随机过程Ch4马尔科夫链.ppt

第四章 马尔可夫链,2,4.1 马尔可夫链与转移概率,定义 设 X(t)，t T 为随机过程，若对任意正整数n及t10，且条件分布PX(tn)xn|X(t1)=x1, X(tn-1)=xn-1= PX(tn) xn|X(tn-1)=xn-1，则称X(t)，t T 为马尔可夫过程。 若t1,t2,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn表示将来，马尔可夫过程表明：在已知现在状态的条件下，将来所处的状态与过去状态无关。,3,4.1 马尔可夫链与转移概率,马尔可夫过程通常分为三类： (1)时间、状态都是离散的，称为马尔可夫链 (2)时间连续、状态离散的，称为连续时间马尔可夫链 (3)时间、状态都是连续的，称为马尔可夫过程,4,4.1 马尔可夫链与转移概率,随机过程Xn，nT ， 参数T=0, 1, 2, ,状态空间I=i0, i1, i2, 定义 若随机过程Xn，nT ，对任意nT和i0,i1,in+1 I，条件概率PXn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,Xn=in = PXn+1=in+1|Xn=in， 则称Xn，nT 为马尔可夫链，简称马氏链。,5,4.1 马尔可夫链与转移概率,马尔可夫链的性质 PX0=i0, X1=i1, , Xn=in =PXn=in|X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1 PX0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1 = PXn=in|Xn-1=in-1 PXn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,Xn-2=in-2 PX0=i0,X1=i1,Xn-2=in-2 =PXn=in|Xn-1=in-1PXn-1=in-1 |Xn-2=in-2 PX0=i0,X1=i1,Xn-2=in-2,6,4.1 马尔可夫链与转移概率,= =PXn=in|Xn-1=in-1PXn-1=in-1 |Xn-2=in-2 PX1=i1|X0=i0PX0=i0 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率PXn+1=in+1|Xn=in确定。,7,4.1 马尔可夫链与转移概率,定义 称条件概率pij(n)= PXn+1=j|Xn=i 为马尔可夫链Xn，nT 在时刻n的一步转移概率，简称转移概率，其中i,jI。 定义 若对任意的i,jI，马尔可夫链Xn,nT 的转移概率pij(n)与n无关，则称马尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij。 齐次马尔可夫链具有平稳转移概率， 系统状态空间I=1, 2, 3, ，系统状态的一步转移概率用转移矩阵P表示,8,4.1 马尔可夫链与转移概率,转移概率性质 (1) (2) 当转移矩阵P满足（1）、（2）两性质时，则称P为随机矩阵,9,4.1 马尔可夫链与转移概率,定义 称条件概率 = PXm+n=j|Xm=i 为马尔可夫链Xn，nT 的n步转移概率(i,jI, m0, n1)。 n步转移矩阵 如果其中 P(n)也为随机矩阵,10,4.1 马尔可夫链与转移概率,定理4.1 设Xn，nT 为马尔可夫链，则对任意整数n0,0ln和i,jI，n步转移概率 具有性质 (1) (2) (3) P(n)=PP(n-1) (4) P(n)=Pn,11,4.1 马尔可夫链与转移概率,证(1),12,4.1 马尔可夫链与转移概率,(2)在(1)中令l=1,k=k1,得 由此可递推出公式 (3)矩阵乘法 (4)由(3)推出 说明： (1)此为C-K方程(切普曼-柯尔莫哥洛夫) (2) n步转移概率由一步转移概率确定， n步转移概率矩阵由一步转移概率矩阵确定(n次幂),13,4.1 马尔可夫链与转移概率,初始概率 绝对概率 初始分布 绝对分布 初始概率向量 绝对概率向量,定义,14,4.1 马尔可夫链与转移概率,设Xn，nT 为马尔可夫链，则对任意整数jI和n1 ，绝对概率pj(n)具有性质 (1) (2) (3) PT(n)=PT(0)P(n) (4) PT(n)= PT(n-1)P,定理4.2,15,4.1 马尔可夫链与转移概率,证(1),16,4.1 马尔可夫链与转移概率,(2) (3)(4)为(1)(2)的矩阵表示。