数学专业毕业论文关于幂零矩阵的几个注记.doc

关于幂零矩阵的几个注记杨娇（051114224）（孝感学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000）摘要：给出了幂零矩阵的一个新的性质，证明了矩阵为幂零的一个等价条件，修正与改进了近期幂零矩阵的一些结果关键词：幂零矩阵；向量；特征值；矩阵的迹；伴随还原阵On several of nilpotent matrixYang Jiao( School of Mathematics and Statistics Xiaogan University Xiaogan Hubei 432000) Abstract: presents a new nilpotent matrices, proved a nilpotent matrix of equivalence conditions, modifications and improvements in some results of nilpotent matrix.Keywords: nilpotent matrix；vector；eigenvalue；the matrix trace；with reduction1 引言：问题的提出在2009年全国硕士研究生入学考试试卷（数学一、二、三）中有这样一道解答题：题目1 设 ，（）求满足，的所有向量；（）对（）中的任一向量，证明：线性无关我们先来看看供题者提供的参考答案：解（）解方程，故有一个自由变量.令，由解得，求特解，令，得.故，其中为任意常数.解方程，故有两个自由变量.令，由得，令，由得.求特解，故,其中,为任意常数.（）由于行列式，故向量组线性无关这道试题将矩阵的计算、线性方程组的求解以及向量组线性无关的证明融为一体，立意于平实处见新颖，背景公平，知能并举，考查了相应的知识点解答完本题，笔者感觉到可以使两个线性方程组都有解，而且能使（）中的任何三个向量都线性无关，对于矩阵及向量的构造，是否有一些特别的要求？或者带有某种巧合？在对试题构思精密赞叹之余，我们很想知道:命题人是以什么为素材研制本题的？即试题的设计是以哪些知识材料为背景的？我们希望对该试题的的命题思路做些分析，以回答以上问题对试题中的矩阵，通过计算可得，但，满足该性质的矩阵称之为幂零矩阵定义12 设，若存在正整数，使，则称是幂零指数为的幂零矩阵，也称是幂零矩阵本文将把上述试题中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题，该命题可以补充为幂零矩阵的一个新性质除此之外，本文还将对大学数学期刊2006年第5期“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文中，关于幂零矩阵提出的一个的论断予以否定；对数学研究与评论期刊中2000年第2期“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文中，关于幂零矩阵的一个主要结果给出一个简单的证明方法，并且同时推广这个结论到任何的无限域；最后还将给出矩阵为幂零的一个等价条件，借助该结论简化了一些高等代数研究生试题的证明更重要的是，它可以帮助我们发现，在这些试题中关于“矩阵可对角化”的限制是可以取消的本文用表示数域，表示上的阶矩阵的集合，表示矩阵的秩，表示单位矩阵，表示的伴随矩阵2 几个引理关于幂零矩阵的一些常见性质，在许多文献中都有论述，本文仅罗列如下两个基本性质，以备后文中引用，对于它们的证明及其它性质，本文不再赘述引理12设，是幂零矩阵的特征值全为零引理22设，是幂零矩阵的最小多项式为为了后面结论的证明，我们再建立几个引理：引理3 设阶矩阵满足，则对使的维列向量，向量组线性无关证明 由引理知，则存在维列向量，使，下面证明向量组线性无关：设，对该等式两边以左乘之，得，故，再对等式以左乘之，得，故，同理可得，因此向量组线性无关引理4 设是阶矩阵，并且满足，则，证明 因为，所以的最小多项式是，故的不变因子为，故的若当标准型为因此存在阶可逆矩阵，使得，这里为阶单位矩阵，经过计算得由此得，引理5 设向量组线性无关，向量组如下定义：则向量组也线性无关证明把向量等式写成矩阵形式上式右端的上三角矩阵可逆，由线性无关，即得也线性无关引理62 如果、都是一个矩阵，则引理72 如果是矩阵()，那么引理8 如果是一个矩阵，时，则（1）；（2）证明（1）因为，所以存在可逆矩阵使得，即，若记，则（2）由（1）所证，记，则引理92 对任何阶矩阵，有3 几个注记3.1 幂零矩阵的一个命题在本节，我们将把引言部分题目中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题：定理1 设是阶矩阵，是维非零列向量，如果，并且线性方程组有解，则（）对任一，线性方程组均有解；（）记的任一解为，那么线性无关证明 （）根据题设，线性方程组有解，设为它的一个解，即则对，由，知是线性方程组的一个解；（） 