毕业论文—初等变换的应用.doc

山东财经大学学士学位论文 山东财经大学本科毕业论文(设计)题目： 初等变换的应用The application of elementary transformation学 院 XXXXXXXXXX 专 业 XXXXXXXXXXXXXXX 班 级 XXXXXXX 学 号 XXXXXXXX 姓 名 XXXX 指导教师 XXXXXX 山东财经大学教务处制二一三年五月山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 年 月 日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日 年 月 日初等变换的应用摘 要初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法,而通常计算中使用最多的就是矩阵的初等行变换.本论文主要研究的是初等行变换在高等代数各方面的应用,讨论了初等变换在高等代数许多理论中的应用,如在多项式理论、矩阵理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等方面的应用.本课题将对矩阵的初等变换在高等代数中的应用进行系统地探讨,首先写出矩阵的初等变换的定义,然后对其相关的各方面的应用进行探讨.关键词：多项式；矩阵；线性方程组；向量空间；线性变换；二次型The application of elementary transformationABSTRACTElementary transformation is a very important thinking method in Higher Algebra, and usually the most used is the elementary row transformation of matrix in the calculations.This paper mainly studies the application of elementary row transformation in all aspects of Higher algebra, discusses the applications of elementary transformation in many theories of Higher algebra,such as in the polynomial theory,matrix theory, theory of linear equations, vector spaces, linear of transformation, the theory of quadratic form etc.This issue will make a systematic discussion of the application of elementary transformation of matrix in Higher Algebra, firstly write the definition of the application of elementary transformation of matrix, then explore the application of all aspects related to it. Keywords：polynomial；matrix；linear equations；vector spaces；linear of transformation；quadratic 目 录一 前言1（一）选课的背景1（二）论文的结构1二 初等变换的相关概念及结论1（一）初等变换的相关概念及性质11、初等变换的相关概念12、相关性质2（二）初等变换2三 初等变换的应用4（一）初等变换与行列式4（二）初等变换与矩阵的秩51、矩阵的秩的定义52、用初等变换求矩阵的秩5（三）初等变换与逆矩阵61、逆矩阵的相关定义62、用初等变换求逆矩阵6（四）初等变换与线性方程组71、初等变换求齐次线性方程组72、用初等变换求非齐次线性方程组8（五）初等变换在整数和多项式中的应用101、求两个整数的最大公因式、最小公倍数10 2、初等变换与多项式11（六）初等变换与矩阵方程131、当,可逆时线性矩阵方程的解132、当,不可逆时线性矩阵方程的解14（七）初等变换在向量组的线性相关性中的应用151、向量组的线性相关性15 2、初等行变换在求列项组的极大线性无关组中的应用173、列向量组的线性关系174、等价向量组的判定18（八）初等变换与方阵的特征值19（九）初等变换与矩阵对角化20（十）初等变换在化二次型为标准形中的应用23四 结语24参考文献26 一 前言（一）选课的背景本文主要总结了初等行变换在学习高等代数时有哪些应用,以及它在高等代数中的作用和地位.