高数下册练习题及答案

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 42 高数下册练习题及答案 高等数学 高等数学测试题一 一、选择题 1设有直线 ?x?3y?2z?1?0 L:? ?2x?y?10z?3?0 及平面 ?:4x?2y?z?2?0，则直线 L A平行于平面 ?； B在平面 ?上； C垂直于平面 ?；D与平面 ?斜交 . ?22 2二元函数 f?x?0, ? A连续、偏导数存在 ； B连续、偏导数不存在； C不连续、偏导数存在； D不连续、偏导数不存在 . 3设 f 为连续函数， F? ?1 tt y 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 42 F? A 2f； B f； C ?f D 0. 4设 ?是平面面积分 ?z?1 由 x?0， y?0， z?0 所确定的三角形区域，则曲23 ? ? A 7； B x 21 ； C 14； D 21. 5微分方程 y?y?e?1 的一个特解应具有形式 A ae?b； B b； C ae? D 二、填空题 1设一平面经过原点及点，且与平面 4x?y?2z?8 垂直，则此平面方程为 2x?2y?3z?0； x x x x 2设 z?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 42 x?y ，则 ? 2dx? 1 高等数学同步作业册 3设 L 为 x2? 正向一周，则 L 2 4设圆柱面 x2?，与曲面 z?点相交，且它们的交角为则正数 ， 6 ； 5设一阶线性非齐次微分方程 y?有两个线性无关的解 y1, ?是该方程的解，则应有 ? . u ?u?v?x?y 三、设由方程组 ?确定了，是，的函数，求及 x?x?y?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 42 与 ?v . ?y ?dx?：方程两边取全微分，则 ? ?dy?u?u du?x2?解出 du, ?e?e?x2?从而 ?ux?v?y?,?,?2222?xx?y?xx?y?yx?y 3 四、已知点 A 及点 B，求函数 u?z 在点 A 处 ? 沿 ?212?解： 2,1,?2?,? ?333? ?3, ，3,3,?6?33?3z? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 42 ?,?3,3,?6?2?1?4?从而 2 411y . 2x ?u ?1?332?3? 五、计算累次积分 ? 1 院 系 班级 姓 名 作业编号 解：依据上下限知，即分区域为 D?2,?x?2,1?y?x?4, x ?y? 作图可知，该区域也可以表示为 D:1?y?2,y2?x?2y 从而 ? 2 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 42 1 4122?e2?ey?1?ey?e? 21 ?2e2?e2?e 六、计算 I? ?中 ?是由柱面 x ? 2 ? 及平面 z?0,z?1 围成的区域 . 1 1 2 z?1?：先二后一比较方便， I? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 42 ?z 2 21 ? ? 2 七计算 ? ?中 ?是抛物面 2z?x?z?2 所截下的有限部分 . 解：由对称性 322 ,x? x2?z)? 而 ?L 是点 A 到点 在上半平面上的任意逐段光滑曲线 . ?Q?2：在上半平面上 ?x?x?P?2 且连续， ?0?2精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 42 ?y?x 3 高等数学同步作业册 从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取 C 2 2? 44?2152 ?dx?1?B?y2?y 2 2 九、计算 ? 中 ?为半 22 球面 z?x?y 上侧 . 解：补 ?1:z?0 取下侧，则构成封闭曲面的外侧 ? 2 2 ?1 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 42 ?1 2x2?1?1?1?3?1?2?1? ?2? 2 2? 149?3 d?r?04400 1 s?2y?2y 十、设二阶连续可导函数 y?f， x?适合 2?42?0，求 t?t?s y?f ?y?s?y1?f?2,?f? 解： ?tt?2y?s?2s?s?2y?1?1? ?2f?3f?f?2?,2?f?2f?t?t?t?s?t?t?t?t?s?2y?2s?4 由已知 2?42?0,?3f?f?2?2f?0, ?t?st?t?t 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 42 即f?x?2x?0,?f?x?0,f?x? 2 ?f?x?21,f?x?1c2 x?422 2 ? ? ? ? 十一、求方程的 y?4y?解 . 解：解：对应齐次方程特征方程为 r?4?0,?2i ?x 非齐次项 f?x?