【天津市2013届高三数学总复习之模块专题：25 超越函数综合题(教师版) ].doc

超越函数综合题1、讨论函数在区间上的单调性。解：设=，于是当当故当，函数在上是增函数；当，函数在为减函数。2、设函数成立的取值范围。解：由于是增函数，等价于.（1）当时，式恒成立；（2）当时，式化为，即；（3）当时，式无解；综上，的取值范围是。3、设关于的方程的两根为，函数。（1）求的值；（2）证明是上的增函数；（3）试确定为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小。解：（1）（2）定义法；略（3）函数在上最大值，最小值，当且仅当时，取最小值4，此时4、已知函数为常数）。（1）求函数的定义域；（2）若，试根据单调性定义确定函数的单调性；（3）若函数是增函数，求的取值范围。解：（1）由 的定义域是。（2）若，则设，则故为增函数。（3）设 是增函数， 联立、知，。5、已知函数，且函数的图象关于直线对称，又。（1）求的值域；（2）是否存在实数，使命题和满足复合命题为真命题？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。解：（1）由，于是，由，此函数在是单调减函数，从而的值域为；（2）假定存在的实数满足题设，即和都成立又，由的值域为，则的定义域为，已证在上是减函数，则在也是减函数，由减函数的定义得解得，且，因此存在实数使得命题：且为真命题，且的取值范围为。6、已知函数是偶函数。（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。解：（1）由函数是偶函数可知：， 即对一切恒成立，；（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根； 令，则方程有且只有一个正根，不合题意；或，若，不合题意；若；一个正根与一个负根，即；综上：实数的取值范围是。7、已知函数。（1）求证：函数在内单调递增；（2）若，且关于的方程在上有解，求的取值范围。解：（1）证明：任取，则，即函数在内单调递增。（2）解法1：由得， 当时， 的取值范围是。 解法2：解方程，得，解得 ， 的取值范围是。8、已知函数是奇函数。（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，函数的值域是，求实数与的值；（4）设函数，当时，存在最大实数，使得时，不等式恒成立，试确定与之间的关系。解：（1）。 （2）由（1）及题设知：，设，当时，当时，即；当时，在上是减函数；同理当时，在上是增函数；（3）由题设知：函数的定义域为， 当时，有，由（1）及（2）题设知：在为增函数，由其值域为知，无解； 当时，有，由（1、2）题设知：在为减函数，由其值域为知，得，；（4）由（1）题设知：，则函数的对称轴，函数在上单调减，是最大实数使得，恒有成立，即。9、已知函数为偶函数，且（1）求的值，并确定的解析式；（2）若，在上为增函数，求实数的取值范围。解：（1）由，又当为奇函数，不合题意，舍去；当为偶函数，满足题设，故。（2）令，若在其定义域内单调递减，要使上单调递增，则需上递减，且，即，若在其定义域内单调递增，要使上单调递增，则需上递增，且，即； 综上所述，实数的取值范围是。 10、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数，对任意的，总有；当时，总有成立；已知函数与是定义在上的函数。（1）试问函数是否为函数？并说明理由；（2）若函数是函数，求实数组成的集合。解：（1）当时，总有，满足，当时，满足；（2）为增函数，；由，得，即；因为，所以，与不同时等于1 ，当时，综合，。11、已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。解：（1）（2）设的图象上一点，点关于的对称点为，由点在的图象上，所以，于是即（3）；设，则；问题转化为：，对恒成立，即：，对恒成立。（*）故必有（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立），此时，由于二次函数的对称轴方程为，所以，问题等价于，即，解之得：；此时，故在取得最小值满足条件。点评：紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力。12、对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间。（1）若与在给定区间上都有意义，求实数的取值范围；（2）讨论与在给定区间上是否是接近的。解：（1）两个函数与在给定的一个区间有意义，函数在给定区间上单调递增，函数在给定区间上恒为正数，故有意义，当且仅当；