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曲面积分 习题课 曲线积分 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定义 计算 定义 计算 联系 联系 （一）曲线积分与曲面积分 一、主要内容 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义性 质计算公式 两者关系 对对面积积的曲面积积分对对坐标标的曲面积积分 定义义 实质实质分、粗、和、精分、粗、和、精 背景曲面块块的质质量流向曲面指定侧侧的流量 性质质线线性、可加、与侧侧无关线线性、可加、与侧侧有关 计计算一代、二换换、三投影一代、二投、三定号 联联系 曲面积分 Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系 或 推广推广 定积分曲线积分 重积分曲面积分 计算 计算 计算 Green公式 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系 关于对称性 对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积 分相类似的奇偶性 你对称，我奇偶 积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个 变量具有奇偶性 对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般 不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先 化为对面积的曲面积分，再使用对称性 关于对面积的曲面积分的应用 曲面面积 曲面质量 重心坐标 转动惯量 二、典型例题 例1 求椭圆柱面位于xoy 面上方 和平面 z = y 下方的那部分的侧面积 解一 易见曲面对称于 yoz 面 解二对弧长的曲线积分的几何意义： 柱面上的曲边梯形的面积 侧面积 注 曲面面积的计算法 S Dxy 曲顶柱体的表面积 如图曲顶柱体， 例2 计算 及平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧 解一 由 Gauss 公式 解二 上侧 下侧 外侧 （用极坐标） 解由对称性 例4 计算 所截下的部分 解 积分曲面关于 yoz 面 、 zox 面对称 被积函数 | xyz | 关于 x 和 y 是偶函数 由对称性 例5 计算 解 由对称性 例6 计算 绕 z 轴旋转所成的曲面的下侧 解 补上曲面 取上侧 则由 Gauss 公式 例7 解利用两类曲面积分之间的关系 向量点积法 例8 解利用向量点积法 解 (如下图) 例10 计算 的外表面 解一 先计算 下侧 上侧 同理 解二由 Gauss 公式 = 0 （用对称性） 例11 计算曲面积分 解 考虑使用 Gauss 公式 但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的“ 碗 ” 扣在xoy坐标面上，与xoy坐标面的截痕为 故曲面不封闭，应用 z = 0 （下侧） 封住碗口 但要注意 在（0，0，0）不存在 而（0，0，0）又在 z = 0 上，故须挖去（0，0，0）
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