chapt09-幂级数解法、本征值问题(4学时.ppt

第九章 幂级数解法 本征值问题 9.1二阶常微分方程的幂级数解法 9.1.1幂级数解法理论概述 用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输 运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德 方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用 其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量， 还会出现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线 性常 微分方程 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 不失一般性，我们讨论复变函数的线性二阶常 微分方程 （9.1.1） 其中 z为复变数， z0为选定的点，C0, C1 为复数. Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 说明： 1. 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但 可用幂级数解法解出 2. 所谓幂级数解法，就是在某个任意点Z0的邻域上，把待求 的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数 3. 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借 助于解析函数的理论进行讨论 4. 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题. 5. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的 求解问题中 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 如果方程（9.1.1）的系数函数 和 在选选定的点的邻邻域 中是解析的，则 则点 方程（9.1.1）的常点. 如果选定的点 是 或 的奇点，则则点 叫作方程（9.1.1）的奇点 叫作 1方程的常点和奇点概念 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 2. 常点邻域上的幂级数解定理 定理9.1.1 若方程（9.1.1）的系数 和 为为点的邻邻域中的解析函数， 则方程在这圆中存在唯一的解析解 满足 初始条件，其中 是任意给给定的复常数 ， Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数. 既然线线性二阶阶常微分方程在常点的邻邻域 上存在唯一的解析解， （9.1.2） 其中 为为待定系数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 为了确定级数解（9.1.2）中的系数，具体的做法是以 （9.1.2）代入方程（9.1.1），合并同幂项，令合并后的系数 分别为零，找出系数 之间的递推关系， 最后用已给的初值 ，来确定各个系数 从而求得确定的级数解 下面以阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 9.1.2常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解 注： （参考书上9.1节内容，特别是书上226-228页内容 由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在 邻域上求解 阶勒让德方程 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 故方程的系数 在 ，单值函数 ， 均为为有限值值，它们们必然在 解析 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 是方程的常点根据常点邻域上解的定理， 解具有泰勒级数形式： （9.1.3） 泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的 递推关系 （9.1.4） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 因此，由任意常数 可计算出任一系数 偶次项的系数: 奇次项的系数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式 (9.1.7) 其中分别是偶次项和奇次项组成的级数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 不是整数时 无穷级数，容易求 得其收敛半径均为1 时， 发散于无穷 是非负负整数 递推公式（9.1.4） 是偶数时， 是一个n次多项式，但函数 为在 处发散至无穷的无穷级数 是奇数时时， 是次多项项式，而 仍然是在 处处无界的无穷级穷级 数 l 是负整数时 一个是多项式，另一个 是无界的无穷级数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 所以不妨设 导出这个多项式的表达式 , 是非负负整数 （因在实际问题实际问题 中一般总总要求有界解） 把系数递推公式（9.1.4）改写成 (9.1.8) 于是可由多项项式的最高次项项系数来表示其它各低阶项阶项 系数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 取多项式最高次项系数为 (9.1.9) Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 这样取主要是为了使所得多项式在 处取值为1，即实现归一化. 可得系数的一般式为 (9.1.10) 因此，我们得出结论： Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 是非负偶数时，勒让德方程有解 （9.1.11） 是正奇数时，勒让德方程有解 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (9.1.12) 对上述讨论进行综合，若用 表示不大于 的整数部分， 用大写字母写成统统一形式解 （9.1.13） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 是非负整数时，勒让德方程的 基本解组 中只有一个多项式，这个多项式 勒让德多项式 ，也称为第一类勒让德函数； 另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数， 记为大写的 可以得出它们的关系 （9.1.14） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 经过计算后， 可以通过对数函数及勒让德多项式 表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为 (9.1.15) 特别地 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 可以证明这样定义的 ，其递推公式和 的递推公式具有相同的形式而且在一般情况下勒让德方程 的通解为两个独立解的线性叠加 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限） 的形式容易看出，它在端点 处是无界的， 故必须取常数 从而勒让德方程的解就只有 第一类勒让德函数即勒让德多项式： Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 综合可得如下结论： （1）当 不是整数时时，勒让让德方程在区间间 上无有界的解 （2）当 为整数时，勒让德方程的通解为 ，其中 称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式）， 称为第二类勒让德函数. Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在 有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一 类类勒让让德函数即勒让让德多项项式因为为第二类类 勒让德函数 在闭区间 上是无界的 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 9.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解 前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我 我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以 表示自变量，以 表示未知函数，则 阶贝塞尔方程为 (9.1.18) Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 其中， 为任意复数， 但在本节中 由于方程的系数中出现 只限于取实数。 项，不妨暂先假定 故 为 的奇点。 下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 设方程（9.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式： (9.1.19） 其中，常数 和 可以通过把 和它的导数 代入（9.1.18）来确定 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 将（9.1.19）及其导数代入（9.1.18）后，得 化简后写成 要使上式恒成立，必须使得各个 次幂的系数为零， 从而得下列各式： Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (9.1.20) (9.1.21) (9.1.22) 由（9.1.20） 得 ；代入（9.1.21），得 现暂取 ，代入（9.1.22）得 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (9.1.23) 因为 ，由（9.1.23）知： 都可以用 表示，即 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 由此知（9.1.19）的一般项为 是一个任意常数，令 取一个确定的值，就得（9.1.18） 的一个特解我们把 取作 这样选取 与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关。 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 运用下列恒等式 使分母简化，从而，使（9.1.19）中一般项的系数变成 （9.1.24） 以（9.1.24）代入（9.1.19）得到贝塞尔方程（9.1.18）的一个特解 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定 这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数 所确定的函数，称为 阶第一类贝塞尔函数，记作 (9.1.25） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解 另外，当 即取负值时，用同样方法可得 贝塞尔方程（9.1.18）的另一特解 （9.1.26） 比较（9.1.25）与（9.1.26）可见，只需在（9.1.25）的右 端把 换成 ，即可得到（9.1.26）故不论 是正 数还是负数，总可以用（9.1.25）统一地表达第一类贝塞尔函数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 讨论： (1)当 不为整数时，例如 为分数阶贝塞尔函数： 等, 当 时， Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 故这两个特解 与 是线性无关的，由齐次线 性常微分方程的通解构成法知道，（9.1.18）的通解为 （9.1.28） 其中， 为两个任意常数 根据系数关系，且由达朗贝尔比值法 故级数 和 的收敛范围为 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (2)当 为正整数或零时（注:以下推导凡用 即表整数）， 故有 （9.1.27） 称 为整数阶贝塞尔函数易得 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 需注意在取整数的情况下， 和 线性相关， 这是因为: 可见正、负 阶贝塞尔函数只相差一个常数因子 这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为 是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与 线性无关 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 其中， 为欧拉常数 可以证明是贝塞尔方程的特解， 且与 线性无关的. Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 综述：（1）当 ，即不取整数时，其贝塞尔方程的 通解可表示为 （2）不论 是否为整数，贝塞尔方程的通解都可 表示为其中 为任意常数， 为任意实数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 9.2 施图姆刘维尔本征值问题 从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微 分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以 是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自 然边界条件满足这些边界条件的非零解使得方 程的参数取某些特定值这些特定值叫做本征值 （或特征值、或固有值），相应的非零解叫做本 征函数（特征函数、固有函数求本征值和本征 函数的问题叫做本征值问题. Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F. Sturm)刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就讨 论具有普遍意义的施图姆刘维尔本征值问题 1521施图姆刘维尔本征值问题 定义 9.2.1施图姆刘维尔型方程 通常把具有形式 （9.2.1） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 的二阶常微分方程叫作施图姆刘维尔型方程，简称施 刘型方程 研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的 二阶常微分方程 通常乘以适当的函数 ，就可以化成 施图姆刘维尔型方程 (9.2.2) Kui Duan, Institute of Modern Phys