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概率复习 一.一维随机变量: 离散型随机变量:随机变量X,取值只有有限个或可数个. 离散型随机变量分布列:X取值为 x1,x2,且 称为随机变量X的分布列.满足: 结束 1 随机变量:取值由随机试验的结果决定的变量,分为连续型和 离散型两大类.由多个随机变量组成的向量称为随机向量或多 元随机变量. 分布列常用一维表格表示: Xx1x2xk Pp1p2pk 称X为连续型随机变量, f (x)为X的分布密度或密度函数. 它有: 结束 2 知道了密度函数f (x),就可以解决任何事件的概率计算: 一元随机变量的分布函数F (x)=P(Xx) 连续型随机变量:存在非负可积的函数 f (x),对任意实数 x ,有 F(x)有如下性质: 对连续型随机变量X,若其密度函数为 f (x),则: 结束 3 例:7件产品4件一等品,3 件二等品,从中任取 3 件,求 1) 含有一等品件数 X 的分布列; 2) X 的分布函数; 3) 至少含有 1 件一等品的概率. 1) X可能的取值是 0,1,2,3; X0123 P 1/3512/3518/354/35 X的分布列: 结束 4 2) 按分布函数的定义: 3) 结束 5 二.常用分布 1.0-1分布: XB(1,p),属离散型,描述只有两个状态的随机实验 . 结束 6 X01 P1-p-qp 2.二项分布: XB(n,p),属离散型,描述只有两个状态的多次随 机实验.也称为n重贝努利分布.n=1时,就是0-1分布. X012n P Cn0p0qnCn1p1qn-1Cn2p2qn-2 Cnnpnq0 结束 7 3.泊松分布: XP(),属离散型,描述随机到达现象. X012n P e- 0/0! e- 1/1! e- 2/2! e- n/n! 4.均匀分布: XU(a,b),属连续型.X在a,b内连续地机会均等 地取值,其密度函数为: 结束 8 其分布函数为: 5.指数分布:XE(),属连续型.常用于描述人或物的寿命问题, 其密度函数为: 6.正态分布:XN(a,2),属连续型.大量随机变量的分布近似于 正态分布,是最重要的分布之一,其密度函数为: N(0,1)称为标准正态分布,其密度函数为: 结束 9 标准正态分布的分布函数为: 这个积分较难计算,可查书后的表1得到. 1.数学期望: 结束 10 三.随机变量的数字特征 X是离散型: X是连续型,其密度函数是 f(x): 期望EX有如下性质: 2.方差:DX=E(X-EX)2 结束 11 X是离散型: X是连续型,其密度函数是 f(x): 方差表示随机变量对于其重心(期望)的离散程度,它的计算一 般用如下公式: 结束 12 方差DX有如下性质: 四.常用分布的数字特征: 结束 13 二.多维随机变量及其分布 n 维随机变量常记为: 特别地, 2 维随机变量常记为: 它们也分为连续型和离散型. 1. 以 2 维离散随机变量(X,Y )为例,它的联合分布列为: 它也可表示为一个二维表(矩阵) 结束 14 随机变量X 的分布列为: 随机变量Y 的分布列为: 称为(X,Y) 的边缘分布列,有 结束 15 当然也有 2. 多 维连续型随机变量 1) 联合分布密度: 对 X 有非负可积函数 和实数 称为随机变量X的联合分布密度: 对二 维连续型随机变量(X,Y), 联合分布密度为 f(x,y): 结束 16 2) 边缘分布密度: 3. 多维随机变量分布函数(以二维为例) 4. 多维随机变量独立性(以二维为例) 1) 离散型 结束 17 2) 连续型 称 X,Y 相互独立 三.大数定律与中心极限定理 独立同分布,记 且已知 则有大数定律: 即 依概率收敛到 ,即 即不管 Xi 服从什么分布,当 n 相当大时,它们的均值接近于 它们的数学期望 结束 18 独立同分布,记 则有中心极限定理: 即 即不管 Xi 服从什么分布,当 n 相当大时,它们的均值 近似地服从正态分布. 结束 19 结束 20 5.协方差,相关系数: 协方差,相关系数的性质: 结束 21 1)协方差矩阵: 定义B1:协方差矩阵 结束 2