ch1-9闭区间上连续函数的性质.ppt

福州大学数计学院1 连续的定义 定义1 设 在 内有定义， 若 ，那末就称 在点 连续， 称 为的连续点。 复习 定义2 设函数 在 内有定义, 若 则称函数 在点 连续. 定义3 设函数 在 内有定义 称函数 在点 处连续. 福州大学数计学院2 (但在点x0的去心领域内有定义 ) 福州大学数计学院3 第一类间断点:跳跃间断点与可去间断点. 特点 第二类间断点 福州大学数计学院4 初等函数求极限的方法代入法. v v 福州大学数计学院5 第九节 闭区间上连续函数的 性质 一、最大值和最小值定理 二、零点定理与介值定理 新课 要掌握证明的技巧！ 第一章 福州大学数计学院6 一、最大值和最小值定理 最值定义 : 例如, 福州大学数计学院7 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数在该区间上有界并一定有 最大值和最小值. 福州大学数计学院8 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数在该区间上有界并一定有 最大值和最小值. 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 福州大学数计学院9 二、零点定理与介值定理 定义 定理2(零点定理) 设 f(x) 在闭区间a,b上连续 , 且 f(a) 与 f(b) 异号(即 f(a) f(b)0 ) , 则至少存在一 点 (a,b) 使 f()=0. 几何解释: 福州大学数计学院10 1.若f(x)在开区间连续, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 注意 一个主要应用：证明方程根的存在性或者 证明函数零点的存在性. 例1 另例 福州大学数计学院11 证 由零点定理, 例2 福州大学数计学院12 例3 证 由零点定理, 设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一. 另例 福州大学数计学院13 例4 证: 设实系数奇次多项式为： 不妨设 当 时， 则 当 时， 则 由零点定理，得 即方程有实根. 为奇数 福州大学数计学院14 几何解释: M f(b) f(a ) m a b 定理3(介值定理) 设 f(x) 在闭区间a,b上连续 , 且 f(a) f(b) 则对介于 f(a) 与 f(b) 之间的任意一个 实数 , 至少存在一点 (a,b) 使 f() = . 推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最 大值 M 与最小值 m 之间的任何值. 即 福州大学数计学院15 推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最 大值 与最小值 之间的任何值. 例5 即 福州大学数计学院16 推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最 大值 与最小值 之间的任何值. 推论2 在闭区间上不为常数的连续函数把该 区间映为闭区间. M y m 0 b a x y=f(x)几何解释:如图，将连续曲线弧 y=f(x) (axb) 向 y 轴作投影，其 投影必然是线段，而不会是支离破 碎的点集 福州大学数计学院17 三、小结 三个定理 最值定理;介值定理;零点(根的存在性)定理. 注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),验证F(x)满足零点 定理条件,再利用零点