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第4章 测试系统的特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院2 完成某种物理量的测量而由具有某一种或多种 变换特性的物理装置构成的总体。 1. 测试系统 4.1 测试系统及其性质 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院3 简单测试系统(红外体温) 复杂测试系统(振动测量) 系统失真 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院4 测试系统的传递特性:由测试装置自身的物理结构所 决定的测试系统对信号传递变换的影响特性。 测试系统与输入/输出量之间的关系 理想测试系统具有单值的确定的输入输出关系，输出与输 入成线性关系最佳。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院5 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出量。(预测) 系统分析中的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通过它们推断系统的传输 特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，可以通过它们推断导致该输出 的输入量。 (反求) 由此根据测试要达到的要求正确合理选用仪器。 测试系统与输入/输出量之间的关系 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院6 2. 理想测试系统线性时不变系统 理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入输出关系。对于每一 输入量都应该只有单一的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定 另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。 x(t) y(t)线性 线性y(t) x(t) 非线性 y(t) x(t) 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院7 测试系统输入x(t)和输出y(t)间的关系可以用常系数线 性微分方程来描述： (a) 线性系统 式中，an、an-1、a0和bm、bm-1、b0均为一些只与测试系统的特性 有关的常数。上述方程就是常系数微分方程，所描述的是时不变线性系 统，也称为定常线性系统。 一般在工程中使用的测试系统（测试装置）都是线性系统。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院8 (b) 线性系统的性质 叠加特性示例 (1).叠加特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院9 叠加特性： 系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出之和 即 若 x1(t) y1(t)，x2(t) y2(t) 则 x1(t) x2(t) y1(t)y2(t) 叠加原理表明：同时作用的两个输 入量所引起的响应，等于该两个 输入量单独引起的响应之和。 一个输入的存在不影响另一个输入 的响应，各个输入产生的响应互 不影响。 线性系统的叠加特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院10 (2).比例特性 常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍 ，即: 若 x(t) y(t) 则 kx(t) ky(t) 比例特性示例 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院11 系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微分，即 若 x(t) y(t) 则 x(t) y(t) 当初始条件为零时，系统对原输入信号的积分等于 原输出信号的积分，即 若 x(t) y(t) 则 x(t)dt y(t)dt (3).微分特性 (4).积分特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院12 若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出将为同一 频率的谐波信号，即 若 x(t)=Acos(t+x) 则 y(t)=Bcos(t+y) 线性系统的这些主要特性，特别是符合叠加原理和频率保 持性，在测量工作中具有重要作用。 (5).频率保持特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院13 (c)系统线性近似 测试系统的局部线形 实际测试系统中，系数都是随时间而 缓慢变化的微变 以足够的精度认为多数常见的物理 系统中的系数 是常数 一定的工作范围内和一定的误差允 许范围 ，近似线性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院14 如果测量时，测试系统的输入不随时间而变化（变化极慢， 在所观察的时间间隔内可忽略其变化而视作常量） ，则称为静 态测量。 静态测量时，测试系统表现出的响应特性称为静态响应特性 。 稳态信号 动态信号 4. 测试系统的静态特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院15 理想测试系统其输入、输出之间呈单 调、线性比例的关系。即输入、输出 关系是一条理想的直线，斜率为S= b0/a0 。实际并非理想定常系统。 在静态测试中，输入和输出不随时间 而变化 ，而输入和输出的各阶导数均 等于零。 稳态输入 1. 理想测试系统的静态特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院16 当测试系统的输入x有一增量x，引起输出y发生相应 的变化y时，则定义: 如果是线性理想系统，则 1. 一位移传感器，当位移变化为1mm时，输 出电压变化为300mV，则 2.一机械式位移传感器，输入位移变化为 0.01mm时，输出位移变化为10mm，则 静态测试灵敏度 灵敏度 S=300/1 =300mV/mm 灵敏度 S=10/0.01=1000 (1).灵敏度 S=y/x 2.描述静态特性的指标 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院17 (2).非线性度 p 测试系统输入、输出关系保持常值线性比例关系的程 度。 p 定度（标定）曲线 p 拟合曲线 端基直线 独立直线 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院18 标定曲线与拟合直线 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院19 非线形度 非线性度 : 标定曲线与拟合直线的偏离程度。 实验标定 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院20 偏离程度： 在测试系统的标称输出范围(全量程 )A内，标定曲线与其拟合直线的最 大偏差B与A的比值，即 非线性度B/A100 式中，A输出信号的变化范围； B标定曲线与其拟合直线下最大 偏差，以输出量计。 