因： （1 1）太阳和月亮对卫星的影响；）太阳和月亮对卫星的影响； （2 2）地球引力场不均匀的影响；）地球引力场不均匀的影响； （3 3）地球大气阻力的影响；）地球大气阻力的影响； （4 4）太阳辐射压力的影响。）太阳辐射压力的影响。 (2) 地球非球形引起的摄动，表现为： l卫星的轨道面绕地轴缓慢转动（升交点漂移） l近地点位置变化 (3) 大气阻力的影响 l卫星轨道的远地点降低，长轴缩短，即运行周期缩短 l偏心率减小，轨道愈变愈圆 2.4 卫星轨道摄动 (1) 太阳和月球引力场引起的摄动，表现为： l静止轨道卫星倾角的变化 2.4 卫星轨道摄动 任意时刻 t1 卫星的位置可以用式（2-29）所描述的轨道 要素来确定： （2-29） 式中， 是 t0 时刻卫星的轨道要素， 是各轨道要素的线性漂移量， 。 2.4.1 地球扁平度的影响 地球的非球体本质导致了地球引力场的不均匀，并 使得卫星轨道的升交点沿赤道漂移，漂移量为： 漂移方向以地球自转方向为参考。式中负号意味着： 对顺行轨道（倾角 i 90o）升交点向东漂移； 对 极 轨道（倾角 i =90o）升交点保持不变。 2.4.1 地球扁平度的影响 地球的扁平性也会导致椭圆轨道的近地点幅角在轨 道面内向前或向后旋转，旋转速度为： 由上式可知，当轨道倾角为 63.4o 或 116.6o 时，近地点 保持不变。 2.4.2 太阳和月球的影响 引力场的干扰与物体间距离的三次方成反比，因此 ，地球以外的其它星体引力场对静止轨道卫星的影响远 大于对低轨道卫星的影响。 2.4.2 太阳和月球的影响 太阳和月球对轨道倾角的影响可表示如下： 式中，A=0.8457，B=0.0981，C=-0.090，是月球轨道 在黄道面内的右旋升交点赤经，通过下式确定： 式中，T是以年为单位表示的时期。 2.4.2 太阳和月球的影响 月球和太阳引力场的联合作用，最终会带来静止轨 道卫星倾角有每年0.85o的平均变化速率。 当太阳和月球在卫星轨道的同侧时，静止轨道平面 的倾角变化速率会比平均值高一些，而在异侧时，倾角 变化速率会比平均值低一些。 实际上，从时间和倾角的角度看，轨道倾角的变化 速率都不是恒定的。轨道倾角为0o时有最大的变化速率 ，而轨道倾角变为14.67o时的变化速率则为0。 为了消除静止轨道卫星倾角的变化，需要进行周期 性的倾角校