矩阵的初等变换起源于解线性方程组,是高等代数中的一个基本概念.由于矩阵的初等变换计算简洁,便于应用,是研究代数问题的一个重要工具.对如何巧妙地运用初等变换去解决高等代数中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果.之所以把初等行变换特别拿出来讨论,首先是因为它在整个科目中的无所不在的作用力.只要我们小小思考一下,不难发现,初等行变换几乎贯通整个高等代数.它是研究高等代数不可缺少的工具,换句话说,如果没有初等变换的存在,我们在高等代数中可以说是寸步难行.其次,初等行变换提供给我们在研究矩阵、行列式方面的另一个思考方向,开辟了另一个更广阔的空间.再次,初等行变换使得矩阵和行列式的运算更为直观又简便,符合数学领域的高追求,等等.（二）论文的结构归纳总结初等变换在高等代数中的一些基本应用并举例说明.通过对初等变换及应用的加以讨论加深对初等变换的理解,从而能更加灵活的运用初等变换解决一些具体的问题.本篇论文结构安排如下:（1）简单介绍初等变换的的研究背景及论文的结构安排.（2）总结归纳初等变换的相关概念及结论.（3）总结初等变换的应用领域,并举例说明.其中包括在矩阵的秩、逆矩阵、多项式、线性方程组、矩阵对角化、矩阵方程、向量组的线性相关性、二次型化为标准形等方面的应用.（4）总结本篇论文所存在的不足及初等变换的重要性,并归纳出初等变换法在求解各类题型中的一些优势.二 初等变换的相关概念及结论（一）初等变换的相关概念及性质1、初等变换的相关概念定义1【1】：矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：(1) 交换矩阵的两行(交换 ,两行,记作 )；(2) 以一个非零的数 乘矩阵的某一行(第 行乘数 ,记作)；(3) 把矩阵的某一行的 倍加到另一行(第 行乘 加到 行,记为 ）；把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换（相应记号中把 换成）.初等行变换与初等列变换统称为初等变换.注:初等变换的逆变换仍是初等变换,且变换类型相同.例如,变换 的逆变换即为其本身,变换的逆变换为,的逆变换为.定义2【1】：如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵,就称矩阵与矩阵等价,记作（或）.注：在理论表述或证明中,常用记号“”,在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”.一般地,称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:（1）零行（元素全为零的行）位于矩阵的下方；（2）各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说是其列表一定不小于行标）.一般地,称满足下列条件的矩阵为行最简形矩阵：各非零行的首非零元都是1；每个首非零元所在列的其余元素都是零. 一般地,矩形的标准形具有如下特点： 的左上角是一个单位矩阵,其余元素为0.2、相关性质 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：（1）反身性 ；（2）对称性 若,则；（3）传递性 若,则.定理1【1】：任一矩阵总可以经过有限次等行变换化为行阶梯形矩阵,并进而化为行最简形矩阵.定理2【1】：任一矩阵可以经过有限次初等变换,可以化为下列标准形矩阵 . 推论2【1】：如果为可逆矩阵,则矩阵经过有限次初等变换,可化为单位矩阵,即.（二）初等变换定义3【1】：对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵：（1） 互换两行（列）：（2）把某行（列）乘以一非零常数：其中（3）把第行（列）加上第 行（列）的 倍：初等矩阵及时将上述3种变换应用于一单位矩阵的结果.以下只讨论对某行的变换,列变换可以此类推.