非线形度 用非线性误差来衡量 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院21 量程为10V时的非线形度 量程为1000V时的非线形度 非线性度B/A100 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院22 (3).回程误差 测试系统在输入量由小增大和由大减小的测试过程中 ，对于同一个输入量所得到的两个数值不同的输出量之间 差值最大者为hmax，则定义回程误差为: 回程误差=(hmax/A)100% 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院23 指测试系统所能检测出来的输入量的最小变化量，表明测试装置分辨输 入量微小变化的能力。 输入量不变时，经过一定的时间后输出量产生的变化。由于温度变化而 产生的漂移称温漂。结构参数，周围环境。 (4).分辨力 (5).漂移 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院24 在对动态物理量进行测试时，测试系统的输出变化是否能 真实地反映输入变化，则取决于测试系统的动态响应特性 。 动态特性:输入量随时间作快速变化时，测试系统的输出随 输入而变化的关系。 4.3 测试系统的动态特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院25 测试系统动态特性的描述方式 ： 传递函数 频率响应函数 脉冲响应函数 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院26 用到的数学知识：拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院27 条件：线性系统的初始状态零 x(t) X(S), y(t) Y(S) 进行拉普拉斯变换： 得： 系统的传递函数H(S) ： 其中，S为复变量，S=+j； n代表微分方程的阶数；如n=1,n=2就分别 称为一阶或二阶系统。 1. 传递函数 (Transfer function) 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院28 H(S)只反映系统对输入的响应特性，与测量信号无关，与具体的物 理结构无关。 传递函数的特点 H(S)是实际物理系统抽象为数学模型后的拉普拉斯变换，因此，物 理性质不同的系统或元件，可以具有相同类型的传递函数H(S)。 H(S)以测试系统本身的参数表示出输入与输出之间的关系，所以它 将包含着联系输入量与输出量所必须的单位。 H(S)中的分母完全由系统的结构所决定，分母中最高次幂n代表系 统微分方程的阶数。而分子则与激励点位置、激励方式、所测量的 变量以及测量点布置情况有关 。 传递函数： 描述系统动态特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院29 2. 频率响应函数 (Frequency response function) 方法： n 傅里叶变换法 n 替代法 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院30 将此公式两边作傅立叶变换，在变换过程中利用傅立叶变换 的微分性质： n 傅里叶变换法 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院31 频率响应函数是传递函数的特例！ n 替代法 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院32 输入：简谐信号x(t)=X0sint 稳态输出：简谐信号y(t)=Y0sin(t+) 相同：输入和输出都为同频率的简谐信号. 不同：两者的幅值不一样，其幅值比A()=Y0/X0随频率而 变化，是的函数。相位差()也是频率的函数。 输出信号的幅、相频图输入信号的幅、相频图 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院33 F物理意义:频率响应函数是在简谐信号的激励下，测量装 置达到稳态后输出和输入之间的关系。直观反映了测试系统 对各个不同频率的简谐信号的响应特性。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院34 u基于频率响应函数的图像描述 幅频相频图 伯德图 实频虚频图 奈魁斯特图 幅图 ： 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院35 幅频相频图 FA()- 曲线称为幅频特性曲线 F()- 曲线称为相频特性曲线 一阶系统的幅频特性曲线 一阶系统的相频特性曲线 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院36 伯德图（Bode图） F20lgA()-lg曲线为对数幅频曲线 F()-lg曲线对数相频曲线。 一阶系统的伯德图 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院37 F奈魁斯特图（Nyquist图）。 作Im()-Re()曲线并注出相应 频率 实频、虚频图 FH()=P()+jQ() FP()实频特性曲线 FQ()虚频特性曲线。 一阶系统的奈魁斯特图 H()=A()ej() 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院38 例 4.1:某测试系统传递函数 ，当输入信号 分别为 ， 时，试分别求系统稳态 输出。 信号信号 信号信号 稳态输出 ： 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院39 3. 脉冲响应函数 称h(t)为测试装置的脉冲响应函数或权函数。 h(t)描述了测试装置的瞬态响应过程。 若x(t)=(t)，则： 进行拉氏逆变换： 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院40 Y(S)=H(S)X(S) 拉氏反变换: 设：x(t) X(S)，y(t) Y(S)，h(t) H(S) x(t)=(t) 线性系统输出的时域响应表示为 ：单位脉冲相应函数h(t)与系统输 入x(t)的卷积。 4. 线性系统的时域响应 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院41 5. H(S)、h(t)、H(j)之间的关系 h(t)时域 瞬态响应过程 H(j)频域 简谐激励，稳态响应 H(S)复数域 瞬态和稳态动态响应过程 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院42 F频响函数的含义是一系统对输入与输出皆 为频域（简谐）信号传递关系的描述。它 反映了系统稳态输出与输入之间的关系。 F传递函数反映了系统包括稳态和瞬态输出 与输入之间的关系。 F权函数是在时域中通过瞬态响应过程来描 述系统的动态特性。 小结： 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院43 实际难以获得 可以通过实验的方法 对简谐信号的特性 系统动态特性描述方法的关系 L1 h(t) 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院44 1）串联系统： 6. 系统的联接方式: 如： 有： 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院45 如： 有： 2）并联系统： 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院46 传递函数的分解 任何高于二阶系统都可以看成是若干个一阶和二阶系统 的并联和串联。 