高三理科数学一轮复习 专题5 平面向量.ppt

专题专题 5 平面向量 第1节节 平面向量的概念及线性运算、平面 向量基本定理 第2节节 平面向量的数量积及其应用 目录 600分基础础 考点考法 考点28 平面向量的基本概念及线性 运算 考点29 平面向量的基本定理及坐标 运算 第1节节 平面向量的概念及线线性运算、平面向量基本定理 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 1向量的有关概念 大小 向量 方向 特殊向量 零向量 单位向量 平行（共线）向量 相等向量 相反向量 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 模 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 2向量的线线性运算 加法 减法 数乘 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 3向量的三角形公式 4.向量共线线定理向量 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 考法1 平面向量的有关概念 考法2 平面向量的线性运算 平面向量的基本概念及线性运算 考点28 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 1.正确理解向量的概念 （1）两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以 比较大小； （2）大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征 ； （3）向量可以自由平移,任一组平行向量都可以移到同一直线上. 2.正确理解共线线向量与平行向量 共线向量就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然 向量所在直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“ 共线”的含义. 【注意】（1）零向量与任何向量共线;（2）共线向量不一定是相等向 量,但相等向量一定是共线向量 考点28 考法1 平面向量的有关概念 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 考点28 考法1 平面向量的有关概念 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 1.简单简单 运算 2.用已知向量表示未 知向量 3.已知运算结结果求参 数的值值 4.向量线线性运算的几 何意义义 考点28 考法2 平面向量的线性运算 应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.注意 加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形 法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同 ”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向 量，运算过程可类比实数运算. 结合图形中各向量的位置关系，将未知向量表示为两 个向量的和或差，再将这两个向量逐步分解为可以用 已知向量表示的形式，整理即可. 结合图形，利用向量的线性运算将向量表示出来，利 用向量相等确定参数的值. 根据向量加法的法则可知，在ABC中， （D为BC边中点），反之也成立.在平行四 边形中，共起点的两个向量的和与差分别是两条对 角线表示的向量，注意向量的方向. 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 考点28 考法2 平面向量的线性运算 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 考点28 考法2 平面向量的线性运算 考点28 平面向量的基本概念及线性运算 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且 只有一对实数1,2,使a1e1+2e2.我们把 不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底 应注意的是,基底的选择并不唯一,只要 两个向量不共线,都可作为一组基底. 2.平面向量的坐标标表示 在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴 正方向相同的两个单位向量i, j作为基底,对 平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使 得axiyj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角 坐标,记作a(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴 ，y轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标 相同的向量是相等向量 3.平面向量的坐标标运算 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 考法3 平面向量基本定理的应用 考法4 平面向量的共线问 题 平面向量的基本定理及坐标运算 考点29 考法5 平面向量的坐标表示与运 算 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 1.基底的选择选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线. 考点29 考法3 平面向量基本定理的应用 2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻 求向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解. 第一步,观察待求向量所在的三角形或 平行四边形,利用三角形法则或平行四 边形法则先将待求向量表示成两个(或 多个)相关向量a,b（或a,b,c,）的和或 差； 第二步,把向量a,b（或a,b,c,）分别进 行分解,直到用基底表示出向量a,b（或 a,b,c,） ； 第三步,将a,b（或a,b,c,）代入第一步 中的式子,从而得到结果 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 1.基底的选择选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线. 考点29 考法3 平面向量基本定理的应用 2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻 求向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解. 第一步,把待求向量看作未知量； 第二步,列出方程组； 第三步,用解方程组的方法求解待求向 量 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 1.基底的选择选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线. 考点29 考法3 平面向量基本定理的应用 2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻 求向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解. 第一步,建立适当的直角坐标系； 第二步,把基底e1,e2,待求向量m的坐标 分别表示出来； 第三步,设m=xe1+ye2； 第四步,根据向量e1,e2,m的坐标列出相 应的方程组,求出x,y,问题 即可得解 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 1.