（1） 互换两行：这一变换 ,将一单位矩阵的第行的所有元素与第行互换. 性质：逆矩阵即自身：.因为单位矩阵的行列式为1,故. 与它相同大小的方阵 亦有以下性质：.（2） 把某行乘以一非零常数：这一变换 ,将第行的所有元素乘以一非零常数 . 性质：逆矩阵为 .此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵.其行列式 .故对于一等大方阵有 .（3）把第 行加上第行的 倍：这一变换,将第 行加上第行的倍. 性质：逆矩阵具有性质 . 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵. .故对于一等大方阵有. 注【1】：设是一个阶的矩阵,对做一次初等行变换,相当于矩阵左乘阶矩阵,对做一次初等列变换,相当于矩阵左乘阶矩阵.三 初等变换的应用（一）初等变换与行列式我们在计算行列式时,也经常会用到初等变换,只是它对变换的要求更严格一些.因为初等变换对矩阵来说,只要矩阵等价就能放心使用,而对行列式来说,不仅仅是要求等价,还有保证两个行列式值相等.所以,在行列式的计算中,初等变换有了一定的限制.以初等行变换为例,我们首先来看看,初等行变换在行列式的规定：性质1 行列互换,行列式不变.性质2 一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式.（如果行列式中有一行为零,那么行列式为零.）性质3 如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,这两个行列式除这以行以外全与原来行列式的对应的行一样.性质4 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质5 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零.性质6 把一行的倍数加到另一行,行列式不变.性质7 对换行列式中的两行位置,行列式反号.例：计算级行列式 解：这个行列式的特点是每一行有一个元素是,其余个元素是.根据性质6,把第二列加到第一列,行列式不变,再把第三列加到第一列,行列式也不变直到把第列也加到第一列,即得 ,把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍,就有这是一个上三角形的行列式,则有.一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形 .（二）初等变换与矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数值特征,是反映矩阵本质属性的一个不变的量.它在线性方程组等问题的研究中起着非常重要的作用.下面我们介绍一下矩阵秩的求解方法.1、矩阵的秩的定义如果矩阵中有一个不等于零的阶子式，而所有的阶子式（如果存在的话）全为0,那么为矩阵的一个最高阶非零子式.数称为矩阵的秩,记作或,并规定零矩阵的秩为0.由定义可得： （1）如,则中至少有一个阶子式，所有子式全为零阶,且更高阶子式均为零,是中不为零的子式的最高阶数,是唯一的. （2）有行列式的性质,. （3）如果为的方阵,且,则.反之,如,则.因此,方阵可逆的充要条件是. （4）,.2、用初等变换求矩阵的秩定理1【1】：的充要条件是中存在一个阶子式不为零,而所有高于阶的子式皆为零.定理2【1】：阶梯型矩阵的秩等于它的非零行元素的行数.定理3【1】：对矩阵施行初等行（列）变换,所得矩阵与原矩阵有相同的秩.推论：设是任一矩阵,、分别是阶、阶可逆（满秩）矩阵,则必有. 例：,求. 解： 所以. 求矩阵的秩方法：（1）利用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵. （2）数阶梯形矩阵非零行的行数即为矩阵的秩.（三）初等变换与逆矩阵 1、逆矩阵的相关定义 定义1【1】：阶方阵称为可逆的,如果有阶方阵,使得,这里是阶单位矩阵. 定义2【1】：矩阵同样适合,那么就称为的逆矩阵,记为. 定义3【1】：设是矩阵中元素的代数余子式,矩阵 称为的伴随矩阵. 定理1【2】：矩阵可逆的充要条件是是非退化的,而. 定理2【2】：设为阶可逆矩阵,为阶单位矩阵,若对阶矩阵做一系列初等行变换,使它变为,则. 定理3【2】：阶矩阵可逆的充要条件是可以表示为若干初等矩阵的乘积.2、用初等变换求逆矩阵初等矩阵是可逆的,且其逆矩阵仍是初等矩阵, ,.