高等数学(下册)D101对弧长和曲线积分.ppt

第十章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 都存在, 上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数 ， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 3. 性质 （k 为常数) ( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路:计算定积分 转 化 定理: 且上的连续函数, 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L 的方程为则有 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算半径为 R ,中心角为的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算曲线积分 其中为螺旋 的一段弧. 解: 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 例5中 改为 计算 解: 令, 则 圆的形心 在原点, 故 , 如何 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 计算其中为球面 解: 化为参数方程 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 有一半圆弧 其线密度 解: 故所求引力为 求它对原点处单位质量质点的引力. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 定义 2. 性质 ( l 曲线弧 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 已知椭圆周长为a , 求 提示: 原式 = 利用对称性 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 (常数). (2) L的质量 而 (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故重心坐标为 作业 P131 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 提示: 分段积分 机动 目录