平面向量的练习题及答案

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 28 平面向量的练习题及答案 典例精析 题型一 向量的有关概念 下列命题： 向量 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； 向量 向量 共线向量，则 A、 B、 C、 D 必在同一直线上 . 其中真命题的序号是 . 对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故 错； 显然错； A、 B、C、 D 可在同一直线上，也可共面但不在 同一直线上，故 错 . 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可 . 下列各式： |a| a?a； ?c a? ； 在任意四边形 ， M 为 中点， N 为 中点，则 2； a ， b，且 a 与 b 不共线，则 . 其中正确的个数为 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 28 B. C. D.| a| a? ?c a? ； 下图所示， +且 +， 两式相加可得 2命题 正确； 因为 a， b 不共线，且 |a| |b| 1，所以 a b， a 即得 . 所以命题 正确 . 题型二 与向量线性运算有关的问题 如图， 平行四边形， ，点 M 在线段 ，且 =，点 N 在线段 ,且 =,设 =a, =b,试用 a、 1 313 . 在 ?， ， 111所以 a b)，22 2 2 2. 11又， ， 3 1 所以 b 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 28 1115 b a， 266111 4412 a b). 323 所以 1511 ) 量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这 样的变形 . O 是平面 上一点， A、 B、 C 是平面 上不共线的三点，平面 内的动点 P 满足 1 ，若 2 时，则 值为 . 由已知得 ， 11 即 ，当 时，得 2 所以 2 所以 所以 B 0， 所以 ? ?0 0，故填 0. 题型三 向量共线问题 设两个非零向量 a 与 b 不共线 . 若 a b， 2a 8b， 3， 求证： A， B， D 三点共线； 试确定实数 k，使 b 和 a 1 证明：因为 a b， 2a 8b， 3， 所以 2a 8b 3 5 5 所以 线 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 28 们有公共点 B， 所以 A， B， D 三点共线 . 因为 b 和 a 所以存在实数 ，使 b ， 所以 a b. 因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量， 所以 k k 1 0，所以 1 0，所 以 k 1. 向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想 . 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 . 已知 O 是正三角形 +2+3=0，则 面积之比是 如图，在三角形 ， 230，整理可得 2 0. 1 令三角 形 ， ，则点 O 在点 F 与点 E 连线的处，即 21三角形 上的高为 h，则 SS SE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 28 际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来 . a 与 b 共线同向时， |a b| |a| |b|； 当向量 a 与 b 共线反向时， |a b| |a| |b|； 当向量 a 与 b 不 共线时， |a b| |a| |b|. 典例精析 题型一 平面向量基本定理的应用 如图 ?M,C， 已知 AM=a,=b,试用 a， b 表示， C 易知 ， 1 1?a,?2 即 ? ?1?b.?2? 22所以 b a)， 2a b) 所以 a b). 运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示 已知 D 为 边 的中点， 在平面内有一点 P，满足 0 等于 由于 D 为 此由向量加法的平行四边形法则，易知 2此结合 0 即得2此易得 P， A， D 三点共线且 D 是 1，即选C. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 28 题型二 向量的坐标运算 已知 a， b， u a 2b， v 2a b. 若 u 3v，求 x；若 uv ，求 x. 因为 a， b， 所以 u 2， v 2 . u 3v? 3 ?， 所以 2x 1 6 3x，解得 x 1. uv ? ?2x?1?,? ? 3 0?x 1. 对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视 . 知向量 *) ， |b| y|b|2 |b|2 |b|2 77 |b|2的最大值为 . 设 b，所以 y |b|2 |b|2 |b|2 |b|2 2 2 2 2 2822以 y 的最大 7777 值为 284. 题型三 平行向量的坐标运算 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 28 已知 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，设向量 m， n， p . 若 mn ，求证： 等腰三角形； 若 mp ，边长 c 2，角 证明：因为 mn ，所以 . 