方阵可逆当且仅当为有限个初等矩阵的积.等价地说,可经过一系列初等行（列）变换化为单位矩阵： .由此得到用初等变换求,的方法： （1）用行初等变换求逆矩阵：. （2）用行初等变换求逆矩阵：. （3）用行初等变换求：. （4）用列初等变换求：.例：已知矩阵满足恒等式,求.解： 于是 .（四）初等变换与线性方程组 1、初等变换求齐次线性方程组定义：形如 （1）的线性方程组称为齐次线性方程组,也可记为,其中是上面方程组的系数矩阵,为所求未知量组成的列向量.定理：齐次线性方程组有非零解,即系数矩阵的秩小于方程组未知变量的个数.对于齐次线性方程组,判断其解有方法：个方程的元齐次线性方程组有非零解的充要条件是.推论：线性方程组有非零解的充要条件是.例：求齐次线性方程组的一个基础解系. 解： 方程组的系数矩阵,对其进行初等行变换,使其成为阶梯形,得 （1）因为,故原方程组有非零解.由（1）得原方程组的同解方程组所以,求得原方程组的基础解系为 , . 2、用初等变换求非齐次线性方程组 定义：形如 （2）的线性方程组称为非齐次线性方程组,也可记为,其中是上面方程组的系数矩阵,为所求未知量组成的列向量.定理【3】：非齐次线性方程组（2）有解的充分必要条件为它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩.对应的齐次线性方程组是非齐次方程组（2）的导出组.非齐次方程组（2）的通解由它的齐次方程组的解和它的一个特解表示.定理：如果是方程组（2）的一个特解,是其对应的齐次方程组的解,那么非齐次方程组（2）的任一解都可以表成 （*）,因此对于方程组（2）的任一个特解,当取遍它的导出组的全部解时,（*）就给出（2）的全部解.判断非齐次线性方程组的解有如下方法：元线性方程组：（1） 有解的充要条件是；（2）有唯一解的充要条件是；（3）有无穷多解的充要条件是(其中为的增广矩阵).注：（1）的逆否命题为：线性方程组无解的充要条件是.一般地,对于一个元线性方程组,当它的系数行列式不为零时,只要对方程组的增广矩阵施以适当的行初等变换,使它成为以下形式：那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解,即,.例：求非齐次线性方程组的通解.解：原方程组的增广矩阵为,利用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形,则故,所以方程组有解而且有唯一解.（五）初等变换在整数和多项式中的应用1、求两个整数的最大公因式、最小公倍数在初等数论中,要求两个整数,的最大公因数、最小公倍数通常是先求两整数的标准分解式,在此结果上再求,的最大公因数、最小公倍数.这种方法的弊端是当,的绝对值较大时,对它们进行标准分解是非常复杂的.下面介绍一种矩阵求法, 即应用矩阵初等变换的方法来求两个整数,的最大公因数、最小公倍数.命题1【4】：:设,，,则存在整数矩阵,且,使得,其中,.证明：由,则存在,使.若令,则,.记,则,.从而可以构造整数矩阵,.命题2【4】：矩阵左（右）乘一个可逆的整数矩阵相当于对进行一系列的整数行（列）初等变换.由命题1、命题2可得出求两整数,的最大公因式与最小公倍数的矩阵求法：构造矩阵,对实施整数初等变换,把化成阶梯形矩阵,则为最大公因式,为最小公倍数.例：已知,求,.解：如前述方法构造矩阵,并对其实施整数初等变换： 所以有,.命题3【4】：设是个不全为0的整数,它们的最大公因数,则存在可逆方阵,使得.由命题3 可得求的最大公因数的方法：在行向量 下方添加一个 阶单位阵,构成 阶矩阵,对实施整数初等列变换直到其第一行化为,则其下方的单位阵便化成了可逆方阵,即 .例：求230,1140,1870的最大公因式.解：如前述方法构造矩阵,并对其实施整数初等变换： 所以有. 2、初等变换与多项式把命题1加以推广,可以得到多项式的最大公因式、最小公倍数的矩阵初等变换求法.命题4【4】：设,是 中的非零多项式,若,存在可逆的多项式矩阵使得,其中,.证明：由, 是 中的非零多项式,则存在,使得.令,其中,为,的首项系数.则有 ,而 .所以可逆,命题得证.命题5【4】：每个可逆的多项式矩阵可以表示为一些初等多项式矩阵的乘积,而对一个多项式矩阵左乘一个初等多项式矩阵相当于对该多项式实施一次初等行变换.据命题4及命题5可得多项式的最大公因式与最小公倍数的求法：由已知的,构造多项式矩阵,对实施初等行变换化为上三角矩阵,其中,的首项系数为1.