高二数学选修4-44.4.1曲线参数方程的意义.ppt

4.4.1 4.4.1 曲线参数方程的意义曲线参数方程的意义 4.4.2 4.4.2 参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 如图如图, ,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处以高处以100m/s100m/s的速度作水的速度作水 平直线飞行平直线飞行. . 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面( (不记不记 空气阻力空气阻力),),飞行员应如何确定投放时机呢？飞行员应如何确定投放时机呢？ 友情提示：友情提示： 即求飞行员在离救援点的水平距即求飞行员在离救援点的水平距 离多远时，开始投放物资？离多远时，开始投放物资？ ？ 救援点 投放点 创造情境创造情境 x x y y 500500 O O 分析分析: :物资投出机舱后物资投出机舱后, ,它的运动由下列两种运动合成：它的运动由下列两种运动合成： （1 1）沿）沿OO x x 作初速为作初速为100m/s100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动； （2 2）沿）沿OO y y 反方向作自由落体运动反方向作自由落体运动. . 创造情境创造情境 如图如图, ,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处以高处以100m/s100m/s的速度作水的速度作水 平直线飞行平直线飞行. . 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面( (不记不记 空气阻力空气阻力),),飞行员应如何确定投放时机呢？飞行员应如何确定投放时机呢？ x y 500 o 创造情境创造情境 如图如图, ,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处以高处以100m/s100m/s的速度作水的速度作水 平直线飞行平直线飞行. . 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面( (不记不记 空气阻力空气阻力),),飞行员应如何确定投放时机呢？飞行员应如何确定投放时机呢？ （1） 且对于且对于t t 的每一个允许值的每一个允许值, , 由方程组由方程组(1) (1) 所确定的点所确定的点 M(M(x,yx,y) )都在这条曲线上都在这条曲线上, , 则方程则方程(1) (1) 就叫做这条曲线的参就叫做这条曲线的参 数方程数方程, , 联系变数联系变数 x ,yx ,y 的变数的变数 t t 叫做参变数叫做参变数, , 简称参数简称参数. . 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。程叫做普通方程。 1 1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 一般地一般地, , 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的 坐标坐标 x x, , y y都是某个变数都是某个变数 t t 的函数的函数 知识构建知识构建 关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数 x, y x, y 的桥梁的桥梁, , 1.1. 参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义, , 几何意义几何意义, , 也可也可 以没有明显意义；以没有明显意义； 2.2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, , 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样 ; ; 3.3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围; ; 创设情境创设情境 1 1 参数方程通过参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普通方程化为普通方程 参数方程参数方程（t t为参数）为参数） 可得普通方程：可得普通方程：y y=2=2x x - - 4 4 通过代入消元法消去参数通过代入消元法消去参数t ,t , （x x00） 2. 2.参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化： 知识创建知识创建 2.2.三角法：三角法：利用三角恒等式消去参数；利用三角恒等式消去参数； 3.3.整体消元法：整体消元法：根据参数方程本身结构特征根据参数方程本身结构特征, ,从整体上消去；从整体上消去； 化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(F(x,yx,y)=0)=0： 在消参过程中注意在消参过程中注意变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性， 必须根据参数的取值范围，确定必须根据参数的取值范围，确定f( f(t t) )和和g(g(t t) )值域得值域得 x x 、y y的取值范围的取值范围 将普通方程化为参数方程的方法 ： 引入变数x, y 中的一个与参数t的关系，例 如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y=f(t),那么 x=f(t) y=f(t) 就是曲线的参数方程 例例1: 1: 已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是 （1 1）判断点）判断点MM 1 1 (0, 1)(0, 1)，MM 2 2 (5, 4)(5, 4)与曲线与曲线C C的位置关系；的位置关系； （2 2）已知点）已知点MM 3 3 (6, (6, a a) )在曲线在曲线C C上上, , 求求a a的值。的值。 例题分析例题分析: : 例例2 2、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？表示什么曲线？ o y 例例3 3、求参数方程、求参数方程 表示表示（ ） （A A）双曲线的一支双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（1,1/21,1/2）：）： （B B）抛物线的一部分抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（1,1/21,1/2）：）： （C C）双曲线的一支双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（1, 1/2)1, 1/2) （D D）抛物线的一部分抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（1,1/2)1,1/2) 分析分析 一般思路是：化参数方程为普通方程一般思路是：化参数方程为普通方程 求出范围、判断。求出范围、判断。 解解 x x 2 2= = =1+sin=1+sin =2y=2y， 普通方程是普通方程是x x 2 2 =2y=2y，为抛物线。为抛物线。 ，又，又00 22 ， 00x x，故应选（故应选（B B） 说明：说明： 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法 是最好的方法。是最好的方法。 2 2、方程、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是 （ ） A、（2，7）；B、 C、 D、（1，0） 1 1、曲线、曲线 与与 x x 轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )( ) A A、（、（1 1，4 4）；）；B B、 C C、 D D、 巩固练习巩固练习 : : 3. 3.已知曲线已知曲线C C的参数方程的参数方程 且点且点M(5,4)M(5,4)在该曲线上在该曲线上. . （1 1）求常数）求常数a;a;（2 2）求曲线）求曲线C C的普通方程的普通方程. . 解解: : (1)(1)由题意可知由题意可知: : 1+2t=51+2t=5 atat 2 2 =4=4 解得解得: : a=1a=1 t=2t=2 a=1a=1 (2)(2)由已知及由已知及(1)(1)可得可得, ,曲线曲线C C的方程为的方程为: : x x=1+2t=1+2t y y=t=t 2 2 由第一个方程得由第一个方程得: : 代入第二个方程得代入第二个方程得: : 故所求曲线的普通方程为（故所求曲线的普通方程为（ x x -1)-1) 2 2 = 4= 4y y 作业、将下列参数方程化为普通方程：作业、将下列参数方程化为普通方程： (1)(1)(2) (2)(3)(3) x=t+1/tx=t+1/t y=ty=t 2 2 +1/t+1/t 2 2 解