向量组的线性关系.ppt

第二节 二、线性相关与线性无关的概念 向量间的 线性关系 三、向量组线性相关性的判别 一、线性组合与线性表示 第三章 1 一、线性组合与线性表示 为组合系数. 称 设有n维向量组 如果存在一组数则称 是向量组的线性组合; 定义1 线性表示。称可由 若向量可以由向量组的线性 即存在一组数 使得 组合来表示， 2 观察三个向量之间的关系， 有 设由三维向量 我们称是和的线性组合。 组成的向量组， 也称可由和线性表示。 例1. 3 观察三个向量之间的关系， 有 观察四个向量之间的关系， 有 例. 例. 4 任一n 维向量都可由n维单位向量组, , , + 线性表示， 即+ 5 而三维基本单位向量 中任何一个向量， 都不能由其他两个向量线性表示。 n维基本单位向量 它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。 中任何一个向量， 也不能由其他向量线性表示。 6 设 即 =+ + （1） 7 8 定理1 设是为 n维列向量组， 可由 线性表示有解 其中 因为 中每个向量都可由向量组本身 (2)向量组 线性表示， (1)零向量可由任一组向量线性表示。 9 例2. 已知 问是否可由线性表示？如能线性表示 解: 设有数 就写出表达式. 使 10 有唯一解 11 练习. 已知 问是否可由 线性表示？ 如能线性表示 解: 设有数 就写出表达式. 使 12 同解方程组为 令得 k 为任一常数. 13 例3. 判断 是否为向量组 的线性组合？ 解: 设对矩阵 14 若 15 观察三个向量之间的关系， 有 设由三维向量 又可以写成 组成的向量组， 引例 16 二、线性相关与线性无关的概念 如果存在一组不全为0的数 设为m 个n 维向量组， ， 使 成立，则称向量组 线性相关。 否则称 则对任意不全为0的数 ，都有 线性无关， 即当且仅当时，式才成立。 线性无。关 而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式 成立外还能找到不全为0的数使等式 。 成立 若 定义1 17 根据向量的线性运算，只能得： 例如 则线性无关。 18 线性相关。 例4. 已知 即 判别 是否线性相关。 解: 因为 当向量组只含一个向量时， 为线性无关向量组. 当为线性相关向量组 ; 当 特别 19 当向量组含两个非零向量时， 设 线性相关与对应分量成正比与 即与的对应分量成比例. 证明:线性相关，则存在不全为零的数 或 与 或 例5. 使得若 20 例如 对应分量不成比例，线性无关。 对应分量成比例，线性相关。 几何上说向量共线。 21 例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关, 则此向量组必定线性相关。 证明:设向量组中， 取数 必有 22 线性相关 线性相关. 即如果部分组线性相关， 则整体组也线性相关。 定理2. 证明: 线性相关 因为 则存在一组不全为0的数使 成立，因此有 其中 不全为零。 线性相关。 部分相关，整体相关！ 23 线性无关 线性无关. 即：如果整体组线性无关， 则部分组也线性无关。 定理3. 利用定理2，用反证法。 定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间 的关系。 整体无关，部分无关！ 24 若线性无关， 则 线性无关。 即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关！ 若线性相关， 则线性相关。 已知 25 证明 ： 假设线性相关， 则存在一组不全为0 的数使得 则 因此必线性相关。 26 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别 已知 解: 设有数使得 例7. 判别下列向量组的线性相关性 三、 向量组线性相关性的判别 下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性 和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别 。 27 即 有 得同解方程组 28 得同解方程组 令（k 为任意实数） 由 得 此向量组线性相关。 方程组有非零解， (未知数个数n ), 此向量组线性相关。 29 小结 首先设有数使得 归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。 用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法， 第二步将 代入得齐次线性方程组。 30 方程组有非零解， 有 则称向量组 线性相关。 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。 第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 31 定理4 有非零解 线性相关 秩 （无关） （只有零解） ） （秩 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论2设n 维向量组中含有m个向量,当mn 时， 此向量组必定线性相关。 推论1当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 32 判断 ， ， 的线性相关性. 例8. 解: 33 线性相关. 34 例9. 判断下列向量组的线性相关性 解: 线性无关. 35 解: 线性相关. 36 2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别 利用相关性的定义和反证法判别。判别方法： 37 方程组只有零解， 试证向量组 整理得 即 证明: 例10.设向量组 线性无关， 也线性无关。 因为向量组 线性无关，所以必有 从而 设存在数 使得 线性无关。 38 例11. 证明: 已知证明线性无关， 线性相关。 设存在数 已知 只有线性无关， 使得 即 故向量组线性相关。不全为零， 39 定理5 其中至少有一个向量是其余m1个向量的线性组合。 线性相关 证明:必要性：线性相关， 不全为0的数 则存在一组 使 不妨设，则 即是的线性组合. 40 组合，即存在不全为0的数使 线性相关. 不全为0， 由于 则 中至少有一个向量是其余 向量的线性组合，不妨设是其余向量的线性 充分性：因 41 向量可由线性表示， 这说明线性相关； 而向量组中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。 一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。 42 线性无关， 线性相关，则 可由A线性表示且表法唯一。 证明: 因为线性相关， 则存在一组不全为零的数 使成立。 由于线性无关，必定 ， 定理6 故 43 故表示唯一。 又设是另一种表示形式。 两式相减 已知 线性无关， 必有 44 已知向量组线性相关，线性无关。 证明 可由线性表示； 不可由线性表示。 故线性无关， 线性表示。可由 线性无关， 假设可由 线性表示， 使 即存在 由，可由线