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第三讲 无约束条件优化问题（目标均衡问题） 经济学是研究选择的科学。（利润最小化、成本最小化、效用最大化、厂商或一国经济增长率最大化），在经济学中，我们可以把最大化问题与最小化问题归为最优化问题。最优化的实质就是求出那些能够使目标函数达到极值的选择变量值的集合。一、 函数极值的定义设是定义在D上的函数，若存在的一个邻域，使得（1）；（2）当时，有或则称在点取极大（或极小）值，并称为的一个极大或极小值点。若不等式严格成立，则称为的一个严格极大或极小值点。函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 最大值与最小值：如果对定义域中的所有点都有或，则为的一个最大或最小值点。注意：1、是否为的极值点只和的足够小的邻域中的定义有关，和在这个邻域外的定义无关。所以为的一个极值点是的一种局部性质。而最大值与最小值是一种整体性质。要求出最大值或最小值，只要先求出所有极值与端点值，然后选择他们中最大或最小的一个即可。2、一般来讲，可以有许多极值点。对的每一个极值点，是的极值。但这并不等于说，若是的极值，且，则必是的极值点。实际上当是的极值时，我们只能断言必存在一个极值点，使得。二、 极值的必要条件（费马定理）为的一个极值点，且在可导（把尖点，导数不存在的点排除了），则为的一个极值点（稳定点，或临界点）的必要条件是： （注意：该条件只是必要条件，但不是充分条件。如我们书中307面的图9。3中的拐点。拐点处的导数可能等于零，也可能不等于零。导数为零，尽管是极值的必要条件，但并不是拐点的必要条件，因为在拐点处，导数既可能为零，也可能不为零。拐点可以用曲线弯曲方向的变化来表示拐点。拐点的特征是，导函数达到极值。）三、 极值的充分条件：（一）利用在该点导数符号的变化若在处的一阶导数等于零，在函数在的值将是：（1）当从的左边增至的右边时，若由正变为负，则存在极大值。（2）当从的左边增至的右边时，若由负变为正，则存在极小值。（3）当从的左边增至的右边时，若的符号不变，则既不是极大值也不是极小值。（拐点）（注意；导数为零的点为临界点或稳定点。其值称为稳定值。极值一定是稳定为稳定值。但是稳定值即可能是极值，也可能是拐点。） 例题：求函数的相对极值。作业：令为一总函数，如总生产函数、总成本函数等：(a) 写出边际函数M和平均函数A的表达式(b) 证明：当A达到相对极值时，M和A的值必相同(c) 上述结论对在同一图形中绘出边际曲线与平均曲线有什么一般原则意义？（二）二阶充分条件（利用凹凸性）若在处的一阶导数等于零，并且在该点，则函数在点的函数值为极大值。若在处的一阶导数等于零，并且在该点的，则函数在点的函数值为极小值。当时，稳定点可能是极大值点，也可能是极小值点，还可能是拐点。（例如第一图中拐点，其稳定点所对应的二阶导数是零。）注意：和是极大极小的充分条件，但不是必要条件。因为在极点处有可能为零。例如函数，它是凸函数，但在处，例题：三次成本函数与边际报酬递增。某厂商有如下的总成本与总需求函数： （1） 写出以Q表示的总收益函数（2） 列出以Q表示的总利润函数（3） 求出利润最大化的总产出（4） 最大利润是多少？ （三）N阶充分条件关于麦克劳林级数（在点处的展开）与泰勒级数（在点附近的展开）所谓展开函数是指把此函数变换成一个多项式，其中各项系数均以在展开点处的导数来计算其值。1、 多项式的麦克劳林级数2、 多项式的泰勒级数3、 任意函数的展开定理：设在a,b上有直到N阶导数，在（a,b）存在（N+1）阶导数，则对任意，有：4、极值的N阶导数检验如果在的一阶导数，如果在各