【数学】3.1.1 椭圆及其标准方程 课件2(北师大版选修2-1).ppt

第三章第三章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 在生活中，还有另外一种曲线比较常见 ，例如 运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线 引 言 数 学 实 验 通过图片已经知道了椭圆的形状，能否 动手画一个椭圆呢？ 先回忆圆的画法：平面内，到定点的 距离等于定长的点的轨迹就是圆. 如果把这一个定点分裂成两个定点，会 画出什么图形呢？ 数 学 实 验 1.取一条定长的细绳； 2.把它的两端固定在图纸上的两点F1、F2； 3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢 移动，看看能画出什么图形？ 请同学们按照下列操作，动手画一画： 根据刚才的实验请同学们回答下面 几个问题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是 固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有 ？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距 离大小有怎样的关系？ 数 学 观 察 思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆 是怎样定义的？ 数 学 归 纳 椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和 等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆. 两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距. 数 学 推 理 根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？ 先来回忆：求曲线的方程的基本步骤 （1）建系设点;（2）写出点集； （3）列出方程； （4）化简方程； （5）检验 第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 数 学 推 理 想一想：圆的最简单的标准方程，是以 圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴， 椭圆是否可以采用类似的方法呢？ Ox y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分 别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2 的 距离的和等于2a (2a2c0) 请同学们自己完成剩下的步骤，求出 椭圆的方程. 数 学 推 理 解：以焦点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) . x F1F2 M 0 y 由椭圆的定义得： 因为 方案一 数 学 推 理 整理得 两边再平方，得 移项，再平方 数 学 推 理 数 学 推 理 它表示焦点在y轴上的椭圆 它表示焦点在x轴上的椭圆 1 o F y x 2 F M 12 y o FF M x 数 学 归 纳 椭圆的标准方程有哪些特征呢？ 椭圆的标准方程的特征： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （3）椭圆的标准方程中a、b、c满足a2=b2+c2 （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; 数 学 归 纳 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .求它的标准方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设 它的标准方程为 由椭圆的定义知 例 题 演 练 例 题 演 练 又因为 ,所以 因此, 所求椭圆的标准方程为 所以 思考？能用其他方法求它的方程么？ 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它 的标准方程为: 联立, 因此, 所求椭圆的标准方程为: 又焦点的坐标为 例 题 演 练 1.已知F1、F2是椭圆 的两个焦点， 过F1的直线交椭圆于M、N两点，则三角形 MNF2的周长为 . 课 堂 练 习 20 2.已知椭圆的两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0), 且过P(2,3)点，求椭圆的方程 . y o F1 F2 M x N 图 形 方 程 焦 点 F(c，0) F(0，c) a,b,c之间的 关系c2=a2-b2 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 定 义 12 y o FF M x 1 o F y x