则分别是,的最大公因式与最小公倍数.例：已知,求,的最大公因式与最小公倍数.解：如前述方法构造矩阵,并对其实施整数初等变换： 所以,.（六）初等变换与矩阵方程1、当,可逆时线性矩阵方程的解我们知道的解为.实际上就是计算的矩阵乘积,因为, 所以经过行初等变换可使化为,也即对矩阵作初等行变换,当处变成单位矩阵时,处得到的矩阵就是.例：求解矩阵方程,其中 ,.解: . 因此 . 2、当,不可逆时线性矩阵方程的解当,不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程.定理 1【5】：如果矩阵方程有解,且可逆矩阵使,那么该矩阵方程的通解为,其中为的前行组成的矩阵,中的元素可以任意取值. 以上定理可给出求解矩阵方程的具体方法:（1）把,放到一起,组成一个矩阵,然后对其做初等行变换,使得经过行变换后得到矩阵,其中是上阶三角矩阵,从而可确定矩阵和矩阵的秩,判断方程是否有解,同时取的前面行作成,它满足,且为的前行. （2）如果上述方程有解,则对作初等列变换.经过列变换后变成其中,必有.（3）从而由定理1可知,的通解公式为.例：设,求矩阵方程的通解.解：根据求解矩阵方程的步骤,首先将放到一起,组成一个矩阵,如下: .然后对其作一系列初等行变换,使得为上三角矩阵, 即.很明显,矩阵和矩阵的秩都是2,故该方程有解.取=,有=,接下来对作初等列变换,经过列变换后我们可得到.从而,由定理1知,该方程的通解为,其中是任意的矩阵.矩阵方程的通解公式和解法与上面类似,应用矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点,不但通俗易懂,而且容易掌握.（七）初等变换在向量组的线性相关性中的应用1、向量组的线性相关性 在求列向量的极大线性无关组前，我们先了解向量组的线性相关性：矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,维行向量组可以排列成一个分块矩阵,其中为由的第行形成的子块,称为的行向量组.维列向量组可以排成一个矩阵,其中为由的第列形成的子块,称为的列向量组.定义1：向量组称为线性相关的,如果有不全为零的数,使.反之，如果只有在时上式才成立,就称线性无关.当 是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的矩阵使 . 当为列向量时,它们线性相关就是指有非零的矩阵,使 .定义2：向量称为向量组的一个线性组合,或者说可由向量组线性表出,如果有常数,使 也记.也可用矩阵形式表示：若所给向量均为行向量,则有 . 若所给向量均为列向量,则有 . 2、初等行变换在求列项组的极大线性无关组中的应用例：已知一个列向量组,求其极大无关组.解：设则运用初等行变换将矩阵化成阶梯形,将阶梯形矩阵的列向量组中线性无关的列向量取出,则所得到的列向量组则为原向量组的极大无关组.即本题所求的极大无关组为：.3、列向量组的线性关系判定一个列向量组的线性相关性,可以通过将列向量组合成一个矩阵,再求此矩阵的秩：若所求得的秩小于原列向量组的向量个数,则原列向量组线性相关；若所求得的秩等于原向量组向量的个数,则原向量组线性无关. 例：设已知一个列向量组,求它的线性相关性.解： 设,则对其进行初等行变换将其化为阶梯形, 则求得.故合成矩阵的秩等于列向量组的向量个数,所以此列向量组是线性无关的. 4、等价向量组的判定定义：如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出,它们就称为等价.定义：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.推论：任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价,所以,等价的向量组必有相同的秩.由以上定义和推论,我们可以得出这样一个结论： 当和是等价的向量组. 显然,判定向量组之间是否等价可以运用初等行变换求得各个合成矩阵的秩,然后判定得是否相等,若相等则等价,否则不等价.例：判定向量组,和,是否等价.解：设,则对矩阵,进行初等行变换,得到它们的秩： ；故 ；故 ；故所以,.由上面的结论可知,向量组和是等价向量组.（八）初等变换与方阵的特征值定义1【1】：设是阶矩阵,如果数和维非零列向量使关系式成立,则称数为矩阵的一个特征值,非零列向量称为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量.