《积分学习的总结》word版.doc

学数学最好的方法就是做数学 积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: 2.定义域:一维区间,例如 3.性质:见课本P229-P232 特殊:若,则,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负); 其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等. 三、二重积分 1.定义式: 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P77 特殊: 若,则,即为的面积.4.坐标系: 直角坐标系:型区域,型区域 极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;6.几何应用:二重积分的几何意义:若,则表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;其他应用:求曲面的面积四、三重积分1.定义式2.定义域:三维空间区域;3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若,则,其中表示的体积.4.坐标系: 直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) 柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; 球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后 . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: 表示密度,则为物体质量.(不考虑几何意义)五、第一类曲线积分1.定义式:(二维) (三维)2.定义域:平面曲线弧 空间曲线弧3.性质:见课本P128 特殊: 则,表示曲线弧长.4.计算公式(二维为例): 类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;6.几何应用:见上3.六、第二类曲线积分1.定义式: (二维) (三维)2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)3.性质:见课本P1354.计算公式: 注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.不能使用奇偶对称性.6.应用:力做功.七、第一类曲面积分1.定义式: 2.定义域:空间曲面 注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似 特殊: 则,表示曲线面积.4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式. 注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.6.几何应用:见上3.八、第二类曲面积分1.定义式2.定义域:有向空间曲面3.性质:见课本P1624.计算公式: ,类似可得另两个.5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封闭.6.应用:求流量,磁通量等.奇偶对称性:定积分:若积分区间关于原点对称,例如 若关于为奇函数,则若关于为偶函数,则 二重积分:若积分区域关于轴对称,记为的部分若关于为奇函数,则若关于为偶函数,则同样可以得到积分区域关于轴对称时, 关于为奇、偶函数的公式.三重积分: 若积分区域关于面对称,记为的部分若关于为奇函数,则若关于为偶函数,则同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况.例题:P123#1(1)(2) P124#2(4)第一类曲线积分:若积分曲线关于轴对称,记为的部分若关于为奇函数:若关于为偶函数:同样可以得到曲线关于轴对称的情况. 第一类曲面积分:若积分曲面关于面对称,记为的部分,若关于为奇函数:若关于为偶函数:同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况.例题:课本P158#6(3),P184#2变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用， 使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如等,此时 例题1:其中为球面被平面所截的曲线.例题2: 其中为球面 循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且中依次替换,即后积分表达式不改变