信号与系统课件二.ppt

系统数学模型的时域表示 本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。 元一阶微分方程状态变量描述 阶微分方程一元输入输出描述 : : N N 2.1 2.1 引言引言 系统分析过程 经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问题有待进一步解决 h(t)； 卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法) 变换域法 利用卷积积分法求解零状态 可利用经典法求零输入 双零法 经典法 解方程 网络拓扑约束根据元件约束列写方程 : : ,: 本章主要内容 线性系统完全响应的求解； 冲激响应h(t)的求解； 卷积的图解说明； 卷积的性质； 零状态响应。 主要内容 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法 2.2 2.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解 一微分方程的列写 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性 常系数微分方程来描述。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。 例2-1 电感 电阻 电容 根据KCL 代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压 与激励 间的关系。 R R i L L i C c i a b + - ()()tv R tiR 1 = ( )( ) d 1 - = t L v L ti ( ) ( ) t tv CtiC d d = ()()()()titititi CLRS =+ ()() () () t ti tv Lt tv Rt tv C d d1 d d1 d d S 2 2 =+ 二n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之 间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述 若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。 )( d )(d d )(d d )(d )( d )(d d )(d d )(d 1 1 1 10 1 1 1 10 teE t te E t te E t te E trC t tr C t tr C t tr C mm m m m m nn n n n n += + - - - - - - L L 三求解系统微分方程的经典法：齐次解+特解 系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为 的齐次解。 例2-2：求微分方程 例2-3 如果已知 求此方程的齐次解和特解。 给定微分方程式 齐次解形式为： 特征方程为： 特征根为： 几种典型激励函数相应的特解 激励函数e(t)响应函数r(t)的特解 (2)求特解 代入全解r(t) ，得： 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应 为 时的方程的解，初始条件 齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。 初始条件的确定是此课程要解决的问题。 全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。 = n k t k k A 1 e a 三求解系统微分方程的经典法 2.4 2.4 零输入响应和零状态零输入响应和零状态 响应响应 系统响应划分 对系统线性的进一步认识 一、系统响应划分 自由响应（齐次解）强迫响应（特解） (Natural + forced) 零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 也称固有响应，由系统本身特性决定，与 外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应 中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态 响应分量。 (1)自由响应： (2)暂态响应： 稳态响应： 强迫响应： 各种系统响应定义 没有外加激励信号的作用，只由起始 状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 起始状态等于零（不考虑原始时刻系 统储能的作用），由系统的外加激励信号产生的响应。 (3)零输入响应： 零状态响应： 各种系统响应定义 例2-4：已知系统方程为 起始状态为：输入为： 求系统自由响应与强迫响应，零输入响应与零状态响应 暂态响应与稳态响应 解：特征根为-3，齐次解为 由输入得特解为 1全解为： 代入起始状态，得全解为： 自由响应 强迫响应 零输入响应为： 零状态响应形式为： 代入零状态，得： 由起始状态得 全解为： 例 求零输入响应和零状态响应及系统全响应。 解：零输入响应为： 零状态响应为： 输入为 时，起始状态不变， 全响应为： 例 求零输入响应和零状态响应及系统全响应。 零状态响应为： 起始条件为 ，输入不变，仍为 解：零输入响应为： 由起始状态得 全响应为： 二、对系统线性的进一步认识 由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响 应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对 于各起始状态呈线性。 零状态响应为(1)设零输入响应为 , 为大于零的实常数。 (2)初始条件增大1倍，当激励为 求：(1)初始条件不变，当激励为 时的 全响应 当激励为 时，其全响应为 已知一线性时不变系统，在相同初始条件下， 当激励为 时，其全响应为 例2-5 时的全响应 则有 解（续） 解得 2.5 2.5 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 冲激响应 阶跃响应 系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。 一冲激响应 1定义 2一阶系统的冲激响应 3n阶系统的冲激响应 H ( ) t( )th 2.一阶系统的冲激响应 列系统微分方程： 例2-6求下图RC电路的冲激响应。 齐次方程 )(t C + - )(tvC )(tiCR 奇异函数项相平衡原理 代入原方程 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程 冲激响应 求导 注意 ！ 波形 )()(thtvC= t RC 1 O h(t)判断系统稳定性： 1. h(t)波形衰减，则系统稳定； 2. h(t)波形等幅震荡，则系统临界稳定； 3. h(t)波形无限增长，则系统不稳定； h(t)判断系统因果性： t0 f2(t-) 右移 t 0 f2(t-) 左移 -11 t -1 两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0 O ( ) 1 f 1 11- -1 t 1 时两波形有公共部分，积分开始不为0， 积分下限-1，上限t ，t 为移动时间; O ( ) 1 f 1 11- 1 t 2 即1 t 2 O ( ) 1 f 1 11- 2 t 4 即2 t 4 O ( ) 1 f 1 11- t 4 即t 4 t-31 O ( ) 1 f 1 11- 卷积结果 O t ( ) tf1 1 11-O t ( ) tf2 3 2 3 )(tg tO 24 2 1-1 卷积结果区间的确定 A,B C,D A+C,B+D 一般规律： 上限 下限 卷积结果区间 -1 + 1 例2-11 求下列两函数卷积 用公式法解： 总结 求解响应的方法： 时域经典法： 双零法： 零输入响应： 零状态响应： 完全解=齐次解 + 特解 解齐次方程，用起始条件求系数； 2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质 代数性质 微分积分性质 与冲激函数或阶跃函数的卷积 一代数性质 1交换律 3分配律 2结合律 系统并联运算 系统级联运算 1.系统级联：交换律 系统级联，框图表示： 时域中，子系统级联时，可交换子系统级联顺序。 )(tf )( 2 th)( 1 th )(tg )()()( 1 2 ththth*= )(tf )( 1 th)( 2 th )(tg )()()( 21 ththth*= 2.系统级联：结合律 系统级联，框图表示： 时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统 冲激响应的卷积。 )(tf )( 1 th)( 2 th )(tg )()( 1 thtf*)()()( 21 ththtf* )(tg)(tf )(th 请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。 例2-12 系统级联：交换律 方程左端只保留输出的最高阶导数项 积分 n=2 次，使方程左端只剩下r(t) 项 系统框图 系统框图 )(te )(tr + + + 直接I型 + + + + + 直接II型 对于线性时不变系统 ，子系统级联顺序可 交换。 66 直接型所用的积分器最少，所以也称为正 准型，将正准型的加法器相加即得简化的模 拟图。 r(t) e( t) + + + + + 67 直接型 + + + + + + + + 68 直接型 + + + + + + + 69 y(t) x(t) 直接II型 )(tg )(tf )(tf )(tf )(th )( 1 th )( 2 th 3.系统并联：分配律 框图表示： 子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲 激响应之和。 )(tg)(tf )(th 例2-13 图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激 响应 如图(b)所示。求复合系统的冲激响 应 ，并画出它的波形。 (a) (b) 解： 如图（c）所示 X(c) () th1 ( )th1 ()t h2 + + () tf()ty t ( ) th1 O1 1 t ( ) th2 O1 1 2 t ( ) th O1 1 23 二微分积分性质 微分性质积分性质联合使用 利用微积分性质可简化卷积运算。 g(t)的积分 三.与冲激函数或阶跃函数的