题目讨论平面静电场中复变函数方法.ppt

题目：讨论平面静电场中的 复变函数方法,报告人：李利萍 PB04005036 指导老师：翁惠民,一、引言,（1）在电磁学中，我们对电场的问题总是在一个三维的空间进行讨论，而电场中诸多的对称性让我们想到在一个剖切面进行考虑问题 (2)复变函数有时在平面解决问题的一个很好的工具。本文正是把电场中的问题变换成复变函数模型，进而进行分析。,二、把静电场中的一些问题化为复变函数模型,对于一般的平面静电场，我们选取一个有代表性的平面作为z 平面，设D是电场中的一大单连通区域，如果D内每一点电场强 度 的散度： (1) 以C表示一光滑曲线，是D所围的有界区域， 且 ， 由格林公式： 上式表示沿闭曲线C的电通量，确定单值函数： (2) 称为电场的力函数，等值线 =a（常数）叫电力线。,电场的旋度 ： (3) 类似有： 上式表示沿闭曲线C所作的功，确定单值函数： (4) 称为电场的势函数，其等值线 =b（常数）叫 电势线。,由(1)(3)得 (5) 满足C-R方程，故 是D内的全纯函数 同理，复势 是D内的全纯函数 且知 与E满足如下关系: (6),应当指出:在多连同区域内,复势可能是一个多值函数,对于 此区域内任意一条光滑曲线C,有 (7) 其中 Q分别是平面静电场沿C的所做的功与电通量.,三、简单初等函数表示平面静电场的几个例子,（一）考虑一足够长(可以看成无限长)的均匀带电直线所产生的电场,以表电荷的线密度,任取垂直于的一个平面为平面,且原点在平面上,现来求此平面静电场的电场强度和复势.,分析如下: 库伦定理知，点电荷q在相距其r处产生的电场: 则本题中 其中是点电荷的线密度，dh是直线上的长度微元， 是真空介电常数 所以， |dE|在z平面的投影为,推出 由于E的方向与z相同，其单位向量为 所以电场强度E的初等复变函数的表示为: -(8),而根据(6)复势为： (9) 为了方便,上式中取常数c=0.这不影响电场强度E 所以 为力函数. （常数）表示电力线(虚线). 为势函数. 表示等势线（实线）.（如右图所示）,以C表示一原点为中心的一个圆周,则由(7)式得 令 ，则 即 易知: 因此,该点电荷C的环量为0,沿C的电通量为 这与电场的环路定理和高斯定理相吻合.,(二)在Z平面的点 处分别有电量为 的点电荷.求这些点电荷所形成的电场的电场强度和复势. 分析如下:由上计算知 根据电路的叠加原理,上述电荷所组成的电场的 电场强度为: 复势为：,特别地,当 ， （即电偶极子），且在的点 电荷的电量为 ，则由这两异性的点电荷所形成的复势为： 而力函数 ，当 ( 为常数)，电力线是经过 的圆周 又势函数 ，当 （b为常数），等势线是以 为对称的 圆周.（见下图）,四.用复变的方法处理静电场的具体问题-平行板电容器所形成的电场.,考虑在平行板电容器内部,而不是两端附近的静电场,那么可以近似的把电场看成是均匀的.在两端附近是不均匀的.但我们考虑一端附近的静电场,可以忽略另一端的影响,那么可以把平行板电容器表示成两个半平面的形状,下图就是垂直与一平行板的剖面图.以表示平行板间的距离2h,又设它们的电势分别为,因此,要求出此平面静电场的复势 ,只有解如下边值问题.即上图中所示区域内的解析函数,使它满足边界条件： 且使 实际上,这只要找出区域D到W平面上宽为2b的带形区域G的共形映射（见下图）,? ? ?,施瓦兹-科利斯多费尔定理,这样我们就找到了从映射G到D的单叶解析函数： 将上式分成实部和虚部得： 分别在上式中取 常数，与 常数，便得电力线和等势线的参数方程,由上式及(6)还求的电场强度： 在此平行板电容器的内部,即z接近A点，又w接近 ，故电场 强度 也就是接近匀强电场.当z在平行板电容器一端附近, 即接近B或E， ，此时,E趋于 。上式的E值反映了电容器所形成的电场强度的大小情况.,五.总结,本文先把平面静电场的一些问题化为复变函数的问题,然后用共形映射与边值问题的方法处理这些问题. 通过着篇论文我学到了很多知识，对电场问题有了更多地了解，也更深刻地了解到变函数这个工具的强大力量,参考资料:,张玉民,戚