分母因式分解 经部分分式分解得 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院47 数学表述： 7.典型系统的响应特性 (1) 一阶系统(First-order System) 进行拉式变换 (S+1)Y(S)=KX(S) 静态灵敏度： 时间常数： 则 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院48 传递函数： 令：K1 灵敏度归一处理 在工程实际中，一个忽略了质量的单自由度振动系 统，在施于A点的外力f(t)作用下，其运动方程为 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院49 负值表示相角的滞后 输出滞后于输入 频率响应函数 A() () 幅频特性曲线图 相频特性曲线图 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院50 幅、相频 图 伯德图 奈魁斯特图 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院51 2 .一阶系统是一个低通环节。只有当远小于1/时，幅频响应 才接近于1，因此一阶系统只适用于被测量缓慢或低频的参 数。 3.幅值A()随的增大而减小。A()和()的变化表示输出 与输入之间的差异，称为稳态响应动态误差。 一阶系统的频率特性 .当 时： ，表明测量系统输出与输入为线性关系； 很小， ， ，相位差与 频率 呈线性关系。 通常为了减小一阶测试系统的稳态响应动态误差，增大工 作 频率，应尽可能采用时间常数小的测试系统。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院52 例：设有一阶测量装置，时间常数为0.1s，输入信号频率 为多少时其输出信号的幅值误差不大于6%。这时输出信号 的滞后角是多少？ 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院53 周期信号 ，试求其响应。 某测试系统的频率响应曲线 ，若输入 已知：H(j)或A(j)、()或H(S)；x(t)或y(t)； 求： y(t)或 x(t) 一般思路：由H(j)或H(S)求A(j)、() 将x(t)、y(t)分解成正弦谐波信号， 再用 A(j )、()定义求取。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院54 一阶系统的单位脉冲响应 系统输出迅速 衰减，衰减速 度与 的大小 有关。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院55 微分方程 微分方程变为： （固有频率）（阻尼比） 称重(应变片) 加速度(压电) (2) 二阶系统（Second-order system） （灵敏度） 对二阶系统而言，主要的动态特性参数是系统固有 频率 和阻尼系数 。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院56 频率响应函数 幅频特性和相频特性 A()/n () /n 幅频特性曲线图 相频特性曲线图 传递函数 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院57 二阶系统的幅相频特性 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院58 1， 时， ，幅频特性平直，输出与输入为线 性关系； 与 为线性关系。 系统的输出y(t)真实准确地再现输入x(t)的 波形，这是测试设备应有的性能。 结论：为了使测试结果能精确地再现被测信号的波形 ，在传感器设计或测量系统设计时，必须使其阻尼比 1，固有圆频率 至少应大于被测信号频率 （35）倍，即 (35) 。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院59 测试系统的输入、输出与传递函数之间有关系式： 对上式取拉普拉斯斯反变换 1 测试系统在单位阶跃输入下的响应 4.4 测试系统的典型输入响应 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院60 一阶系统的响应 一阶系统在单 位阶跃激励下 的稳态输出误 差为零 越小越好 。 响应都要经过一段时间才能达到阶跃输入值，该过 程称为瞬态过程(动态过渡过程)。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院61 二阶系统的响应 二阶系统的固有频率 和阻尼比 是二阶测试系统 的重要特征参数，简称为二阶系统动态特性参数。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院62 响应曲线形状由阻尼比 和固有频率 决定。二 阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差为零。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院63 1)阻尼比 的取值决定了阶跃响应趋于稳态值的快慢 ， 值过大或过小趋于稳态值的时间都过长。为提高 响应速度，通常选取 =0.6-0.8较合适。 2)测量系统的阶跃响应速度，随系统固有角频率 的 变化而不同。当 不变时， 越大，响应速度越快； 越小，响应速度就越馒。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院64 2 测试系统在单位正弦输入下的响应 一阶系统的响应 二阶系统的响应 其中： K1和K2是与n和有关的系数， 和 分别 为二阶系统的幅频和相频特性。 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院65 一阶系统的正弦响应 二阶系统的正弦响应 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院66 设测试系统的输出y(t)与输入x(t)满足关系 y(t)=A0x(t-t0) 该测试系统 的输出波形与输 入信号的波形精 确地一致，只是 幅值放大了A0倍 ，在时间上延迟 了t0而已。这种情 况下，认为测试 系统具有不失真 的特性。 信号无失真传输是 指系统的输出信号与 输入信号相比，只有 幅度大小和时间先后 的不同，而没有波形 的变化。 4.5 测试系统不失真测量条件 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院67 y(t)=A0x(t- t0) H()=A()ej()则其幅频和相频特性应分别满足： A()=A0=const ()=-t0 即为实现不失真测试的条件。 x(t) x() y(t) y() 机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院68 A()=A0=const ()=-t0 物理意义: 1)系统对输入信号中所含各频率成 分的幅值进行常数倍数放缩，也就 是说，幅频特性曲线是一与横轴平 行的直线。 2)输入信号中各频率成分的相角在 通过该系统时作与频率成正比的滞 后移动，也就是说，相频特性曲线 是一通过原点并且有负斜率的直线 。 1)如果A()不等于常数，引起的失 真称为幅值失真； 2)()与不成线性关系引起的失 真称为相位失真。 3)当()=0时，输出和输入没有滞 后，此时，测试系统才是最