,17,4.1 马尔可夫链与转移概率,定理4.3 设Xn，nT 为马尔可夫链，则对任意整数i1, i2,inI和n1 ，有性质 证,18,4.1 马尔可夫链与转移概率,例4.1 无限制随机游动,q p,-1 0 1 i-1 i i+1,一步转移概率:,19,4.1 马尔可夫链与转移概率,n步转移概率: i经过k步进入j,向右移了x步,向左移了y步 则,20,4.1 马尔可夫链与转移概率,例4.2 赌徒输光问题 甲有赌资a元，乙有赌资b元，赌一局输者给赢者1元，无和局。甲赢的概率为p， 乙赢的概率为q=1-p，求甲输光的概率。 解 状态空间I=0,1,2,c，c=a+b,q p,a-1 a a+1,0 a+b,21,4.1 马尔可夫链与转移概率,设ui表示甲从状态i出发转移到状态0的概率，求ua 显然u0 =1，uc =0(u0表示已知甲输光情形下甲输光的概率，uc表示已知乙输光情形下甲输光的概率) ui =pui+1 + qui-1 (i=1,2,c-1) （甲在状态i下输光：甲赢一局后输光或甲输一局后输光）,22,4.1 马尔可夫链与转移概率,23,4.1 马尔可夫链与转移概率,24,4.1 马尔可夫链与转移概率,25,4.1 马尔可夫链与转移概率,26,4.1 马尔可夫链与转移概率,例4.3 天气预报问题 RR表示连续两天有雨，记为状态0 NR表示第1天无雨第2天有雨，记为状态1 RN表示第1天有雨第2天无雨，记为状态2 NN表示连续两天无雨，记为状态3 p00=PR今R明| R昨R今=PR明| R昨R今=0.7 p01=PN今R明| R昨R今=0 p02=PR今N明| R昨R今= PN明| R昨R今=0.3 p03=PN今N明| R昨R今=0,27,4.1 马尔可夫链与转移概率,类似地得到其他转移概率， 于是转移概率矩阵为 若星期一、星期二均下雨，求星期四下雨的概率,28,4.1 马尔可夫链与转移概率,星期四下雨的情形如右， 星期四下雨的概率 2步转移概率矩阵为,29,4.1 马尔可夫链与转移概率,例4.4 具有吸收壁和反射壁的随机游动 状态空间1,2,3,4，1为吸收壁，4为反射壁 状态转移图 状态转移矩阵,30,4.2 马尔可夫链的状态分类,Xn, n0是离散马尔可夫链，pij为转移概率，i, jI，I=0,1,2,为状态空间，pj,jI为初始分布 定义4.3 状态i的周期d： d=G.C.Dn: 0 (最大公约数greatest common divisor) 如果d1，就称i为周期的， 如果d=1，就称i为非周期的,31,4.2 马尔可夫链的状态分类,例4.6 设马尔可夫链的状态空间I=1,2,9，转移概率如下图 从状态1出发再返回状态1的可能步数为T=4,6,8,10, ，T的最大公约数为2，从而状态1的周期为2,32,4.2 马尔可夫链的状态分类,注(1)如果i有周期d，则对一切非零的n, n0( mod (d)，有 .这也不意味 对任意nd，有 。 (2)对充分大的n， （引理4.1） 例题中当n=1时， 当n1时，,33,4.2 马尔可夫链的状态分类,例4.7 状态空间I=1,2,3,4，转移概率如图， 状态2和状态3有相同的周期d=2，但状态2和状态3有显著的区别。当状态2转移到状态3后，再不能返回到状态2，状态3总能返回到状态3。这就要引入常返性概念。,34,4.2 马尔可夫链的状态分类,由i出发经n步首次到达j的概率(首达概率) 规定 由i出发经有限步终于到达j的概率,35,4.2 马尔可夫链的状态分类,若fii=1，称状态i为常返的； 若fii1，称状态i为非常返的 i为非常返，则以概率1- fii不返回到i i为常返，则 构成一概率分布， 该分布的期望值 表示由i出发再返回到i的平均返回时间,定义,36,4.2 马尔可夫链的状态分类,若i ，则称常返态i为正常返的; 若 i =，则称常返态i为零常返的， 非周期的正常返态称为遍历状态。 