MATLAB第5章解方程.ppt

第5章 MATLAB的符号运算 5.1 符号对象的创建 5.2 基本的符号运算 5.3 符号微积分 5.4 符号方程的求解 5.1 符号对象的创建（定义） MATLAB提供了一种数据类型: 符号型数 据, 可以进行符号运算，是符号运算的对象， 因此也把符号数据称为符号对象。 符号对象可以是符号变量、符号常量、符 号表达式或符号矩阵。 符号对象要先定义，后引用。 如何定义符号变量、符号常量、符号表达 式或符号矩阵？ 用sym函数、syms函数可以将运算量定义 为符号型数据。 sym函数 syms函数 （一）建立符号变量和符号常数 1、sym函数 主要功能：创建单个符号变量。 调用形式： 符号变量名 = sym(符号字符串) 将符号字符串创建为一个符号变量，符号变量的 值就是该符号字符串，符号字符串 可以是 常量、变量、函数或表达式。 注意：每次调用该函数，只能定义一个符号变量。 使用方法举例 a=sym(a) %将a创建为符号变量，以a作为输出变量名 a= a b=sym(b) x=sym(x) y=sym(y) 符号变量的名字不一定和字符串中的字母相同 例如： m=sym(y) Sym函数可以定义符号常数： k1=sym(9);k2=sym(3); %定义符号变量 r1=9;r2=3; %定义数值变量 k1+sqrt(k2) %符号计算（精确的数学表达式） ans = 9+3(1/2) r1+sqrt(r2) %数值计算（近似为一个有限小数） ans = 10.7321 2、syms函数 syms函数的功能与sym函数类似。但syms函数可以在一 个语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为： syms arg1 arg2 argN 将 arg1, arg2, argN 定义为符号变量。 例如： syms a b c d x y 使用方便、书写简洁、意义清楚，一般提倡使用syms创建 符号变量。 （二） 定义符号表达式 符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等 组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相 同。 有三种定义方法： 用sym函数定义 用syms函数定义(用已定义的符号 变量组成符号表达式) 用单引号定义 f1=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6) f1 = 3*x2-5*y+2*x*y+6 syms x y （必须先定义 x y ) f2=3*x2-5*y+2*x*y+6 f2 = 3*x2-5*y+2*x*y+6 f3=3*x2-5*y+2*x*y+6 f3 = 3*x2-5*y+2*x*y+6 例如，将数学表达式 定义为符号表达式 y= 1+sqrt(5*x)/2 y = 1+sqr(5*x)/2 f=sym(1+sqrt(5*x)/2) f = 1+sqrt(5*x)/2 syms x v=1+sqrt(5*x)/2 v = 1+1/2*5(1/2)*x(1/2) （三）定义符号矩阵 使用sym和syms函数可以创建符号矩阵，可以直 接输入或从数值矩阵转换。 例2：创建一个符号矩阵两种方法 m=sym(a,b;c ,d) m = a, b c, d syms a b c d n= a, b ;c ,d n = a, b c, d 注意： 符号矩阵与普通矩阵的区别： 命令窗口的显示形式不同； 工作空间窗口显示的变量图标不 同。 建立符号矩阵 Z=sym( a3-b3,sin(alp)2+cos(alp)2;(15*x*y-3*x2)/(x- 5*y),78); Z = a3-b3, sin(alp)2+cos(alp)2 (15*x*y-3*x2)/(x-5*y), 78 syms a b x y alp Z1= a3-b3,sin(alp)2+cos(alp)2;(15*x*y-3*x2)/(x-5*y),78 Z1 = a3-b3, sin(alp)2+cos(alp)2 (15*x*y-3*x2)/(x-5*y), 78 （四）符号表达式中符号变量的确定 在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表前面的 字母作为变量的系数（常数），而用排在后面的字母（如 x,y,z）表示变量。例如： f=ax2+bx+c 表达式中，将x看作自变量，a,b,c通常被认为是常数， 用作变量的系数。 i,j 通常表示虚数单位，在符号运算中不能用作自变量 在MATLAB中引用符号表达式时，有符号常量和符号变量，如何确定谁 是符号自变量呢？可以由用户可以指定；若用户没有指定符号变量，则自 动使用findsym函数默认的变量作为函数的变量参数。 findsym函数的原则为：自变量为在字母顺序排列的位置上最接近x的小写 字母（除了i和j之外）。如果式子中没有上述字母，则x会被视为默认的自 变量。如下表： 符号表达式 默认自变量 a*x2+b*x+c x 1/(4+cos(t) t 4*x/y x 2*a+b b 2*i+4*j x 查询符号表达式的默认自变量 findsym函数可以查询表达式中使用的符号变量个数及 变量名。 引用格式为： findsym（ f, n） 说明：f 为用户定义的符号函数， n为正整数，表示查询变量的个数。 n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。 【例3 】查询符号函数 中的系统默认变 量。 