人教版高二数学(上册)精品教案全集

高二数学分册教案 第六章 不等式 第一教时 教材： 不等式、不等式的综合性质 目的： 首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质 。 过程： 一、引入新课 1世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。 2过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 （例略） 1“同向不等式与异向不等式” 2“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系（充要条件） 1从实数与数轴上的点一一对应谈起 0 0 0 2应用：例一 比较 )5)(3( )4)(2( 大小 解：（取差） )5)(3( )4)(2( 07)82()152( 22 )5)(3( 124 小结：步骤：作差 变形 判断 结论 例三 比较大小 1231和 10 解： 23231 02524562)10()23( 22 231ma ；当 时ab=ma ；当 时( a 时 11 23 )1( )1( 有 )1( )1( 教材： 不等式基本性质（续完） 目的： 继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。 过程： 一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质 1、 2 二、 1性质 3：如果 ，那么 （加法单调性）反之亦然 证： 0)()( 从而可得移项法则： )()( 推论：如果 且 ，那么 （相加法则） 证： 推论：如果 且 ，那么 （相减法则） 证： 或证： )()()()( 00式 0 2性质 4：如果 且 0c , 那么 ； 如果 且 0c 那么 （乘法单调性） 证： ( 0根据同号相乘得正，异号相乘得负，得： 0c 时 0)( ： 0c 时 0)( ： 推论 1 如果 0 0那么 （相乘法则） 证： 0,0, 推论 1（补充）如果 0 0 ，那么相除法则） 证： 0 0011ba dc 推论 2 如果 0 那么 nn )1( 3性质 5：如果 0那么 nn )1( 证：（反证法）假设 nn 则：若 这都与 矛盾 nn 三、小结：五个性质及其推论 口答 练习 1、 2 习题 4 四、作业 练习 3 习题 5、 6 五、供选用的例题（或作业） 1已知 0 0 0e ，求证：db e 证： 011000e ba db e 2若 , ，求不等式1, 同时成立的条件 解： 00011 , ， 0,0 求证 0111 0 222 0222 又 0 222 0 0 1110 0 0111 |,0 比较解：a1b1 当 0,0 | 即 0 0 0 a1 0, 求证： 1解： 01 a 0a 0 0 0a 01 1 0,0 求证： lo 1 1 0又 0,0 11原式成立 第三教时 教材： 算术平均数与几何平均数 目的： 要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。 过程： 一、 定理：如果 , ，那么 22 （当且仅当 时取“ =”） 证明： 222 )(2 0)( 0)( 22，当 时，当 22 1指出定理适用范围： , 2强调取“ =”的条件 二、定理：如果 是正数，那么 2（当且仅当 时取“ =”） 证明： )()( 22 即： 2当且仅当 时 2注意： 1这个定理适用的范围： 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 三、推广： 定理：如果 , ，那么 333 （当且仅当 时取“ =”） 证明： 33)(3 2233333 )(3)()( 22 32)( 222 )( 222 )()() (21 222 , 上式 0 从而 333 指出：这里 , 0 不能保证 推论：如果 , ，那么 33 （当且仅当 时取“ =”） 证明： 333333333 3)()()( 3 33 a b 四、关于“平均数”的概念 1如果 1, 21 则： n n 21叫做这 n 个正数的算术平均数 n 21 叫做这 n 个正数的几何平均数 2点题：算术平均数与几何平均数 3基本不等式： n n 21 21 1,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述： n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 4 2的几何解释： 以 为直径作圆，在直径 取一点 C， 过 C 作弦 则 2 从而 而半径 2五、例一 已知 , 为两两不相等的实数，求证： 222 证： 22 22 22 以上三式相加： 22)(2 222 222 六、小结：算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式（即平均不等式） 七、作业： 练习 1、 2 习题 1充： 1已知 32,86 分别求, 的范围 (8,11) (3,6) (2,4) A B D D C a b 2 试比较 124x 与 232 （作差 12 4 x 232 ） 3求证： )(2222222 证： )(2222 )(2222 )(2222 三式相加化简即得 第四教时 教材： 极值定理 目的： 要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。 