定义2【1】：设是数域上一阶矩阵,是一个数字.矩阵的行列式称为的特征多项式,这是数域上的一个次多项式.定义3【1】：设,是两个阶矩阵,如果存在上的阶可逆矩阵,使得,则称相似于,记作.定理1【1】：若阶矩阵与相似,则与的特征多项式相同,从而与的特征值亦相同.定理2【1】：任一个阶复矩阵都相似于一个上三角矩阵.在高等代数中,求一个阶矩阵的特征值时.常用的方法是求解的特征多项式的根.而当比较大时,若中的元素含非零元素比较多,这时求特征多项式有时也比较复杂.进一步,即使是我们求出的特征多项式,但当比较大时,比如时,是一个一元高次方程,没有具体的求根公式,求解根往往比较困难.但是我们都知道,相似矩阵具有相同的特征多项式,因而具有相同的特征值.所以我们也可以将其转化为相似矩阵来求解.求矩阵的特征值可用初等变换的方法按如下步骤进行【6】：（1）对矩阵进行成对的行初等变换和列初等变换.在对进行初等变换时,若对交换两行,则必须同时交换两列；若把第行元素成一个非零数,则必须同时把的第列元素乘一个数；若把的第行元素的倍加到第行,则必须同时把的第列元素的倍加到第列.（2）按照第一的规则进行,可以把矩阵化为上三角矩阵,而相似于矩阵,所以的主对角上的元素就为所求的矩阵的特征值.例：设矩阵,求矩阵的特征值. 解：对矩阵做相似变换, 所以矩阵的特征值为-3，-1,7,1.（九）初等变换与矩阵对角化如果数域上,对阶矩阵存在一个可逆矩阵使 为对角形矩阵,则称矩阵在数域上可对角化；当可对角化时,我们说将对角化,即指求矩阵使 为对角形矩阵.若矩阵在数域上可对角化,则有上可逆矩阵使为对角形矩阵.于是的对角线上的元素即为的全体特征值,并可表示为,其中为初等矩阵,.于是,又也是初等矩阵,由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系,即知相当于对实施了一次初等行变换与一次初等列变换,称此种初等变换为对实行了一次相似变换.显见,可对实行一系列的相似变化为.又由,可如下进行初等变换,则可将化为对角形矩阵,且可求得:,对只施行其中的初等列变换.当不可对角化时,也可经过相似变换化简为后,求得其特征值,判断它可否对角化.类似地,可由,作如下初等变换,则可将化为对角形矩阵,可求得或由求的特征值,判定可否对角化：,对只施行其中的初等行变换.并且在施行相似变换时,不必施行一次行变换后接着施行一次列变换,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应列（或行）变换,只要保持变换后所得的矩阵与相似即可.而当不宜用相似变换化简判定时,可先求出特征值,再用相似变换.定理1【1】：为阶对称矩阵,则必有正交矩阵,使得,其中是以的个特征值为对角元的对角阵.定理2【1】：,是对称阵的两个特征值,是对应的特征向量,若,则与正交.推论1：为阶对称矩阵,是的特征值方程的重根,则矩阵的秩,从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.根据定理及结论,我们有下述把对称阵对角化的步骤【7】：（1） 求出全部互不相等的特征值,它们的重数依次为.（2）对每个重特征值求方程的基础解系,则得个线性无关的特征向量,再把它们正交化、单位化得个两两正交的单位特征向量.因,故可得个两两正交的单位正交向量.（3）把这个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,使得（注意中对角元的排列顺序应与中列向量的排列顺序相对应）.例：判定是否可对角化,若可以,将其对角化.解：（1）用初等变换求解： 由上式知,可对角化.且取 ,则.（2）利用上述定理及结论求解： 知的特征值是4,6，-1，-1.解齐次线性方程组得一基础解系,解齐次线性方程组得一基础解系,解齐次线性方程组得一基础解系,.于是可知,可对角化,且取 ,则.（十）初等变换在化二次型为标准形中的应用对任意二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化为标准形,即为对称矩阵找一个可逆矩阵,使得为对角矩阵,而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积,所以存在初等矩阵有,从而有是一个对角矩阵.由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