由正弦定理，得 a 等腰三角形 . 因为 mp ，所以 mp 0，即 a b 0，所以 a b 由余弦定理，得 4 2 3 所以 2 34 0. 所以 4 或 1. 113所以 S m， n，则 mn? mn? 0. 已知 a， b， c 分别 为 三个内角 A， B， C 的对边，向量 m， n .若 mn ，且 a b 10，则 长的最小值为 3 23 1 由 mn 得 23 2 0，解得 2，所以 2品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 28 例题讲解 1、下列命题中 ,正确的是 A.若 a?b,则 a 与 b 的方向相同或相反 B.若 a?b,b?c,则 a?c 则这两个单位向量相等 D.若 a=b,b=c,则 a=c. ?1?2? 2、已知平面内不共线的四点 0,A,B,B?C,则 33 ? | 3、已知向量 a= ,b= ,若 2a b 与 b 共线 ,则实数 n 的值是 . 3 3 ? 4、向量 向量 a?平移后得向量 A?B?,则 A?B?的坐标为 A. D.、如图 ,在 ,D 是 中点 ,E 是 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 28 ? F 是 若 AB?a,AC?b,则 A. 14a? 34 b B. 14a? 34b C. 18a? 7818a? 78b 6、若函数 f? 的图象按向量 a 平移 后 ,得到的图象关于原点对称 ,则向量 a 可以是 ? A. B. C. 424 二、填空题 :共 3 小题 7、设 a,b 是两个不共线的非零向量 ,若向量 b 与8a?则 k? 8、若 a?b?c,化简 3?2?2?、已知正 边长为 1 ,则 于 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 28 ? ? ? 检测题 1、已知非零向量 a,b 满足 a=?b,b=?a,则 ?= A.?1 B.?、设 a,则下列不等式中不恒成立的是 A.a?b? ?bC.a?b?a?b D.a?a?b、已知 a=,b=,?,则实数 k 的值是 A. 53 B. 2511 C.? 12 D.?17 4、已知平面向量 a?,b?,则向量 a?b. 象限的角平分线 y 轴 象限的角平分线 x 轴 5、将二次函数 y?a 平移后 ,得到的图象与一次函数 y?2x?5 的图象只有一个公共点 ,则向量 a? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 28 A. B. C. D. 6. 如图 ,在正六边形 ? 已知 AC?c,AD?d,则 . 巩固练习 ? 1. 若 e1, 夹 角 为 的 单 位 向 量 ， 且a?2e1?e2,b?3 a?b? 3 77 B. ?4C. ? D. 22 2. 设 a?,b?,c?则 ?c? A. 3D.?11 答案 C 3. 在 ?已知向量 则 ?面积等于 A 22 B 24 C 32 D 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 28 答案 A 4. 在 ?a?5,b?8,C?60?,则 A 10 B 20C 10D 20 5. 已知下列命题中： ? 若 k?R，且 ，则 k?0或 b?0， ? 若 a?b?0，则 a?0或 b?0 若不平行的两个非零向量 a,b，满足 |a|?|b|，则 ?0 ? 若 a 与 b 平行，则 a?b?|a|?|b| p2? 其中真命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 ? 6. 已知点 O 为 接圆的圆心，且 B?,则 内角 A 等于 在平行四边形 ， 于点 O， E 是线段 中点，? 线与 若 AC?a， BD?b，则 的延长 b 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 28 D a? 31 23b A 14 a? 12 b B 23 a? 13 b C 12 a? 14 答案 B 8. 已知 a?1,b?6,a?2，则向量 a 与向量 b 的夹角是 A ? 6 B ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 28 4 C ? 3 D ? 2 答案 C ? 9. 在平行四边形 A?B，则必有 a?,向量 b?则 |2a?b|的最大值，最小值分别是 A 42,0B 4,42C 16,0D 4,0 二 11. 已知 斜边 ，则 C?A?. 答案 25 12. 设 p = ， q = ，若 p 与 q 的夹角 ?0, ? 2 )，则 x 的取值范围是 13. 若平面向量 a， b 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 28 满足 ?1， a?x 轴， b?，则 a?答案 -= 解析 a?b?或，则 a? 或 a?. 14. 在 ?， O 为中线 一个动点，若 ，则 最小值是 _。 答案 2 ? 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，设向量 m?， ? n?， p? . ? 若 m/n，求证： 为等腰三角形； ? 若 mp ，边长 c =，角 面积 . 明： n,?即 a?三角形 b? 其中 R 是三角形 接圆半径， a?b ?等腰 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 28 解由题意可知 m/p?0,即 a?b?0 ?a?b?余弦定理可知， ?a2?b2?3 ?3?0 2 ? ?S? 12 12?4? 3 ? 课后练习 ? ? ? 