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文档简介

一、立体的体积 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片对质点的引力 五、小结 一、立体的体积 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 例1 计算由曲面及 xoy 面所围的立体 体积。 解 设立体在 第一卦限上 的体积为 V1。 由立体的对称性，所求立 体体积 V = 4V1 。 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为 它的底为 于是， 例2 求两个圆柱面 所围 的立体在第一卦限部分的体积。 解所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为 它的底为 它的底为 它的曲顶为 于是，立体体积为 例3 求球体 被圆柱面 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 解显然，所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限。 而且，四个卦限部分的体积 是对称相等的。 因此，若设第一卦限部分的体 积为 V1 ，则所求立体的体积为 V1 可以看成是一个曲顶柱体， 它的曲顶为 它的底D 由半圆周 及 x 轴围成。 用极坐标系表示 于是 ， 所求立体体积 二、曲面的面积 设曲面的方程为： 如图， - 曲面 S 的面积元素 曲面面积公式为 ： 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 解 设第一卦限部分的面积为 A1 ， 则由对称性，所求的面积为 极坐标系下表示： 三、平面薄片的重心 当薄片是均匀的，重心称为形心. 由元素法 闭区域 D 的面积 解 薄片对 z z 轴上单位质点的引力 G 为引力常数 四、平面薄片对质点的引力 解由积分区域的对称性知 所求引力为 几何应用：立体的体积、曲面的面
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