数学建模-第二章.ppt

数学建模 一、模型的概念和种类一、模型的概念和种类 我们常见 的模型 玩具、照片. -实物模型 地图、电路图 -符号模型 风洞中的飞机 -物理模型 模型是为了一定的目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 二、数学模型二、数学模型 用数学语言对实物或实际问题所作的抽象表 达，被称之为数学模型。 1、数学语言及其功能 1）简明性： 2）可运算性： 3）广泛性 ： 2. 数学模型 能以较小的篇幅容纳更多的研究对象的信息。 能用需要的数学方法作运算或推理处理。 同一种数学表达能表现很多类现象或现象的 内部关系。 三、数学建模三、数学建模 1、数学建模含义 2. 数学建模的重心 实际问题数学模型模型求解实际问题 数学建模是指从实际问题出发经数学方法的处理再 回到实际问题的若干次循环。这是一个双向翻译过程。 数学建模的重心是“建”，建好了模型才能为数学处 理打好基础。 实际问题的专业知识；广博的数学理论；熟练使用 数学计算软件并具有一定的计算机编程能力。 3.数学建模工作者的知识结构 问题1：杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只， 问各天分别杀几只？ 四、数学建模的简单实例四、数学建模的简单实例 天杀 分析： 1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一 类方法是枚举，你可以试试。 则所提问题变为在自然数集上求解方程 于是，我们有了该问题的数学语言表达数学模型 求解： 建模 ： 用反证法容易证明本问题的解不存在。 2). 依题意，设第 只， 问题2：哥尼斯堡七桥问题 问题分析 模型评价 模型应用 模型求解 建立模型 符号设定 模型假设 YN 模型检验 数学建模流程图解 五、数学建模过程五、数学建模过程 练习题：考察想象力、洞察力和判断力 1. 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山， 下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路 径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天 中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？ AB 甲 甲 2. 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的 每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直 至比赛结束。问共需进行多少场比赛？ 一般思维： 逆向思维： 每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。 3. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车 于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站 接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30 抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一 样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比 往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？ 车 站 家 5：30 相遇 早10钟 5分钟 5分钟 6：00 5：55 共走了25分钟。 4. 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如 下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办 法求解。） d A B 河 初等模型 1 汽车刹车距离 2 划艇比赛的成绩 3 钓鱼比赛 4 席位分配 汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 背 景 与 问 题 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。 问 题 分 析 常识：刹车距离与车速有关 10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英 尺( 9米) 车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同 刹 车 距 离 反应时间 制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比 ，使汽车作匀减速运动。 车速 常数 反 应 距 离 制 动 距 离 司机 状况 制动系统 灵活性 常数 假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2F m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 模 型 最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间 车车速 (英里/小时时) (英尺/秒) 实际实际 刹车车距离 （英尺） 计计算刹车车距离 （英尺） 刹车时间车时间 （秒） 2029.342（44）39.01.5 3044.073.5（78）76.61.8 4058.7116（124）126.22.1 5073.3173（186）187.82.5 6088.0248（268）261.43.0 70102.7343（372）347.13.6 80117.3464（506）444.84.3 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 模 型 车车速 (英里/小时时) 刹车时间车时间 （秒） 201.5 301.8 402.1 502.5 603.0 703.6 804.3 车车速（英里/小时时）010104040606080 t（秒）1234 利用比例性、几何相似性进行建模 几何相似性是一个与比例性有关的概念而且有助于数学建 模的过程. 比例性:两个变量 和 是(互成)比例的,如果一个变量总是 另一个变量的常数倍,即,如果对某个非零常数k, 我们记 为 几何相似性:如果两个物体之间存在一个一一对应,使得对应点 之间的距离之比对所有可能的点对都不变(等于同一个常数), 则称这两个物体是几何相似的. 注:几何相似性和比例性是建模过程中非常强有力的简化工具 划艇比赛的成绩 赛艇 2000米成绩 t (分) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 艇长l 艇宽b (米) (米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 空艇重 w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。 