1、已知 矩形， E 是 中点，且 AB=a， b，则 ? ?1 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 28 ?12 ?12 ?12 b+a b a a b a b 2、设非零向量 a 与 b 的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是 a b 0 a a b 的方向与 a 的方向一致 若 a b 的方向与 b 一致，则 |a| 11 A B. ?C. D. 2 22 4、下列各组向量中，可以作为基底的是 A B. C D. 5、已知向量 a,b 的夹角为 120?，且 |a|=2,|b|=5,则2a= A 12D. 16、已知 a、 b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 |a+3b|= A D 4 ? ? 7、若向量 a 与 b 的夹角为 60， |b|?4,.?72,则向量 A 2 B 4C 6 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 28 D 12 7 B C 8、已知 且 A ，则 x+2A 0 12 D. 2 9、 B?C?A，则 P 是 . 内心 C. 重心 D. 垂心 10、直线 3x?4y?12?0 的方向向量可以是 A. B. 11、点到直线 5x?12y?4?0 的距离为 A. 50 13 12、下列命题中： B. 2213 C. 2613 D. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 28 4613 ab? 存在唯一的实数 ?R，使得 b?a； e 为单位向量，且 ae ，则 a=|a|2e ； |a?a?a|?|a| ； a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线； 若 a?b?b?c则 b?c,当且仅当 a?0时成立其中正确命题的序号是 3 A B C D 一、 填空题 13、与向量 a =平行的单位向量为 ? 14、已知向量 且 A、 B、 C 三点共线，则 k 的值 为 _ 15、已知 |a|=5,|b|=5, |c|=25,且 a?b?c?0,则a?b?b?c?c?a=_ 16、 ?命题 C? C? ； 若 ? ? ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 28 平面向量高考经典试题 一、选择题 1已知向量 ?a?， ? b?，则 ?a与 b? A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向 2、已知向量 a?， b?，若 2a?b与 b 垂直，则 a? A 1 B C 2 D 4 3、若向量 ?a,?a|?|? b|?1， ?a,?b 的夹角为 60 ，则 ?a?a ?=_； 答案： 3 2 ； 4、 设两个向量 ?a?和 ?b?,其中 ?,m,?为 实数 a?2?b,则 ? m 的取值范围是 A.?6,1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 28 B.4,8 C.?) 6、在 ?知 D 是 上一点，若 =2， =1 3 ?,则 ?= 23 13 - 13 - 23 7、设 F 为抛物线 A、 B、 C 为该抛物线上三点，若 ?=0，则 | 9 8、在 ，已知 D 是 高一数学三角变换试题第 1 页 平移，得到 y? f? A e?2 x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 28 B e?2 x C e x?2 D e x?2 10、已知 O 是 在平面内一点， D 为 ? 2B?，那么 ? D ? ? ? 2D ? 11、在直角坐标系 i,j 分别是与 x 轴， y 轴平行的单位向量， ? 若直角三角形 i?j， i? k 的可能值有 A、 1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个 12、对于向量， a 、b、 c 和实数错误！未找到引用源。，下列命题中真命题是 A 若错误！未找到引用源。，则 a 0 或 b 0B 若错误！未找到引用源。，则 0 或 a 0 C 若错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 28 则 a b 或 a b D 若错误！未找到引用源。，则 b c 的图象是一条 13、设 a， b 是非零向量，若函数 f? 直线，则必有 A ab B ab C |a|?|b| D |a|?|b| 14、若 O、 E、 F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ? A F?B. F?C. E D. E 高一数学三角变换试题第 页 ? ?2?平移，则平移后所 15、将 y?2?的图象按向量a?， ?36?4? 得图象的解析式为 ? y?2? y?2?2 ?34?34? y?2? y?2?2 ?312?312? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 28 16、设 a=,a 在 b 上的投影为为 A. 答案：选 B ) C. 17、若非零向量 a， b 满足 a?b?b，则 2a?a?b 2b?a?b 2a?2a?b b?a?2b 18、 若非零向量 a， b 满足 a?b?b，则 2b?a?2b 2a?a?b 2b?a?2b 2a?a?b ， b?，则向量 19、已知平面向量 a?1) ，2) ? 高一数学三角变换试题第 页 ? 21、已知向量 且 A,向量 于 ?32? ?,? ?77? ?24? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 28 ?,? ?721? ?32?,? ?77? 4?2 ?,? ?721? b?0，且 c=2、若向