， 与 标 准 式f?x?e?Pm?x?x?Pl?x?x? 比较得 n?m,l?0,?2i,对比特征根，推得 k?1，从而特解形式可设为 4 院 系 班级 姓 名 作业编号 ?x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 42 y*?x?xe?1 y*?y*?入方程得 ?4a?0,b? 1 4 y?1 二、在球面 x2?y2?z2?第一卦限上求一点 M，使以 M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小 . 解：设点 M 的坐标为 ?x,y,z?，则问题即 V?8x2?y2?z2? 求最小值。 2222 令 L?8x?y?z?a，则由 ? x?0,y?0,z?0,x2?y2?z2?出 x?y?z? ， M 的坐标为 附加题： n?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 42 1判别级数 ?是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收 1?n)?然该级数为交错级数且一般项的 调减少趋于零，从而该级数条件收敛 n 2求幂级数 ?和函数 . n?02?n! ? 2n?1?!2? ? 解： R?2?n!n?12?2 ?n?1?1n?1?1?n?n ?n?n?1?1?x?1?x? x? 从 而 收 敛 区 间为 ?,?， ?n?n!n?1!?2?n?0n!?2?n?0n?1? ? 1?x?1?x?1?x? ? n?2n?2!?2?n?1n?1!?2?n?0n!?2? n n n n 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 42 5 第八章 多元函数微分法及其应用 “ 充分 ” ， “ 必要 ” ， “ 充分必要 ” 中选择一个正确的填入下列空格内： f?x,y?在点 ?x,y?可微分是 f?x,y?在该点连续的充 分条件； f?x,y?在点 ?x,y?连续是 f?x,y?在该点可微分的必 要条件。 ?z?z z?f 在点 ?x,y?的偏导数 ?x 及 ?y 存在 是 f?x,y?在该点可微分的必 要条件； ?z?z z?f 在点 ?x,y?可微分是函数在该点的偏导数 ?x 及 ?分条件。 ?z?z z?f 的偏导数 ?x 及 ?y 点 ?x,y?存在且连续是 f?x,y?在该点可微分的充 分条 件。 ?2z?2z 函数 z?f?x,y?的两个二阶混合偏导数 ?x?y 及 ?y?x 在区域 D 内连续是这两个二阶 混合偏导数在 D 内相等的充 分条件。 f?x,y? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 42 函数 x?y 2 4x? 12 的定义域，并求 y?0 x? x,y? 。 ?4x?0?x2?22 ?1?x?y?0?x 22222?1?x?y?1?D?x,y0?x?y?1,y?4x? 解： 1)?，定义域： 2)由初等函数的连续性知： 1 f?f?12x? 2y?0 4? 1?022 ?1?2?2?0?2? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 42 2 3x2? 2 不存在。 证明：当点 ?x,y?沿用 y?于点 ?0,0?时，有 y? x?0?x2?x2?k2 x?0?x2? ，显然它是随着 k 的不同而改变的， 故：极限不存在。 ?22 f?x,y?x?y ?0,? x2? x2? 求 fx?x,y? 及 fy?x,y? 解： 1) 当 x?y?0时， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 42 22 fx?x,y?fy?x,y? 2y2?y2?y ? ? 2 ?y 22 ? ? 2x 2 ? ?x,0?f?0,0?22 ?当 x?y?0 时， ?x?0 ，故： ,0?0 f?0,0?y?f?0,0?y?0f?0,0?0 ?y ，故： y 2 22 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 42 ? x4? ?2 fx?x,y?x2? 于是： , x2?x2? ?x2?x2?2 fy?x,y?x2?0 下列函数的一阶和二阶导数： z?y , x2?x2? ? 2 ?； ?,2?xx?y 解： ? ?yx?2z?1 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 42 ?x2?x?x2?2z?2y ? ?y2?y?x?z ?1?2z?1 ?x?x?y?yx?y ， ?2y ? x?x?y?2y2?x?2?22 x?yx?z ?xy?y ?z ?y?, 解： ?x ?2z?2?y?y?1?x?x?x ?x2?z? ?y?y?1?y?x?y?y 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 42 x?x?2,y?1,?x?y?的全增量 和全微分。 ,1?2?1?2 解： 1) ， ?z?z?2,1?z? 2) y2?x ? x ? 2 ?y 22 ? ?y3 x 2 ?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 42 2 ?10 ,1?,1?9 dz?,1?x?,1?y? x?x2?2y? x ?y 22 ? x3?x 2 2 x?2,y?1 ?x?y?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 42 ,x2?,?3 f?x,y?222 ?x?,x?y?0.；证明：在点 0 处连续且偏导数存在，但不可微分 . ? 0? 证明： 1) x?y 22 ?x 2 ?y x?0 y?0 322 ? ? 232 ?2? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 42 12 于是： x?0y?0 ?x 2 ?y 322 ?0 x,y?f?0,0?0 即： f?0,0?y?f?0,0?f?0?x?0?f?0?0?y?0?x?0?y?x , f?0,0?,0?0 即： f?x,y?在 O?0,0?处的偏导数存在，且 x 3) 假设 f?x,y?在点 O?0,0?处可微，则有： ;即： f?x,y?在点 O?0,0?连续 df x?0y?0 ?,0?dx?,0? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 42 ?f 又 x?0y?0 ? ?x?2?y?2 ?x? x?0y?0 2 ?y? 322 ? 322 ?x?2?y?2 ?f x?0y?0 ? ?x?y? 2 ? ?*? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 42 书中 18页已证明： 即： 22 ?x?y? ?x?2?y?22 f x?0y?0 x2? ?x?0 不存在，故式在 ?y?0时极限不存在， ?df x?0 y?0不能表示为 ? ?高阶无穷小， 于是， ?f?x,y?在处不可微分。 du y u?x，而 x?t?,y?t?都是可微函数，求 du?t?xy?t? 解：dt?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 42 ?z?z?z , ?u?,v?,w?z?fu,v,w?。 ；求 ?z?z?v?z?w?z?z? ?v?w 解： ?v?w? ?z?z?u?z?w?z?z ?u?w?u?w ?z?z?u?z?v?z?z? ?u?w?u?v? ?2 z?f?u,x,y?,u?中 f 具有连续的二阶偏导数，求 ?x?y. ?z?u ?f1?f2?ey?f1?x 解： ?x ?u?2z?u ?ey?f1?f?f?f?f?11?1?x?y? ?e?f1?e?xe?2?xe?f?e?f?f?e?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 42 ?z?z x?y?z?y. u 解：将 x?e? x,? ?u?v?e?e?x?x? ?0?eu?u?eu?v?y?y?u 将 x?e?边同时对 x,?u?v?e?e?x?x?u?eu?1?e?y?y? 联立 ?1?,?2?式得： ?1? ?2? ?u?v?e?u?e?u?x ?x ?u?v?e?u?e?u?y ?x ?z?z?u?z?v?u?u ?v?e?u?e?x?u?x?v?x 于是 : 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 42 ?u ?e ?z?z?u?z?v?v?e?u?u?e?u?y?u?y?v?y ?u ?e 螺旋线 x?y?z?b?在点 ?a,0,0?处的切线法平面方程 . 解： T?a,0,0?x?,y?,z? ? ? a,0,0? ?b?0?0,a,b? x?z?0?x?a? ： ?by? 切线方程： 0 法平面方程： 0?x?a?a?y?0?b?z?0?0，即 ： ay? z?这点处的法线垂直于平面 x?3y?z?9?0，并写出这法线的方程 . 解：曲面 z?点 ?x0,y0,的法线向量为：n?y0,1? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 28 / 42 1,3,1? 平面 x?3y?z?9?0 的法向量为： 当 n ,曲面 z?点 ?x0,y0,的法线垂直于平面 ,此时 , ? ? ? , 1 , 于是 ,点 ?3,?1,3?即为所求 , x?3y?1z?3 ? 31 此时 ,所求法线方程为 :1 22 x 轴正向到方向 l 的转角为 ?，求函数f?x,y?x?xy?y 在点 ?1,1?沿方向 l 的方向导数。并分别确定转角 ?，使这导数有：最大值；最小值；等于 0。 ?f ?2x?y,?x 解： ?f?f ?x?2y ?x?y, ?1, ?1,1? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 29 / 42 ?f ?1?y?1,1? 于是 ,函数 f?x,y?在点 ?1,1?沿方向 ?f?f?f?2?l?x?y?4? 