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1-2 函数极限的运算法则 单调有界原理 一、 函数极限的四则运算规则和性质 定理（P51) 例 解 推论 注：和.差.积的法则均可推广到有限个函数的情形. 小结: 例题 解 例 (消去零因子法) 例 例 解：原式 例求 解: 原式 例 : 求 例（a00，b00，m,n0). 解： 1）m=n, 原式 2）mn, 原式 3）m 0 , 证: 已知即当 时, 有 则存在 ( A 0,使一切|x|X,|f(x)|M成立. 注：1）函数局部有界是极限存在的必要但不充分条件。 y=sin(1/x) , x0 2）函数局部无界是函数极限不存在的充分条件。 y=2x ,x 在满足定理的条件下，极限符号和函数符号可以交换次序。 例如： （9）复合函数极限运算法则 补充定理：在某一极限过程中，如果函数f(x)和g(x)的极限分 别为A和B且A 重要极限 例 解 3) 设 u=arcsinx x0时u0, 例5:求下列极限 (1) (3) (4) (5) 例已知 求 因为 所以 即 例. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 二、 单调有界原理（P53） 定理 单调增加有上界 单调减少有下界 几何解释: 对偶性 xc- A y=f(x) A y=f(x) xc+ x+ A y=f(x) x- A y=f(x) 当xc-时,若函数f(x)单调增大有上界（f(x)B)则f(x)有极限 当xc-时,若函数f(x)单调减少有下界（f(x)A)则f(x)有极限 例1 设a,b0 , x1=a, 求 xn的极限 (求任意正数平方根的算法） 证明： 两边取极限 例2 证 (舍去) 其他形式： （数列的极限） （x0的极限） （复合函数的极限） 重要极限 即：xn是一单调上升数列。 (2) xn为单调上升且有上界数列，xn有极限. (e2.718). 证明：1） x与n=x同时趋向+ 由夹挤准则 用变量代换可求出 例1
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