syms a b n t x % 定义符号变量 f=a*xn+b*t; % 给定符号表达式 findsym(f,1) % 在f函数中查询1个系统默认变量 ans= x 表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。 findsym(f,2) ans= x, t findsym(f,5) ans= x, t,n,b,a 以最接近x顺序排列的5个默认自变量 findsym(f) ans= a,b,n,t,x 返回 f表达式中按字母顺序排列的全部自变 量 5.2 基本的符号运算 符号表达式的四则运算 2. 符号表达式的因式分解、展开、分式 通分 3. 符号表达式的化简 1. 符号表达式的四则运算 symadd（f1,f2) f1+f2 symsub （f1,f2) f1-f2 symmul （f1,f2) f1*f2 symdiv （f1,f2) f1/f2 sympow （f1,f2) f1f2 f=2*x2+3*x-5 g=x2-x+7 symadd(f,g) ans = 3*x2+2*x+2 symsub(f,g) ans = x2+4*x-12 symmul(f,g) ans = (2*x2+3*x-5)*(x2-x+7) symdiv(f,g) ans = (2*x2+3*x-5)/(x2-x+7) sympow(f,3*x) ans =(2*x2+3*x-5)(3*x) 2. 符号表达式的因式分解、展开、分式通 分 因式分解函数为 factor 调用格式为： factor(s) 举例 符号表达式的展开 函数为 expand 调用格式为：expand (s) 举例 同类项合并函数为 collect 调用格式为： collect(s,n) 举例 S为符号表达式，n为要合并系数的自变量 符号表达式的分式通分函数为 numden 调用格式为： n,d=numden(s) 举例 n 为通分后的分子，d为分母 3. 符号表达式的化简 表达式的化简函数为 simple、simplify 调用格式为： simplify (s) 使用Maple的化简规则化简函数 r,how=simple (s) 用多种方法寻找符号表达 式s的最简型， r为返回的化简形式， how为化简过程使用 的主要方法 举例 【例1】 对表达式 进行因式分解 syms x f=factor(x9-1) f= (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1) pretty(f) %按照类似书写习惯的方式显示 (x-1) (x2+x+1) (x6+x3+1) 【例2】 对大整数12345678901234567890进行因式分解 factor(sym (12345678901234567890) 【例3】 展开表达式 和 syms x y f=(x+1)5; expand(f) ans= x5+5*x4+10*x3+10*x2+5*x+1 f=sin(x+y); expand(f) ans= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) 【例4】 对表达式 分别 将自变量x和t的同类项合并 syms x t f=x*(x*(x-6)+12)*t; collect(f) ans= t*x3-6*t*x2+12*t*x collect(f,t) ans= x*(x*(x-6)+12)*t 【例5】 对表达式 进行通分 syms x y f=x/y+y/x; n,d=numden(f) n= x2+y2 d= y*x 【例6】对表达式 进行化简 syms x f=sin(x)2+cos(x)2; simplify(f) ans= 1 【例7】将表达式 用嵌套形式表示。 syms x horner(x3-6*x2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x 2. 符号表达式的替换 通过符号替换使表达式的输出形式简化，得到一个 简单的表达式 符号表达式的替换函数有：subexpr 、 subs 调用格式： y,sigma=subexpr(s,sigma) 用变量sigma的值替换表达式s中重复出现的字符串 ，y返回替换后的结果。 调用格式： r=subs(s,old,new) 举例 用新的符号变量new代替表达式s中的变量old，r为返 回替换后的结果。 【例8】分别用新变量替换表达式 a+b 和表达式 中的变量 syms a b subs(a+b,a,5) ans= 5+b subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) ans= cos(alpha)+sin(2) 1. 符号极限 函数limit用于求符号函数f的极限。系统可以 根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指 定值的极限值。该函数的格式及功能： 5.3 符号微积分 limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量 x趋近于常数a时， f(x)函数的极限值。 limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符 号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变 量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。 limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量 为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值 时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。 limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表 示变量x从右边趋近于a。 limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变 量x从左边趋近于a。 【例1】求极限 syms x； %定义符号变量 f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3； %确定符号表达式 w=limit(f) %求函数的极限 w = -1/2 符号微分 diff函数用于对符号表达式求微分。该函数的一般引用格式 为： diff(s,v,n) 其中：s为符号表达式，n为正整数，v为变量。 说明： diff（s，v，n）或diff（s，n，v）求符号表达式s对于自变 量v求n阶微分。 diff（s）求符号表达式s对于默认自变量的一阶微分。 diff（s，v）求符号表达式s对于自变量v的一阶微分。 diff（s，n）求符号表达式s对于默认自变量求n阶微分。 【例2】求下列函数： f=xx的导数和3次导数 syms x %定义符号变量 f=xx diff(f) diff(f,3) 3符号积分 函数int可以实现符号表达式的积分。其 引用格式为： int（s ，v，a，b) a、b表示定积分运算的下限和上限。 int（s,v,a,b）求符号表达式s对于自变量v从a到b的定积分 。 int（s,a,b） 求符号表达式s对于默认自变量从a到b的定积 分。 int（s） 求符号表达式s对于默认自变量的不定积分。 int（s,v） 求符号表达式s对于自变量v 的不定积分。 【例3】求下述积分。 求积分： syms x int(1/(1+x2) ans = atan(x) 【例4】定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2 ，分别求 该函数对x、y的导数和对x的积分。 syms a b c x y %定义符号变量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2； %生成符号函数 diff(fxy，x) %符号函数fxy对x求导数 ans =2*a*x/c2 diff(fxy， y) %符号函数fxy对y求导数 ans =2*b*y/c2 int(fxy， x) %符号函数fxy对x求积分 ans =1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x) 4. 符号求和(级数求和) 表达式求和（级数求和）运算是数学中常见的 一种运算。 函数symsum可以实现表达式求和。该函数的引用时， 应确定级数的通项式s，变量的变化范围a和b。该函数的 引用格式为： symsum(s, a,b) 【例5】求级数的和: 1/12+1/22+1/32+1/42+ 找出通项式： syms k symsum(1/k2,1,Inf) %k值为1到无穷大 ans = 1/6*pi2 其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+ =2/6 思考： 5. Taylor级数展开 Taylor级数展开由函数taylor实现。其调用格式为： taylor(f): 计算表达式f在默认自变量等于0处的5阶Taylor级 数展开式。 taylor(f,n,v): 计算表达式f在默认自变量v=0处的n-1阶 Taylor级数展开式。 taylor(f,n,v,a): 计算表达式f在默认自变量v=a处的n-1阶 Taylor级数展开式。 【例6】求表达式 的5 阶Taylor级数展开式 syms x f=1/(5+cos(x) r=taylor(f) r= 1/6+1/72*x2 解代数方程（组）的函数为solve 格式为： solve(expr) solve(expr,var) solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN) solve(expr1,expr2,.,exprN) expr1,expr2,.,exprN为代数方程组，var1,var2,.varN为未知数（ 自变量）。 说明： 若不指明符号表达式expr1,expr2,.,exprN的值，系统默认为0。例 如给出一个表达式x2-3*x-8,则系统将按x2-3*x-8=0进行运算；故应 将等号右侧的数值移过来。 5.4 符号方程的求解 1. 代数方程求 解 【例7】解代数方程：a*x2-b*x-6=0 syms a b x solve(a*x2-b*x-6) solve(a*x2-b*x 6) ans = 1/2/a*(b+(b2+24*a)(1/2) 1/2/a*(b-(b2+24*a)(1/2) 即该方程有两个根: x1=1/2/a*(b+(b2+24*a)(1/2)； x2=1/2/a*(b-(b2+24*a)(1/2) 【例8】求解代数方程组 syms x y x f=x2-y2+z-10; g=x+y-5*z; h=2*x-4*y+z; x,y,z=solve(f,g,h) s=solve(f,g,h); s.x, s.y, s.z x=-19/80+19/240*2409(1/2) -19/80-19/240*2409(1/2) y=-11/80+11/240*2409(1/2) -11/80-11/240*2