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数列解答题集锦 三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）.已知函数的图象关于点对称.()求实数的值;()若数列,满足,求数列的通项公式;()记若恒成立,求的最小值.解（）； 的图象关于点对称， -4分（），； 又，；化简得； -6分； 数列是首项，公比为的等比数列；， -9分() ； ； M的最小值为 -14分2.设关于x的一元二次方程（）有两根和，且满足.（1）试用表示；（2）求证：数列是等比数列；（3）当时，求数列的通项公式.解:（1）（2）略（3）3. （1）求数列的通项公式.（2）求的通项公式.解:(1)设等比数列的公比为,则又所以 所以又且所以所以所以.(2)设等比数列的公比为,则又所以 所以又且所以所以设,而为等比数列所以 =4. (本小题共14分) 已知二次函数，其中。（）设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列； （）设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和解: （）由二次函数的对称轴为得 对且，有 为等差数列。 （）由题意，即 当时， 当时， 5.（本小题满分14分） 对于数列an，定义an 为数列an的一阶差分数列，其中 （）若数列an的通项公式的通项公式； （）若数列an的首项是1，且满足， （1）证明数列为等差数列； （2）求an的前n项和Sn 5解：（I）依题意 （3分） （II）（1）由 （6分） 即 是以为首项，为公差的等差数列（8分） （2）由（1）得（10分） 得 （14分）6.设等差数列的前项和为，且，。数列满足，求数列的通项公式；设，求证：是等比数列，且的通项公式；设数列满足，求的前项和为解:（1）由， 得， （2）， 是以2为公比的等比数列又 （3）+（）7.设为等比数列，,已知，（1）求数列的首项和公比； （2）求数列的通项公式。解：(1)设公比为,所以(2) 2-得：8数列满足 证明：数列是等比数列； 令，求数列的前n项和。解： 有已知得 故数列是以为首项，为公比的等比数列 由知， 数列是以为首项，为公差的等差数列 9（14分）已知：在曲线 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn的前n项和为Tn，且满足，设定b1的值，使得数列bn是等差数列； （3）求证：解：（1）由于 （2） 此时数列bn是等差数列10 （3） 10（12分）已知数列an的前n项和Sn满足Sn+1=KSn+2,又a1=2,a2=1. （1）求k的值； （2）求Sn； （3）已知存在正整数m、n，使成立，试求出m、n的值.解：（1）S2=KS1+2 a1+a2=Ka1+2. 又a1=2，a2=1，K=2 （2） n2时，Sn=Sn1+2 ，得4又a2=a1，an0（nN*）是等比数列，公比为7 （3）不等式 整理得9 存在正整数m，n使得上面的不等式成立，由于2n为整数，4m为整数， 则只能2n(4m)=41011.（本题满10分）（2006年湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为.数列的前项和为，点均在函数的图像上.（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使(1)（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。12一个计算器装置有一个数据入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：从A口输入时，从B口得；当时，从A口输入，从B口得的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数，试问：（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？（2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？说明理由。解：（1）所以，从A口输入2、3时，从B口分别得到（1） 由（1）及题意可知： ， 13（本小题满分14分） 设等比数列的公比为，前项和。（1） 求的取值范围；（2） 设，记的前项和为，试比较和的大小。解：解：（）因为是等比数列，当上式等价于不等式组： 或 解式得q1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1q). (6分) (2) b n = 2n1, (i) 当n = 1时, 左= 2, 右= 2, 不等式成立. (8分) (ii) 设n = k时, 不等式(1 +)(1 +)(1 +)成立, 则n = k + 1时 (1 +)(1 +)(1 +)(1 +)(1 +) = =. (13分) 即n = k + 1时, 不等式也成立. 综合(i) (ii)知不等式对任意nN*均成立. (14分)20.（本题满分16分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题5分）设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f (n)(nN*)求f (1)、f (2)的值及f (n)的表达式；记Tn，若对于一切正整数n，总有Tnm成立，求实数m的取值范围；设Sn为数列bn的前n项和，其中bn，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n，t；若不存在，说明理由解:f (1)3，f (2)6（2分）当x1时，y2n，可取格点2n个；当x2时，yn，可取格点n个f (n)3n（5分）Tn，（7分）当n1时，1，当n2时，1，当n3时，1T1T2T3T4Tn故Tn的最大值是T2T3（10分）m（11分）bn8n，Sn（8n1）（12分），即08n1157t8n8n117t8n8n1157t8n0且8n117t8n0故t（*）（13分）由n1， 1（1，2）当n2时，1（1，2），不存在满足（*）式的正整数t当n1时，当t1时（*）式成立综上，存在满足条件的正整数：n1，t1 （16分）21（本小题满分12分）德州 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(nN*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式； （2）设bn=2nf(n)，Sn为bn的前n项和，求Sn； （3）记，若对于一切正整数n，总有Tnm成立，求实数m的取值范围.解:（1）f(1)=3（1分） f(2)=6（2分） 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 f(n)=3n（4分） （2）由题意知:bn=3n2n Sn=321+622+923+3(n1)2n1+3n2n（5分） 2Sn=322+623+3(n1)2n+3n2n+1Sn=321+322+323+32n3n2n+1 =3（2+22+2n）3n2n+1 =3（7分） =3(2n+12)3nn+1Sn=(33n)2n+16Sn=6+(3n3)2n+1（8分） （3）（9分） T1T4Tn 故Tn的最大值是T2=T3= m（12分）22.