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11-2 函数的极限与连续 多元函数的极限 z 例：（人影长度） C B H D h o y PD=f(x,y) 0 x P(x,y) 二、 二元函数的极限 注:(1).二元函数的极限称为二重极限; (2).二重极限存在,是指P(x,y) 以任何方式趋于 时, f(x,y)都无限接近于A. 故如果P(x,y)沿不同路径趋于 时, f(x,y)趋于 不同的值,可断定极限不存在. (3)有二次极限可能没有二重极限，有二重极限也可能没有二次 极限，两者关系（P34定理111） 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 例如,显然 与累次极限 二重极限不存在 . 二次极限不存在 例1 求证 证 多元函数极限的求法 1)两边夹法则： 由两边夹法则 例2 证明 解：因为x2+y2 2xy, x0,y0, 2) 四则运算，重要极限： 例 计算： 解 3）换元法 例2求极限 解 其中 例3 解 4）无穷小量性质 例 计算下列极限 5）极限不存在的方法： 例1 证明 不存在 证 故极限不存在 例2 证明 不存在 证取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在 二、多元函数的连续性 定义 否则为间断点 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 例如: 分别在半平面 x0；x2+y22；(x,y)(0,0)内连续。 初等函数 除 外处处连续. 除(0,0)外处处连续. (0,0)点极限不存在 间断线 函数不连续的点称为间断点。 例：指出下列函数间断点 例 讨论函数 在(0,0)处的连续性 解 取 故函数在(0,0)处连续. 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 例二元函数 在点(0,0)处 不连续、偏导数存在 偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时 随着k的不同，该极限值也不同，所以极限 不存在， f(x，y)在（0，0）不连续。 不能. 例如, 解: 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次 若多元函数f在有界闭区域D上连续，而M
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