过程： 一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式 二、 若 ，设2),(22 2),( ),( 1 2),(求证： ),(),(),(),( 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均 证：244 2)2(22222222 2222 即： ),(),( （俗称幂平均不等式） 由平均不等式 ),(),( ),(2 22),( 即： ),(),( 综上所述： ),(),(),(),( 例一、若 ,1 求证225)1()1( 22 幂平均不等式：2)11()1()1(222 2252)23(2)3(2)1( 222 三、 极值定理 已知 都是正数，求证： 1 如果积 定值 p ，那么当 时和 有最小值 2 如果和 是定值 s ，那么当 时积 最大值 241 21当 xy p (定值 )时， 2 上式当 时取“ =” 当 时有 yx 2当 (定值 )时，2 241 上式当 时取“ =” 当 时有 21)( 注意强调： 1最值的含义（“ ”取最小值，“ ”取最大值） 2用极值定理求最值的三个必要条件： 一“正”、二“定”、三“相等” 四、 例题 1证明下列各题： 210( x 证： 1x 0x 01010xx 上题改成 10 x ，结果将如何？ 解： 10 x 0x 010)10lo g()10 1 则41 则显然有410 异号或一个为 0 则 0 41求函数 )1(2 的最大值 )10( x 求函数 )1( 2 的最大值 )10( x 解： 10 x 01 x 当 12即32274)3122(4)1(224 3 32x 时 274y 10 x 110 2 x )1)(1(221)1( 2222222 274)3 )1()1(2(21 3222 当33,12 22 2 1x ，则 x 为何值时11 小值为几？ 解： 1x 01x 011 x11 112111)1(21111 x 时 1)11( m 小结： 1四大平均值之间的关系及其证明 2极值定理及三要素 六、 作业： 习 3、 4 习题 、 5、 6 补充：下列函数中 x 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？ 1 )32( 31y25 141 2,1 m 3 0x 时 21 61,26 m i n 教材： 极值定理的应用 目的： 要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。 过程： 一、 复习：基本不等式、极值定理 二、 例题： 1求函数 )0(,32 2 列解法是否正确？为什么？ 解一： 33 222 43212311232 33y 解二： 232232 22 当 2 2 即 2123x 时 633m i n 3242123221262 y 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“ =”，即不存在 x 使得12 2 ；解二错在 是定值（常数） 正确的解法是： 333 222 36232932 32 3232 32 3232 32 2 即263x 时 3623 14 x ，求22 222 x 解： )1(1)1(2111)1(2111)1(212222 22 14 x 0)1( x 0)1(1 )1( 1)1( 1( 1)1(21 )22 22( m x 1222 求 21 的最大值 解： 0x )221(21 222 又2321)2()221(2222 4 23)2321(21 2 3)1( m a 知 , 且 1 的最小值 解： yx )(1)(2)(2 当且仅当 时 2m ()( 三、关于应用题 1 （即本章开头提出的问题）（略） 2将一块边长为 a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为 x 则其容积为 )20(,)2( 2 )2()2(441 2723 )2()2(44133 当且仅当 4 即6取“ =” 即当剪去的小正方形的边长为6盒的容积为2723a 四、 作业： 习 4 习题 7 补充： 1求下列函数的最值： 1 )(,42 2 ) 2 )20(,)2( 2 (272) 2 1 0x 时求 236 的最小值， 62 的最小值 )429,9( 32设 27,91x，求 )3(3 的最大值 (5) 3若 10 x , 求 )1( 24 的最大值 )3 32,274( 且 12 求1的最小值 )223( 3若 0求证：)( 1 的最小值为 3 4制作一个容积为 316m 的圆柱形容器 (有底有盖 )，问圆柱底半径和 高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）)4,2( 第六教时 教材： 不等式证明一（比较法） 目的： 以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一 比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 过程： 一、 复习： 1不等式的一个等价命题 2比较法之一（作差法）步骤：作差 变形 判断 结论 二、作差法：（ 14） 1 求证： 3 3x 证： ( 3) 3x = 043)23(3)23()23(3 2222 3 3x 2 已知 a, b, m 都是正数，并且 a 0 , b a 0 0)( )( 变式：若 a b，结果会怎样？若没有“ a ： ( ( = ( + ( = = ( ( = (a + b)(a b)2( a, b 都是正数， a + b, 0 又 a b， (a b)2 0 (a + b)(a b)2( 0 即： 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 一半时间以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果 m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为 S， 甲乙两人走完全程所需时间分别是 则：211 22,22 可得：mn t 2 )(,2 21 )(2)()(2)(42)(2 2221 S, m, n 都是正数，且 m n， b 0 时， 1)(,02,1 2 b a 0 时， 1)(,02,10 2 2)( （其余部分布置作业） 作商法步骤与作差法同，不过最后是与 1 比较。 