5?f?f? ?0? ?224?l?l 当时 ,有最大值 ;时 ,有最小值 ;或时 ,. 2?2?12222u?x?y?函数在椭球面 a 上点M0?x0,y0,沿外法线 的方向导数 . ?2n?20,20,20? , 其方向余弦为 : ? 椭球面上点处的法线向量为 : ? 2 2 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 30 / 42 2 2 2 2 ?x,y,z ? ?x0,y0,z0 u 于是 ,函数 u 在点 n 的方向导数为 : ?f ?ux?l 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 31 / 42 uz 高等数学 _学院 _专业班级姓名 _ _学号 _ 反常积分、定积分应用 1、求无穷限积分 ? ?0 。 e? ?0 e?1 a 2 2 、求瑕积分 ? 1 。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 32 / 42 ? 2 1 2?0?1? ? ?0 d?x?1?1?2 2 3/21/2?2 ?x?1?2?x?1? ?0?3?1?8?2?8 = ?3/2?2?1/2? 3?0?3?3 2 3、求由曲线 y?2x与 x?y?4所围成图形的面积。 ?x?x?2?x?8 解： ?或 ?是两交点 ? ?x?y?4?y?2?y?4 223 2S?4?18?4226 4、求由曲线 和直线 y?x， x?2所围成的平面图形的面积。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 33 / 42 2?1?3 S?x?x?2? 或 211?1?3 S?2?2?2 5、抛物线 y?x?3 与其在点和处的切线所围成的图形的面积。 解： 过点的切线方程为 y?3?4x，而过处的切线方程为 y?2?x?3? 故求的两切线交点为 ，则所要求图形的面为： 32 S?2? 3/2 39 ?4x?3?x?3?2x?6?x?3?3/2?4 6 、设椭圆的参数方程为 x?2y?t，求椭圆的面积。 解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为： S?4? 20 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 34 / 42 ?2?/2 7、在 0,1上给定函数 y?x，问 t 取何值时，右图中曲边三角形 时最大？ 2 解：设曲边三角形 ?A? 3 y?2 3 x 41?t3?3 ?A?4t,令 A?0,?t?0 或 t? 1 2 1 当 t?0,时， A?0，函数单调减少 21 当 t?,1时， A?0，函数单调增加 21112A?,A?,A? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 35 / 42 3243 1 所以当 t?1时，面积之和最大，当 t?时，面积之和最小。 2 高等数学 _学院 _专业班级姓名 _学号_ 定积分应用 1、求由曲线 y2?x 和 y?成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。 解： V? 1 ? x?22 2 ? 3? 10 2 ?x,y?2?x 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴、 y 轴旋转而成的旋转体的 体积。 解： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 36 / 42 绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ?x2?22 1 12 ? 5 + ? 3 ? 8? 15 10 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 ?2?y23 ? 11 ? 2 3、求由曲线 y?x 和直线 x?2、 y?0 所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转的旋转 体的体积。 解： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 37 / 42 图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ?x 2 22 ? 32? 4 图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 ?2?4? 2 ? 2 4、求曲线 y?围成的图形绕 y 轴旋转的旋转体体积。 的的做法，注意是按圆环体来分隔） 解： 图形绕 y 轴旋转的旋转体体积 V?2?xf?x?2?2 2 ? ?2?3?4?3?8? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 38 / 42 ? ? 5、已知一抛物线过 x 轴上的两点 A,B： 求证：两坐标轴与该抛物