控制系统的数学模例题精解.ppt

控制系统的数学模型 例题精解 例题精解 例2.1 弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系 统的运动方程。 解： （1）设输入为 ，输出为 ， 弹簧与阻尼器并联平行移动。 （2）列写原始方程式。由于无质 量，按受力平衡方程，各受力点任何时 刻均满足F=0，则对于A点有 yry0 其中，F阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。 （3）写中间变量关系式 图2.1 机械位移系统 K1 K2 A yr y0 （4）消中间变量得 （5）化标准型 式中， 为时间常数，单位（秒）； 为传递 系数，无量纲。 例2.2 已知单摆系统的运动如图2.2所示。 （1）写出运动方程式； （2）求取线性化方程。 解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆 角，摆球质量为m。 （2）由牛顿定律写原始方程 式中， l 为摆长； l 运动弧长；h为空气阻力。 （3）写中间变量关系式 式中，为空气阻力系数 ； l d d t 为运动线速度。 mg l h 图2.2单摆运动 l （4）消中间变量得运动方程式 此方程为二阶非线性齐次方程。 （5）线性化。在=0附近，非线性函数sin ，故代入上式可得线性化方 程为 例2.3 已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。 f J M 图2.3 机械旋转系统 解：（1）设输入量为作用力矩M，输 出为旋转角速度。 （2）列写运动方程式 式中，f为阻尼力矩，其大小与转速成正比。 （3）整理成标准形为 此为一阶线性微分方程，若输出变量改为，则由于= d d t ， 代入方程得 二阶线性微分方程式 例2.4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是 稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾 倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力 u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程 式。 解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角。 （2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为 ，于是 画出系统隔离体受力图如图2.5所示。 o u 图2.5 隔离体受力图 y M x l l A mg V V HH l cos o 图2.4 倒立摆系统 y u x mg l l P M A 式中，J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。 摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为 摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为 即 （2.1） （2.2） 即 摆杆围绕中心A点转动方程为 小车沿x轴方向运动方程式为 （2.3） （2.4） 方程（2.1）（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sin和c o s 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 （3）当很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知sin ，同理 可得到c o s 1。则方程式（2.1）（2.4）可用线性化方程表示为 用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V 、 H、x得 将微分算子还原后得 此为二阶线性化偏量微分方程。 例2.5 RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求 传递函数Uc2（s）/Ur（s）。 u r uc2 R1R2 i1i2 C1C2 图2.6 RC无源网络 解： 在线性电路的计算中，引入了复 阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗 之间的关系满足广义的欧姆定律。即 如果二端元件是电阻R、电容C或电感L， 则复阻抗Z（s）分别是R、1/Cs或Ls。 （1）用复阻抗写电路方程式： （2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7 （a）、（b）。 （3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。 （4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。 独立回路有三个： 回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则 由上可写出特征式为 前向通路只有一条 由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为 代入梅逊公式得传递函数 图2.7（a ） + + + + 图2.7（c） + + 图2.7（b） + 图2.7（d） 图2.7（e ） 例2.6 有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得 的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。 解：图2.8中Z i和Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗 ，A点为虚地，即UA 0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是 I1=I2 则有 故传递函数为 对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对 于图2.9所示PI调节器，有 故 + Z f Z i i1 i2 u i u c 图2.8 有源网络 u c + u iR1 R2 C 图2.9 PI调节器 例2.7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知 （0）=0， （0）=3。 . 解：对方程两端取拉氏变换为 代入初始条件得到 解出X（s）为 反变换得时域解为 例2.8 已知系统结构图如图2.10所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s） 。 解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。 如图2.11（a）所示。 （2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（b）。 （3）最后将两个方框串联想乘得图2.11（c）。 G1 G2 H + + + + C（s）R（s） 图2.10 系统结构图 G1 H + + + G2 G1 R（s）C（s） ( a ) G1 1+G1H 1+ G2 G1 R（s） C（s） (b) G1+G2 1+G1H R（s）C（s） (c ) 图2.11 系统结构图的简化 例2.9 已知系统结构图如图2.12所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s） 。 G1G2 + + + + R（s）C（s） 图2.12 系统结构图 解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。 （2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。 （3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（c）。 + + + +G1G2（a） + +G2G1+1 R（s） R（s） C（s） C（s） G1G2+G2+1 R（s）C（s） （b） （c） 图2.13 系统结构图化简 例2.10 已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示， 试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。 i y 0 F1 F F2 1 2 k1 k2 （ a ） R1 R 2 i i1 i 2 e i e 0 （b） C1 C2 图2.14 系统结构图 （ a ） 机械系统（b）电气系统 解：（1）列写 图2.14 （a）所示 机械系统的运动方 程，遵循以下原则 ：并联元件的合力 等于两元件上的力 相加，平行移动， 位移相同。串联元 件各元件受力相同 ，总位移等于各元 件相对位移之和。 微分方程组为： 取拉氏变换，并整理成因果关系有 ： 画结构图如图2.15。 + + + + + s 1 1 s 2 k 1 1 k 2 i 0 0F Y 图2.15 机械系统结构图 求传递函数为： (2)列写图2.14（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，所遵循的定律 与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元 件电流相等，总电压等于各元件分电压之和。可见，电压与位移互为相似量， 电流与力互为相似量。 运动方程可直接用复阻抗写出： 整理成因果关系 ： 画结构图如图2.16所示 。 + + + + + C s 1 R2 1 R2C s 2 1E i E0 I E0 EC 2 图2.16 电气系统结构图 求传递函数为 对上述两个系统的传递函数，结构图进行比较后可以看出，两个系统是 相似的。机电系统之间相似量的对应关系见下表。 机械系统 电气系统 i ei 0 e 0 y e C2 F i F 1 i 1 F 2 i 2 k1 1/R1 1/k 2 R 2 1 2 C1C2 例2.11 RC网络如图2.17所示，其中u1为网络输入量， u2为网络输出量。 （1）画出网络结构图； （2）求传递函数U2（s）/U1（s）。 解：（1）用复阻抗写出原始方程组。 输入回路 输出回路 中间回路 （2）整理成因果关系式。 由输入回路得 由中间回路得 由输出回路得 即可画出结构图如图2.18所示。 u 1u2 i2 i1 C1 C2 R1R2 图2.17 RC网络 + + + + + R 2 u1 u2 I1 I2 C s 1 R C s+1 21 R 1 1 C s 2 1 图2.18 网络结构图 （3）用梅逊公式求出 例2.12 已知