《重积分的应用》PPT课件-2.ppt

7 重积分的应用重积分的应用 2 1 求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积。 4 5 6 9 10 曲面面积 8 3 主主 目目 录录（1 171 17） 7 13 14 11 15 求位于圆r=2sin和圆r=4sin之间的均匀薄片的重心 17 12 16 . R 化为球系下的方程化为球系下的方程 r=2R cos . . M r z 0 x y = 1.求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积 Dxy: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4 。 。 2 直角坐标 。 4 0 y x Dxy 先选系 2. 上顶：下底： 2. 4 2 . 0 z y x 2. 4 2 2x+y=4 . 0 z y x 2. x = 0 4 4 2 2x+y=4 . 0 z y x 2. z = 0 y = 0 z=0 y =0 x = 0 4 4 2 2x+y=4 . D V = . . . 0 z y x Dxy: a 柱面坐标 r =a cos 。 所围立体是曲顶柱体 Dxy 0 y x 先选系 3. 上顶： 下底： Dxy: 。 。 a r =a cos 0 y x 。 所围立体是曲顶柱体 D 用瓦里斯公式怎么计算？ 柱面坐标先选系 . 3. 由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分 z x y o . 3. a 由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分 . 3. x y o z z = 0 a x y z o 。 V 。 。 。 维望尼曲线维望尼曲线 。 。 由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分 D 1 . 3. a a x z y 0 4. D y = 0 x = 0 a a a a x o y D . . . . x z y 0 . . . 4. o z x y 5. a z =0 o z x y . 5. a z =0 故立体故立体关于关于x x轴对称轴对称 . . . . . . o z x y D 0 y x . 5. a 2a 2a 0 x z y a . L 联立 柱面坐标用哪种坐标？ 6. 6. 2a 0 x z y a . L 联立 D . . . 柱面坐标用哪种坐标？ . x z y 0 1 立体关于xoy平面对称解 7. 作上半块立体图 1 1 x z y 0 立体关于xoy平面对称解 7. . 作上半块立体图 1 x z y 0 1 y =1 1 立体关于xoy平面对称作上半块立体图 1 . . . . 解 7. . x y z o 8. x y z o . 8. 。 D D 。 。 V 用广义极坐标 。 D: r 1, z = 0 。 x y z o ? . 8. 0 x z y a b 9. b 0 x z y a 问题： 2 用哪种坐标系？ 1 是不是曲顶柱体？ 3 交线 L的方程？ 交线 L . . . 柱系. . 9. V = 上顶： 下底： 4 Dxy ? Dxy . . . (球系？ 需分块儿!) 引理 A . 一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 对每一个用引理， 然后迭加 再取极限即可。 当A是矩形, l 证且一边与l平行 则 也是矩形, 且 b 引理成立 . a 注注：这里 即 两平面法矢量的夹角 证毕 10. 曲面的面积 10. 曲面的面积 x z y 0 z = f (x,y) D (xi , yi) Pi . 10. 曲面的面积 x z y 0 z = f (x,y) D . (xi , yi) i Ai （由引理） Pi . . . 11. x y z o 1 1 x y z o 1 . 11. x y z o 1 1 D S . . . 11. a a x z y 0 设圆柱面为 12. 考虑第一卦限 12. D a a . . x z y 0 a a x o y D . . . . . 设圆柱面为 . 13. a y x z o 13. x y z o D S = 共同的 D : . . . 2 x z y 14. o 14. x z y 2 问题： 曲面向哪个坐标面投影？ . o 只能向只能向xozxoz平面投影平面投影 x z y 2 得 z = 2 . Dxz . . 14. o 其中， x z y 2 Dxz . . . . 得 z = 2 . 14. o . 其中， . x o y 1 2 15. 求位于圆 r = 2sin 和圆 r = 4sin 之间的均匀薄片的重心 z = 0 y x z o 球面坐标 a . . . 用哪种坐标？ r