四、小结：作差、作商 五、作业： 练习 习题 1 4 第七教时 教材： 不等式证明二（比较法、综合法） 目的： 加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。 过程： 一、比较法： a) 复习：比较法，依据、步骤 比商法，依据、步骤、适用题型 b) 例一、证明： 3422 ),2 是增函数。 证：设 2 , 4 0 12021 0， 3422 ),2 是增函数 二、 综合法： 定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。 i. 已知 a, b, c 是不全相等的正数， 求证： a( + b( + c( 6： 2 a 0 , a( 2理： b( 2 c( 2 a( + b( + c( 6且仅当 b=c,c=a,a=b 时取等号，而 a, b, c 是不全相等的正数 a( + b( + c( 6设 a, b, c R， 1求证： )(2222 2求证： )(2222222 3若 a + b = 1, 求证： 22121 证： 1 0)2(2 222 2|2|222 )(2222 2同理： )(2222 ， )(2222 三式相加： )(2222222 3由幂平均不等式： 1222 )1(2)21()21()2121(21 22121 a , b, cR, 求证： 1 9)111)( 9)111)( 3 ba 1法一： 33 , 3 13111 , 两式相乘即得。 法二：左边)()()(3 3 + 2 + 2 + 2 = 9 23 )()(23222 3 )()( 13111 两式相乘即得 3由上题：29)111)( 9111 ac 3 ba 结：综合法 四、作业： 16 练习 1， 2 习题 1， 2， 3 补充： 1 已知 a, bR+且 a b，求证： 2121212212 )()( （取差） 2 设 R， x, yR，求证： 22 c 取商） 3 已知 a, bR+，求证：2)2(333 证： a, bR+ 0)( 2 22 )()( 2233 )(3)(3 33 33333 )()(3)(4 2)2(333 4 设 a0, b0，且 a + b = 1，求证：225)1()1( 22 212 141 2222211122112)1()1( 22524122112212222 教材： 不等式证明三（分析法） 目的： 要求学生学会用分析法证明不等式。 过程： 一、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。 二、 例一、求证： 5273 证： 052,073 综合法： 只需证明： 22 )52()73( 21 0， y 0，证明不等式： 31332122 )()( 证一：（分析法）所证不等式即： 233322 )()( 即： 3366222266 2)(3 即： 332222 2)(3 只需证： 成立 31332122 )()( 证二：（综合法） 3366222266322 6)(3)( 2333366 )(2 x 0， y 0， 31332122 )()( 例三、已知： a + b + c = 0，求证： 0 证一：（综合法） a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0 展开得：2222 0 证二：（分析法）要证 0 a + b + c = 0 故只需证 (a + b + c)2 即证： 0222 即： 0)()()(21 222 然） 原式成立 证三： a + b + c = 0 c = a + b (a + b)c = (a + b)2 = = 043)2(22 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 证：设截面周长为 l，则周长为 l 的圆的半径为2l，截面积为 22 l ， 周长为 l 的正方形边长为4l，截面积为 24l 问题只需证： 22 l 24l 即证：224l 162l 两边同乘24l ，得： 411 因此只需证： 4 （显然成立） 22 l 24l 也可用比较法（取商）证，也不困难。 三、 作业： 练习 1 3 及 习题 余下部分 补充作业： 1 已知 0 0 故只需证： c o o ss 即证： c o o s)c o c o 1 + 0 只需证： 1c os)c 即只需证： 01c 即： 0)12 （成立） 2 已知 a b 0， 为锐角，求证： 22ta ns e c 略证：只需证： 222)t a ns e c( 即： 0)s e ct a n(s e ct a e ct a n 22222 成立） 3 设 a, b, c 是的 边， S 是 三 角 形 的 面 积 ， 求 证 ：44222 略证：正弦、余弦定理代入得： s o 即证： CC s o 即： 2co ss 即证： 1)6C（成立） 第九教时 教材： 不等式证明四（换元法） 目的： 增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。 过程： 一、 提出课题：（换元法） 二、 三角换元： 例一、求证：21121 2 综合法） 212)1()1(1|1| 2222222 即：21|1| 2 1121 2 换元法） 11 x 令 x = , 0, 则 2s 1 21121 2 知 x 0 , y 0， 2x + y = 1，求证： 22311 22323)2(11 22311 由 x 0 , y 0， 2x + y = 1，可设 22 c o s,s t a c o c o s 1s i n 211 2222 t 22 例三：若 122 求证： 2|2| 22 证：设 )10(,c o s,s 则 |s i ns i nc o o s|2| 2222222 2242c s i 222 例四：若 x 1， y 1，求证： )1)(1(1 证：设 )2,0(,s e c,s e c 22 则 c o sc o s 1c o sc o s )c o s (t a nt a )(1(1例五：已知： a 1, b 0 , a b = 1，求证： 11110 a 1, b 0 , a b = 1 不妨设)20(,t a n,s e c 22 则 t a a ns e e cs e s i nt a ns a ns 0 , 0 0，则 212122 )2,2,0(,1,122 11 222222 2 （ 当 a = 1 时取“ =” ） 2222222 即 22 原式成立 四、 小结： 还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。 