基底的选择选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线. 考点29 考法3 平面向量基本定理的应用 2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻 求向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解. 第一步,选择 一组基底； 第二步,运用平面向量基本定理将条件 和结论 表示成向量的形式； 第三步,通过向量的运算来证明共线或 其他几何相关问题 3.解决几何相关问题问题 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 考点29 考法3 平面向量基本定理的应用 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 (1)对于向量a（a0）,b,若存在实数,使得ba,则向量a与b共线(平行) (2)若向量a(x1,y1),b(x2,y2),则x1y2x2y10 ab (3)对于向量a,b,则abab a与b共线 若已知向量共线求参数值，则可依据已知条件与上述依据的对应 性， 选择 合适的依据列方程，通过解方程求解. 考点29 考法4 平面向量的共线问题 证证明向量共线线(或平行)的主要方法和已知两向量共线线求参数值值的依据 ： 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 考点29 考法4 平面向量的共线问题 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 考点29 考法5 平面向量坐标表示与运算 1.求平面向量的坐标标 (1)平移法:将向量的起点移至坐 标原点,终点坐标即为向量的坐 标； (2)用表示向量的有向线段的终点 坐标减去起点坐标 2.平面向量的坐标标运算 主要依据相关公式计算即可 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 考点29 考法5 平面向量的坐标表示与运算 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 考点29 考法5 平面向量的坐标表示与运算 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 考点29 考法5 平面向量的坐标表示与运算 考点29 平面向量的基本定理及坐标运算 目录 600分基础础 考点考法 考点30 平面向量的数量积 考点31 平面向量的应用 700分基础础 考点考法 综合问题8 平面向量数量积与其他知识的 综合应用 第2节节 平面向量的数量积积及其应应用 考点30 平面向量的数量积 一、平面向量数量积积的基本概念 1.向量的夹夹角 2.数量积积的定义义 3.投影 4.数量积积的几何意义义 数量积是个 数值，可正 可负可为 零 考点30 平面向量的数量积 考点30 平面向量的数量积 二、平面向量数量积积的性质质与运算律三、平面向量数量积积的坐标标表示 考点30 平面向量的数量积 考法1 平面向量的数量积运算 考法2 平面向量的垂直问 题 平面向量的数量积 考点30 考点30 平面向量的数量积 考点30 考法1 平面向量的数量积运算 1.利用坐标计标计 算数量积积 第一步,根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思 想的应用； 第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可 2.根据定义计义计 算数量积积 求向量 a,b的数量积ab,有以下两种思路： (1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积；若两 向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算. (2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量 a,b,然后再根据平面向量的数量积的定义和性质进 行计算求解 3.根据数量积积求参数的值值 若已知两平面向量的数量积，则根据坐标公式或定义列出含有参数的数量积的 等式，再解方程即可. 考点30 平面向量的数量积 考点30 考法1 平面向量的数量积运算 考点30 平面向量的数量积 考点30 考法1 平面向量的数量积运算 考点30 平面向量的数量积 考点30 考法1 平面向量的数量积运算 考点30 平面向量的数量积 考点30 考法1 平面向量的数量积运算 考点30 平面向量的数量积 考点30 考法2 平面向量的垂直问题 1.利用坐标标运算证证明或判断两个向量的垂直问题问题 第一,计算出这两个向量的坐标； 第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个 向量的数量积为0即可 2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式, 进而求解参数 考点30 平面向量的数量积 考点30 考法2 平面向量的垂直问题 考点30 平面向量的数量积 考点31 平面向量的应用 1.长长度 2.夹夹角 考点31 平面向量的应用 考法3 平面向量的模的相关问题 考法4 求平面向量的夹角 平面向量的应用 考点31 考点31 平面向量的应用 求解平面向量的模的相关问题 , 借助模的相关公式列出关系式求解 即可.解题过题过 程中应应掌握以下方法 和结论结论 ： （1）要掌握向量模的两种计算公 式 （2）要掌握平面向量的一些简单 的几何意义 （3）求解向量（或和向量）的模 的取值范围时 ，可以通过有关坐 标公式构造函数求解，也可以转化 为基底表示的问题 ，或应用定义 直接求解. 考点31 考法3 平面向量的模的相关问题 a为定值,则说明当表示向量的有 向线段的起点确定后,其终点在以起点为 圆心，以|a|为半径的圆上运动； 若a+b=a-b,则说明向量ab ；若(a+b)(a-b)=0,则说明a=b 等. 考点31 平面向量的应用 考点31 考法3 平面向量的模的相关问题 考点31 平面向量的应用 考点31 考法3 平面向量的模的相关问题 考点31 平面向量的应用 考点31 考法3 平面向量的模的相关问题 考点31 平面向量的应用 考点31 考法3 平面向量的模的相关问题 考点31 平面向量的应用 求解两个非零向量之间间的夹夹角的步骤骤： 第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 考点31 考法4 求平面向量的夹角 第三步，根据公式 求解出这两个向量夹角的 余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围是0,及其夹角的余弦 值,求出这两个向量的夹角 【注意】(1)向量a,b的夹角为锐角ab0且向量a,b不 共线； (2)向量a,b的夹角为钝角 ab0且向量a,b不共线 考点31 平面向量的应用 考点31 考法4 求平面向量的夹角 考点31 平面向量的应用 考点31 考法4 求平面向量的夹角 考点31 平面向量的应用 考点31 考法4 求平面向量的夹角 考点31 平面向量的应用 考点31 考法4 求平面向量的夹角 考点31 平面向量的应用 综合问题8 平面向量数量积与其他知识的综合应用 综合点1 平面向量数量积的综合应用 平面向量集数与形于一体,是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的 工具.在高考中,常将它与几何问题、三角函数、解三角形问题结 合起来考查. (1)用平面向量解决平面几何问题问题 时,常用方法有： 利用已知条件（或利用向量线性运算将条件转化）,结合平面几何知识及向 量数量积直接求解. 可以用基向量的方法或坐标法.若便于建立直角坐标系，则建立平面直角