首达概率 与n步转移概率 有如下关系式 定理4.4 对任意状态i, j及1 n ，有,定义4.8,37,4.2 马尔可夫链的状态分类,证,38,4.2 马尔可夫链的状态分类,例4.8 设马尔可夫链的状态空间I=1,2,3，转移概率矩阵为 求从状态1出发经n 步转移首次到达各状态的概率,39,4.2 马尔可夫链的状态分类,解 状态转移图如下 ，首达概率为,40,4.2 马尔可夫链的状态分类,同理可得,41,4.2 马尔可夫链的状态分类,以下讨论常返性的判别与性质 数列的母函数与卷积 an,n0为实数列，母函数 bn,n0为实数列，母函数 则an与bn的卷积 的母函数,42,4.2 马尔可夫链的状态分类,定理4.5 状态i常返的充要条件为 如i非常返，则 证: 规定 ，则由定理4.4,43,4.2 马尔可夫链的状态分类,44,4.2 马尔可夫链的状态分类,对0s1,45,4.2 马尔可夫链的状态分类,46,4.2 马尔可夫链的状态分类,定理4.7 设i常返且有周期为d，则 其中i为i的平均返回时间，当i=时 推论 设i常返，则 (1) i零常返 (2) i遍历,47,4.2 马尔可夫链的状态分类,证(1) i零常返， i=，由定理4.7知， 对d的非整数倍数的n， 从而子序列 i是零常返的,48,4.2 马尔可夫链的状态分类,(2) 子序列 所以d=1，从而i为非周期的，i是遍历的 i是遍历的，d=1，i，,49,4.2 马尔可夫链的状态分类,状态的可达与互通 存在n0, 使 称状态i可达状态j，ij; 状态i与状态j互通，ij：ij且ji 定理4.8 可达关系与互通关系都具有传递性，即 (1)若ij ，jk，则ik (2)若i j ，j k，则i k,50,4.2 马尔可夫链的状态分类,证 (1)ij ，存在l 0，使 jk，存在m 0，使 由C-K方程 所以ik (2)由(1)直接推出,51,4.2 马尔可夫链的状态分类,定理4.9 如ij，则 (1) i与j同为常返或非常返，如为常返，则它们同为正常返或零常返 (2) i与j有相同的周期,52,4.2 马尔可夫链的状态分类,例4.9 设马氏链Xn的状态空间为 I=0,1,2,，转移概率为 考察状态0的类型,53,4.2 马尔可夫链的状态分类,可得出0为正常返的 由于 ，所以0的周期为d=1 0为非周期的，从而为遍历状态 对于其它状态i,由于i0,所以也是遍历的,54,55,56,57,4.3 状态空间的分解,58,59,4.3 状态空间的分解,定义4.9 马氏链状态空间I 的子集C，如对任意iC及kC都有pik=0，子集C称为闭集; 如C的状态互通，闭集C称为不可约的； 如马氏链状态空间不可约，则马氏链Xn称为不可约的。 引理4.4 C是闭集的充要条件为对iC及kC都有,60,4.3 状态空间的分解,证 充分性显然成立 必要性（数学归纳法） 设C为闭集，由定义当n=1时结论成立 设n=m时， ，iC及kC ，则 注：如pii=1，称状态i为吸收的，等价于 单点集i为闭集。,61,4.3 状态空间的分解,例4.11 设马氏链Xn的状态空间为 I=1, 2, 3, 4, 5，转移概率矩阵为 状态3是吸收的，故3是闭集，1,4，1,3,4，1,2,3,4都是闭集，其中3，1,4是不可约的。I含有闭子集，故Xn不是不可约的链。,62,4.3 状态空间的分解,例4.12 无限制随机游动为不可约马氏链，各状态的周期为2，当p=q=1/2时，是零常返的，当pq时，是非常返的。证明见上节无限制随机游动例子,63,4.3 状态空间的分解,定理4.10 任一马氏链的状态空间I，可唯一地分解成有限个或可列个互不相交的子集D,C1,C2,之和，使得： (1)每一Cn是常返态组成的不可约闭集； (2)Cn中的状态同类型，或全是正常返，或全是零常返，它们有相同的周期，且fij=1，i,jCn； (3)D由全体非常返态组成，自Cn中状态不能到达D中的状态。,64,4.3 状态空间的分解,例4.13 马氏链的状态空间I =1,2,3,4,5,6,状态转移矩阵为 分解此链并指出各状态的常返性及周期性。,65,4.3 状态空间的分解,解 由状态转移图知 可见1为正常返状态且周期为3，含1的基本常返闭集为 C1=k:1k=1,3,5，从而状态3及5也为正常返状态且周期为3。 同理可知6为正常返状态，6=3/2，周期为1。含6的基本常返闭集为 C2=k:6k =2,6，可见2，6为遍历状态。