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无穷小(infinitely small) 无穷大(infinitely great) 无穷小与无穷大的关系 1.4 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 1函数与极限 1. 定义 极限为零的变量称为无穷小量, 简称 如, 无穷小是指 函数变化的趋势. 无穷小. 一、无穷小 在某个过程中 无穷小与无穷大 2 定义1 记作 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达 它的变化状态的.“无限制变小的量” 无穷小与无穷大 3 2. 无穷小与函数极限的关系 定理1 无穷小与无穷大 例 4 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和定理2 仍是无穷小. 3. 无穷小的运算性质 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注 不是无穷小. 无穷小与无穷大 5 在同一过程中,有极限的变量与无穷小 常数与无穷小的乘积是无穷小; 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小. 推论1 的乘积是无穷小; 推论2 推论3 无穷小与无穷大 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 6 二、无穷大 在某一极限过程中函数值的绝对值无限增大的变量 称为 无穷大. 如,是无穷大; 是无穷大. 无穷小与无穷大 记作 特殊情形:正无穷大,负无穷大 7 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 无穷大一定是无界函数, 注 (3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 未必是某个过程的无穷大. 但是无界函数 无穷小与无穷大 8 如是无界函数, 但不是无穷大. 无穷小与无穷大 9 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理4 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 三、无穷小与无穷大的关系 无穷小与无穷大 关于无穷大的讨论,意义 无穷小的讨论. 都可归结为关于 10 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之 积仍为无
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