由坐标原点O向函数的图象W引切线l1，切点为（P1，O不重合），再由点P1引W的切线l2，切点为（P1，P2不重合），如此继续下去得到点列。 （I）求x1的值； （II）求xn与满足的关系式； （III）求的值。解：（I） 5分 （II） 由已知得10分 （III） 14分23.（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，满足关系 （）求证：数列是等比数列； （）设数列的前n项和为Tn，且，求证：对任意正整数n，总有 （）在正数数列中，设，求数列中的最大项.(）解： 1分，得 3分数列是2为首项，2为公比的等比数列.5分 （）证明：对任意正整数n，总有6分9分 （）解：由令在区间（0，e）上，在区间为单调递减函数.12分又14分24已知函数f(x)=a1x+a2x2+anxn(nN*)，且a1，a2，a3，an构成数列an，又f(1)=n2（1）求数列an的通项公式；（2）求证：解:（1）由题意：f(1)=a1+a2+an=n2，(nN*)n=1时，a1=1n2时，an=(a1+a2+an)-(a1+a2+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1对nN*总有an=2n-1,即数列an的通项公式为an=2n-1.(2) 25.已知f(x)在（1，1）上有定义，f()=1，且满足x,y(1,1)有f(x)+f(y)=f()（）证明：f(x)在（1，1）上为奇函数；（）对数列x1=,xn+1=,求f(xn);（）求证（）证明：令x=y=0，2f(0)=f(0),f(0)=0令y=x,则f(x)+f(x)=f(0)=0f(x)+f(x)=0 f(x)=f(x)f(x)为奇函数 ()解：f(x1)=f()=1，f(xn+1)=f()=f()=f(xn)+f(xn)=2f(xn)=2即f(xn)是以1为首项，2为公比的等比数列f(xn)=2n1()解： 而 五、解答题（共29题）2.如果数列中,相邻两项和是二次方程=0(n=1,2,3)的两个根,当a1=2时,试求c100的值.解:由根与系数关系, =3n,则()()=3,即=3.a1,a3,a5和a2,a4,a6都是公差为3的等差数列,由a1=2,a1+a2=3,a2=5.则=3k2,a100=152, =3k5,a101=148,c100= a100 a101=224963.有两个各项都是正数的数列,.如果a1=1,b1=2,a2=3.且,成等差数列, ,成等比数列,试求这两个数列的通项公式.解:依据题设条件,有由此可得=.0,则2。是等差数列.=.又 =,=4陈老师购买安居工程集资房7m2,单价为1000/ m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清。如果按年利率的7.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759 1.921,1.075102.065,1.075112.221) 解:设每年付款x元，那么10年后第一年付款的本利和为a1=1.0759x元。第二年付款的本利和为a2=1.0758x元。依次类推第n年付款的本利和为an=1.07510-nx元。则各年付款的本利和an为等比数列。10年付款的本利和为S10=。个人负担的余额总数为721000-28800-14400=28800元。10年后余款的本利和为188001.07510 解得x=5某地今年年初有居民住房面积为a m2,其中需要拆除的旧房面积占了一半当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？ （2）依照(1)拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？ 下列数据供计算时参考：1.19=2.381.00499=1.041.110=2.601.004910=1.051.111=2.851.004911=1.06解：（1）设今年人口为b人，则10年后人口为b(1+4.9)101.05b,由题设可知，1年后的住房面积为2年后的住房面积为3年后的住房面积为10年后的住房面积为由题设得 ，解得 （2）全部拆除旧住房还需答：（1）每年拆除的旧住房面积为（2）按此速度全部拆除旧住房还需16年另外：设今年为第一年，第n年年底的住房面积为an，由题意知a1=1.1a-x,当n2时an=1.1an-1-x，an-10x=1.1(an-1-10x) ,an-10x为等比数列。a10-10x=(a1-10x)1.19，同样可以求解此题。（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，数列中，点在直线上（I）求数列的通项和；(II) 设，求数列的前n项和，并求满足的最大正整数解（1） . （II）（本题满分12分）甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡：（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.请你根据提供的信息解答下列问题：（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？（2）哪一年的规模最大？为什么？解：（1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，由图（B）可知：=30，且点在一直线上，所以， 3分由图（A）可知：且点在一直线上，所以，=（万只），（万只）第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；6分（2）由（万只），第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只. 12分（本题满分14分） 对于函数，若存在成立，则称的不动点.如果函数有且只有两个不动点0，2，且（1）求函数的解析式；（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.解：设得：由违达定理得：解得代入表达式，由得不止有两个不动点，5分（2）由题设得 （A）且 （B）由（A）（B）得：解得（舍去）或；由，若这与矛盾，即是以1为首项，1为公差的等差数列，； 10分（3）证法（一）：运用反证法，假设则由（1）知，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.14分证法（二）：由得1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1q0且10当或时即当且0时，即当或=2时，即17从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(已知).(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800(1)万元，,第n年投入为万元，所以，n年内的总投入为an=800+800(1)+800(1)n1=40001()n第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400(1+)， ，第n年旅游业收入万元.