五、 作业： 1 若 122 求证： 1c 2 若 |a| 1, b 0 , a b = 1，求证： 11110 求证： 110 6 已知 |a| 1， |b| 1，求证： 1|11| 22 第十教时 教材： 不等式证明五（放缩法、反证法） 目的： 要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。 过程： 一、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法 提出课题：放缩法与反证法 二、 放缩法： 例一、若 a, b, c, dR+，求证：21 a 证：记 m =a a, b, c, dR+ 1 cd 1 2 时，求证： 1)1(lo g)1(lo g n 2 0)1(lo g,0)1(lo g 2222)1(l o (l o g)1(l o g)1(l o g)1(l o g g 22 n 2 时 , 1)1(lo g)1(lo g 证： 21312111 2222 n证：11)1( 11 2 2121113121211113 12 11 1 2222 三、 反证法： 例四、设 0 41, (1 b)c 41, (1 c)a 41, 则三式相乘： 0， 0， 0，求证： a, b, c 0 证：设 a 0, 0, 则 b + c = a 0 a(b + c) + 0 矛盾， 必有 a 0 同理可证： b 0, c 0 四、 作业：证明下列不等式： 1 设 x 0, y 0,yx 1, 11，求证： a b c, 则 0411 4)()(22)(1211 2 5 )2,(1121111 2 左边 11111122222 n 6 121211121 11121 式7已知 a, b, c 0, 且 证： 0, 22 , 1 8设 0 0，且 x + y 2，则和中至少有一个小于 2 反设 2， 2 x, y 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾 第十一教时 教材： 不等式证明六（构造法及其它方法） 目的： 要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。 过程： 一、 构造法： 1构造函数法 例一、已知 x 0，求证： 25111 造函数 )0(1)( 1 设 2 0, 1 0, 0 上式 0 f (x)在 ),2 上单调递增，左边25)2( 证： 31091022 证：设 )3(92 则)(2 用定义法可证： f (t)在 ),3 上单调递增 令： 3 ， 则 即 b, c 是二次方程 022 两个实根。 082 a 2 例四、求证： ),2(3t a ns e c t a ns e 2 证：设 2y 则： (y 1)+ (y + 1)+ (y 1) = 0 当 y = 1 时，命题显然成立 当 y 1 时， = (y + 1)2 4(y 1)2 = (3y 1)(y 3) 0 331 式成立。（此法也称判别式法） 3构造图形法： 例五、已知 0 0, y 0, x + y = 1，则42511 左边21 令 t = 41202 A B C D O 1b b a 1a )( 在 41,0(上单调递减 417)41()( 若 ),2(10 *，且 b 0，则 | f (a) f (b) | 0，则 222222 作 120, 设 |= x, |= y, |= z 第十二教时 教材： 不等式证明综合练习 目的： 系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。 过程： 四、 简述不等式证明的几种常用方法 比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造 五、 例一、已知 0 1, 0)1(lo g 21 B C D F 1)1(lo 1 |)1(lo g| |)1(lo g| 解三： 0 0 且 a 1，其余条件不变。 例二、已知 所有字母均为正，求证： 一：（分析法） a, b, c, d, x, y 都是正数 要证： 需证： ( ( 即： ( 2开得： 2： 2 由基本不等式，显然成立 二：（综合法） 222222222222 b c 22222 )(2 证三：（三角代换法） 不妨设 a = b = c = d = + = ) 三、已知 为正数，求证： 221222121211 证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证： 421411211 21222122212221 即：212221 1)1)(1( 再平方： 2221212221 21)1)(1( 化简整理得： 212221 2 （显然成立） 原式成立 证二：（反证法）假设 221222121211 化简可得： 212221 2 （不可能） 原式成立 证三：（构造法）构造矩形 使 1, ， 最短。 取 点 M，有 2 21 ： 2212212221 212111 221222121211 六、 作业： 2000 版 高二课课练 第 6 课 第十三教时 教材： 复习一元一次不等式 目的： 通过复习 要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次