问 题 准 备 调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变 问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 划浆 功率 赛艇 速度 赛艇 速度 前进 动力 前进 阻力 浆手 数量 艇 重 浸没 面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型 模型假设 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 艇的静态特性 艇的动态特性 3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征 模型 建立 f sv2 p wv (n/s)1/3 s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3 v n1/9 比赛成绩 t n 1/9 np fv 模型检验 n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 最小二乘法 利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验 t n 1248 7.21 6.88 6.32 5.84 与模型符合！ 钓鱼比赛 问题 : 出于保护的目的,垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓 到鱼后马上把它们放生.该俱乐部还希望根据钓到鱼的 总重量来给予以下奖励:100磅俱乐部的荣誉会员,大奖赛 期间的钓鱼总重量的冠军,等等.垂钓者怎么确定所钓到 的鱼的重量.你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤,但 是这样的秤用起来不方便,特别是对小鱼也并不准确. 问题分析: 根据某一个容易测量的量来预测鱼的重量 影响因素: 鱼的种类 性别 季节 问题假设:1).单一鱼种;2)平均重量密度一致;3)忽略性别和 季节 总长度 l 总长度 l 总长度 l a) c) b) 4)所有鲈鱼都是几何相似的,任何鲈鱼的体积都和某个特征量 的立方成正比. 建立模型: 长度,l(英寸)14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625 重量,w(盎司)2717412617492316 对于上述数据利用 线性最小二乘拟合 的结果为 长度( 英寸) 121314151617181920212223242526 重量( 盎司) 1519232935425059687991104118133150 重量( 磅) 0.91.21.51.82226313.743495.76.57.48.39.4 该模型提供了一种方便的普遍准则.垂钓大奖赛把垂钓者 钓到的鱼的长度转化为重量,把表明重量的卡发给大家,当次法 则广泛应用以后,应该把标有转换刻度的布带发给每个垂钓者. 问题: 该模型没有考虑到在相同鱼长的条件下鱼的胖瘦,要 求你对于上述模型进行修改,以满足上述要求. 选举中的席位分配 v一. 比例代表制 v例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各 政党的选民数为： v A党：199,000 B党：127,500 v C党：124,000 D党： 49,500 v要选出5名代表： v A党：2席 B党：1席 v C党：1席 D党：0席 v缺少1席，如何分配这最后一席呢？ 选举中的席位分配 v最大余数法 v按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余 的席位分给余数较大的各党。 v党名 代表选民数 整数席 余 数 余额席 总席数 v A 199,000 1 99,000 1 2 v B 127,500 1 27,500 0 1 v C 124,000 1 24,000 0 1 v D 49,500 0 49,500 1 1 选举中的席位分配 v洪德(dHondt)规则 v分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3 、除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分 配。即若A党的人数比D党的人数还多，那么给A党 3席、给D党0席也是合理的。 v除数 A党 B党 C党 D党 v1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 v2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 v3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 v4 49,750 31,875 v总席位 3 1 1 0 选举中的席位分配 v北欧折衷方案 v作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.4、3、5、7、 vA党 B党 C党 D党 v 2 2 1 0 v三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数 法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党 ，北欧折衷方案对最大和最小党都不利 选举中的席位分配 v二份额分配法(Quota Method) v一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于 著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。 v美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定 ，议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数 只有65席，因为议会有权改变它的席位数，到1910 年，议会增加到435席。宪法并没有规定席位的具 体分配办法，因此在1881年，当考虑重新分配席位 时，发现用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州 在299个席位中获得8个议席，而当总席位增加为 300席时，它却只能分得7个议席。这一怪事被称为 有名的“阿拉巴玛悖论”。 公平的席位分配 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 问 题 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 比 例 加 惯 例 对 丙 系 公 平 吗 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 “公平”分配方法衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1 p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低! 虽二者的绝对 不公平度相同 若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平A p1/n1 p2/n2=5 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平 对A的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量 类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 “公平”分配方法 若 p1/n1 p2/n2 ，定义 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应计算rB(n1+1, n2) 应计算rA(n1, n2+1) 若rB(n1+1, n2) p2/n2 问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 B 当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义 该席给A 否则, 该席给B 定义该席给Q值较大的