,66,4.3 状态空间的分解,于是I可分解为 I=DC1C2 =41,3,52,6 定义4.10 称矩阵A=(aij)为随机矩阵，若 显然k步转移矩阵 为随机矩阵。,67,4.3 状态空间的分解,引理4.5 设C为闭集， G是C上所得的k步转移子矩阵，则G仍是随机矩阵。 证 任取iC，由引理4.4有 从而 且 ，故 是随机矩阵。,68,4.3 状态空间的分解,注：对I的一个闭子集，可考虑C上的原马氏链的子马氏链，其状态空间为C，转移矩阵为G=(pij)，i,jC是原马氏链的转移矩阵为P=(pij)，i,jI的子矩阵。,69,4.3 状态空间的分解,定理4.11 周期为d的不可约马氏链，其状态空间C可唯一地分解为d个互不相交的子集之和，即 且使得自Gr中任一状态出发，经一步转移必进入Gr+1中(Gd = G0)。 注：任取一状态i，对每一r=0,1,d-1定义集,70,4.3 状态空间的分解,例4.14 设不可约马氏链的状态空间为C=1, 2, 3, 4, 5, 6，转移矩阵为,71,4.3 状态空间的分解,72,4.3 状态空间的分解,由状态转移图可知各状态的周期d=3, 固定状态i=1，令 故C=G0G1G2 =1,4,63,52 此在C中的运动如下图所示。,73,4.3 状态空间的分解,定理4.12 设Xn,n0是周期为d的不可约马氏链，则在定理4.11的结论下有 (1)如只在0,d,2d,上考虑Xn，即得一新马氏链Xnd ，其转移矩阵 ，对此新链，每一Gr是不可约闭集，且Gr中的状态是非周期的； (2)如原马氏链Xn常返，则新马氏链Xnd也常返。,74,4.3 状态空间的分解,例4.15 设Xn为例4.14中的马氏链，已知d=3，则Xnd, n0的转移矩阵为,75,4.3 状态空间的分解,由子链 X3n的状态转移图可知 G0=1,4,6，G1=3,5，G2=2 各形成不可约闭集，周期为1,76,77,4.4 渐近性质与平稳分布,78,考虑 渐近性质 定理4.13 如j非常返或零常返，则 证 若j非常返，则由定理4.5， 从而 若j零常返，则由定理4.7推论，,79,4.4 渐近性质与平稳分布,由定理4.4，对Nn，有 固定N，先令n，则,80,4.4 渐近性质与平稳分布,81,4.4 渐近性质与平稳分布,推论1 有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，也不可能含有零常返状态，从而不可约的有限状态的马氏链必为正常返的。 证 设I=0, 1, , N，如I全是非常返状态，则对任意i, jI，由定理4.13知 故 矛盾。,82,4.4 渐近性质与平稳分布,如I含有零常返状态i，则C=j:ij是有限不可约闭集，由定理4.10知，C中均为零常返状态，由定理4.13知， 由引理4.5知 所以,83,4.4 渐近性质与平稳分布,推论2 如马氏链有一个零常返状态，则必有无限多个零常返状态。 证 设i为零常返状态，则C=j:ij是不可约闭集，C中均为零常返状态，故C不能是有限集。否则，,84,4.4 渐近性质与平稳分布,当j是正常返状态时， 不一定存在，即使存在也可能与i有关。我们考虑,85,4.4 渐近性质与平稳分布,定理4.14 如j是正常返状态，周期为d，则对任意i及0 r d-1，有 证 对d的非正整数倍数的n， (定理4.4，及设v-r=md，则v=md+r),86,4.4 渐近性质与平稳分布,于是，对1Nn有 固定N，先令n，再令N，由定理4.7可得 从而,87,4.4 渐近性质与平稳分布,推论 设不可约、正常返、周期为d的马氏链，其状态空间为C，则对一切i, jC有 其中 为定理4.11中所给出 当d=1时，则对一切i, j有,88,4.4 渐近性质与平稳分布,定理4.15 对任意状态i, j有 推论 如Xn不可约、常返，则对任意 i, j有,89,90,4.4 渐近性质与平稳分布,下面考虑平稳分布 设是Xn, n0齐次马尔可夫链，状态空间为I，转移概率为pij 定义 称概率分布j , jI为马尔可夫链的平稳分布，若,91,4.4 渐近性质与平稳分布,注： (1)若初始概率分布pj , jI是平稳分布，则 pj = pj(1)= pj(2) = = pj(n) (2)对平稳分布j , jI，有 矩阵形式 = P(n) 其中 =(j)，P(n) =( ),92,4.4 渐近性质与平稳分布,定理4.16 不可约非周期