所以，n年内的旅游业总收入为=1600()n1(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即：1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得：5x27x+20.解此不等式，得x，或x1(舍去).即()n，,由此得n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.（本小题满分14分） 一个计算器装置有一个数据入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：从A口输入时，从B口得；当时，从A口输入，从B口得的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数，试问：（3） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？（4） 从A口输入100时，从B口得到什么数？说明理由。解：（1）所以，从A口输入2、3时，从B口分别得到（2） 由（1）及题意可知： ， （2004年湖北八校联考）数列中，首项，前n项和为，对任意点，点都在平面直角坐标系xoy的曲线C上，曲线C的方程为其中，n1，2，3 （1）判断是否为等比数列，并证明你的结论；（2）若对每个正整数n，则，为边长能否构成三角形，求t的范围解：（1）由， 得 于是 又 两式相减得 故 是首项为2，公比为的等比数列（2）由（1）知 又 是一个单调递减的数列 从而，为边长能构成三角形的充要条件是 即 解得 或 又 评析此题（1）中证明是必要的充分利用已知条件对构成三角形的充要条件进行简化，能达到事半功倍的效果五、解答题（共29题）1（安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，2.如果数列中,相邻两项和是二次方程=0(n=1,2,3)的两个根,当a1=2时,试求c100的值.解:由根与系数关系, =3n,则()()=3,即=3.a1,a3,a5和a2,a4,a6都是公差为3的等差数列,由a1=2,a1+a2=3,a2=5.则=3k2,a100=152, =3k5,a101=148,c100= a100 a101=224963.有两个各项都是正数的数列,.如果a1=1,b1=2,a2=3.且,成等差数列, ,成等比数列,试求这两个数列的通项公式.解:依据题设条件,有由此可得=.0,则2。是等差数列.=.又 =,=4陈老师购买安居工程集资房7m2,单价为1000/ m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清。如果按年利率的7.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759 1.921,1.075102.065,1.075112.221) 解:设每年付款x元，那么10年后第一年付款的本利和为a1=1.0759x元。第二年付款的本利和为a2=1.0758x元。依次类推第n年付款的本利和为an=1.07510-nx元。则各年付款的本利和an为等比数列。10年付款的本利和为S10=。个人负担的余额总数为721000-28800-14400=28800元。10年后余款的本利和为188001.07510 解得x=5某地今年年初有居民住房面积为a m2,其中需要拆除的旧房面积占了一半当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？ （2）依照(1)拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？ 下列数据供计算时参考：1.19=2.381.00499=1.041.110=2.601.004910=1.051.111=2.851.004911=1.06解：（1）设今年人口为b人，则10年后人口为b(1+4.9)101.05b,由题设可知，1年后的住房面积为2年后的住房面积为3年后的住房面积为10年后的住房面积为由题设得 ，解得 （2）全部拆除旧住房还需答：（1）每年拆除的旧住房面积为（2）按此速度全部拆除旧住房还需16年另外：设今年为第一年，第n年年底的住房面积为an，由题意知a1=1.1a-x,当n2时an=1.1an-1-x，an-10x=1.1(an-1-10x) ,an-10x为等比数列。a10-10x=(a1-10x)1.19，同样可以求解此题。（理科做）（06江西）已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！（文科做）（06福建）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数解：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1（2）证：据1得，a1a2an为证a1a2an2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN*，有1（）3用数学归纳法证明3式：（i） n1时，3式显然成立，（ii） 设nk时，3式成立，即1（）则当nk1时，1（）（）1（）（）1（）即当nk1时，3式也成立。故对一切nN*，3式都成立。利用3得，1（）11故2式成立，从而结论成立。列。（文）解：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得（III）证明：，得即，得即是等差数列。（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，数列中，点在直线上（I）求数列的通项和；(II) 设，求数列的前n项和，并求满足的最大正整数解（1） . （II）（本题满分12分）甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡：（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.请你根据提供的信息解答下列问题：（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？（2）哪一年的规模最大？为什么？解：（1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，由图（B）可知：=30，且点在一直线上，所以， 3分由图（A）可知：且点在一直线上，所以，=（万只），（万只）第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；6分（2）由（万只），第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只. 12分（本题满分14分） 对于函数，若存在成立，则称的不动点.如果函数有且只有两个不动点0，2，且（1）求函数的解析式；（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.解：设得：由违达定理得：解得代入表达式，由得不止有两