根据（）中的，由引理3得线性无关首先考虑线性方程组的通解：由引理4知，由于是它的一个特解，而是齐次线性方程组的一个非零解，它构成的一个基础解系，故线性方程组的任一解可表为形式再考虑线性方程组的通解：由，由于是它的一个特解，而是齐次线性方程组的一个线性无关的解，它构成的一个基础解系，故线性方程组的任一解可表为形式类似的，有，由于线性无关，由引理5即得也线性无关注1根据定理1及证明，该类解答题的制作思路是：取，其中为任意可逆矩阵，而为矩阵的所有列向量的线性组合，它们就可以保证定理1中的线性方程组有解，且线性无关3.2 幂零矩阵的伴随阵问题在数学研究与评论期刊2000年第2期发表了贾利新博士的“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文，该文证明了任何幂零阵的伴随矩阵或者是2-幂零阵，或者是零矩阵即下面的定理23 设，如果有正整数使，则文献3在证明上述结论的过程中，是通过考虑矩阵的若尔当标准形，利用极限过程的方法进行的，证明过程显得过于繁琐下面，我们将仅仅利用高等代数中的几个常见的基本结论（引理6、引理7、引理8），对定理2予以简证：定理2的简证 由，知，且由引理6，得若，由引理7，得，即得，故；若，由引理7，得，由引理8，得，从而有，即，根据，知，必有，从而，因此注2 文献3中由于用到若尔当标准形及极限过程，自然要求矩阵在复数域上考虑，根据我们的证明知道，可以推广这个结论到任何的无限域注3 在早期的不少文献中也证明了幂零矩阵的伴随矩阵是幂零的，如文4等其证明过于复杂，如果仅证明该结论的话，由前面的引理6，可以导出公式，于是立得结论3.3 幂零矩阵的伴随还原阵问题在大学数学期刊2006年第5期发表了孙胜先的“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文，该文中提出了幂零矩阵的一个论断“非零的幂零阵的伴随还原阵(若存在) 必不是幂零的”，我们将举出一个反例对该结论予以否定为讨论的方便起见，先给出伴随还原阵的定义及必要的一些说明：定义26 对于复数域上阶方阵，若有阶方阵满足，称为的一个伴随还原阵对于复数域上任一阶方阵，根据引理7，反之，若，文献6证明了必有阶方阵满足，即一定存在伴随还原阵，但一般不唯一对任何阶方阵，当时，如果，则一定不存在任何伴随还原阵文献5中讨论了满足与的伴随还原阵问题，给出了下面的命题命题15 设，当时，不存在幂零的伴随还原阵.我们指出该结论不真，为此构造反例：反例取阶方阵，可以验证：，且，说明是的一个幂零伴随还原阵.以上反例说明，文献5中论断“非零的幂零阵的伴随还原阵(若存在) 必不是幂零的”不真，我们把它修正为命题2 设，当时，不存在2-幂零的伴随还原阵.证明参见文5，略.4幂零矩阵的一个等价条件与应用引理1与引理2是关于幂零矩阵的两个常用充分必要条件，为了下面的应用需要，我们给出幂零矩阵的又一等价刻画：定理3 设，是幂零矩阵，.证明 由引理1知是幂零矩阵的特征值全为零，故只需证的特征值全为零，.若的特征值全为零，则对任一给定的正整数，矩阵的个特征值为也全为零，则.若，.下证的所有特征值为0，用反证法.若不然，则存在非零的特征值，设的互不相同的特征值为，且对应的重数分别为，这里.于是的所有特征值为（重），（重），（重）从而，.分别取，得方程组将上述方程组看作是以为未知量的齐次线性方程组，其系数行列式为故解得，这与相矛盾.故假设不成立，从而的所有特征值均为0.下面给出定理3的一个应用.例1 （苏州大学2002考研试题中第21题）设是有理数域上的线性空间，与是的线性变换，其中可对角化，并且.证明：存在正整数，使得是零变换.本文不拟讨论其原证，我们将利用定理3的结论给出它的一个非常简洁的证明，通过该证明将看到，条件“可对角化”的限制是可以取消的.另证 取定的一组基，线性变换与在此基下的矩阵分别是与，则，只需证明矩阵是幂零矩阵即可.先用归纳法证明.时结论成立，假设结论对所有小于或等于成立，则故对一切成立.由于，得，由引理9，得，所以，.根据定理3，得是幂零矩阵，故是幂零变换，于是存在正整数，使得.例27 （文7中问题53）设为阶矩阵，令，且同可交换.求证：正整数使.证明 对任何正整数，由于，由引理9，得，.于是根据定理3，正整数使.注4 这里的证法比文7的两种证法都简单得多.致谢：衷心地感谢胡付高老师精心指导和悉心关怀，在此研究工作中倾注着胡老师辛勤的汗水和心血.此我要向我的老师致以最衷心的感谢和崇高的敬意.时向所有关心和帮助我的老师、同学和朋友表示由衷的谢意！ 衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位！参考文献1 2009年考研数学试题（数一）EB/0L. /math_3947/20090111/t20090111_354011_3.shtml2 姚慕生. 高等代数学M. 上海: 复旦大学出版社, 20053 JIA Li-xin. Several Properties of Idempotent and Nilpotent MatricesJ.数学研究与评论,2000,20（2）: 194-1964 韩道兰. 幂零矩阵的性质及其应用.玉林师范学院学报（自然科学版）, 2003, 24（4）: 1-3.5 孙胜先, 钱泽平. 幂等和幂零阵的伴随阵的反问题J.大学数学，2006，22（5）: 114-116.6 叶留青, 杜学武. 伴随还原阵的一种简捷求法J.大学数学,2001,17（1）: 97-99.7 王品超.