[高三数学]2012届高三数学一轮复习：集合与常用逻辑用语.doc

第1章 第1节一、选择题1(09全国)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，M1,3,5,7，N5,6,7，则U(MN)()A5,7 B2,4C2,4,8 D1,3,5,6,7答案C解析MN1,3,5,6,7，U(MN)2,4,8，故选C.2(2010烟台二中)已知集合My|yx2，Ny|y2x，x0，则MN()A(0,0)，(1,1) B0,1C0，) D0,1答案C解析My|y0，NR，则MN0，)，选C.点评本题极易出现的错误是：误以为MN中的元素是两抛物线y2x与yx2的交点，错选A.避免此类错误的关键是，先看集合M，N的代表元素是什么以确定集合MN中元素的属性若代表元素为(x，y)，则应选A.3设集合Px|x，kZ，Qx|x，kZ，则()APQ BPQCPQ DPQ答案B解析P：x，kZ；Q：x，kZ，从而P表示的奇数倍数组成的集合，而Q表示的所有整数倍数组成的集合，故PQ.选B.点评函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论4(文)满足Ma1，a2，a3，a4，且Ma1，a2，a3a1，a2的集合M的个数是()A1B2C3D4答案B解析集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故Ma1，a2或a1，a2，a4(理)(2010湖北理，2)设集合A(x，y)|1，B(x，y)|y3x，则AB的子集的个数是()A4B3C2D1答案A解析结合椭圆1的图形及指数函数y3x的图象可知，共有两个交点，故AB的子集的个数为4.5(2010辽宁理，1)已知A，B均为集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，则A()A1,3 B3,7,9C3,5,9 D3,9答案D解析由题意知，A中有3和9，若A中有7(或5)，则UB中无7(或5)，即B中有7(或5)，则与AB3矛盾，故选D.6(文)(2010合肥市)集合Mx|x210，集合Nx|x23x20，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是()A1,1 B1C1 D答案B解析M1，1，N1,2，MN1，故阴影部分表示的集合为1(理)(2010山东省实验中学)如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A(IAB)C B(IBA)CC(AB)IC D(AIB)C答案D解析阴影部分在A中，在C中，不在B中，故在IB中，因此是A、C、IB的交集，故选D.点评解决这类题的要点是逐个集合考察，看阴影部分在哪些集合中，不在哪些集合中，注意不在集合M中时，必在集合M的补集中7已知钝角ABC的最长边长为2，其余两边长为a，b，则集合P(x，y)|xa，yb所表示的平面图形的面积是()A2 B4C2 D42答案C解析由题中三角形为钝角三角形可得a2b22；0a2,0b2，于是集合P中的点组成由条件构成的图形，如图所示，则其面积为S222，故选C.8(文)(2010山东滨州)集合A1,0,1，By|ycosx，xA，则AB()A0 B1C0,1 D1,0,1答案B解析cos01，cos(1)cos1，B1，cos1，AB1(理)P|(1,1)m(1,2)，mR，Q|(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ()A(1，2) B(13，23)C(1，2) D(23，13)答案B解析(m1,2m1)，(2n1,3n2)，令a，得PQ(13，23)9若集合M0,1,2，N(x，y)|x2y10且x2y10，x、yM，则N中元素的个数为()A9 B6 C4 D2答案C解析N(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)，按x、yM，逐个验证得出N.10(文)已知集合1,2,3，100的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且AB为空集若nA时，总有2n2B，则集合AB的元素个数最多为()A62B66C68D74答案B解析若24到49属于A，则50至100的偶数属于B满足要求，此时AB已有52个元素；集合A取1到10的数时，集合B取4到22的偶数，由于AB，4,6,8A，此时AB中将增加14个元素，AB中元素个数最多有521466个(理)设是R上的一个运算，A是R的非空子集若对任意a、bA，有abA，则称A对运算封闭下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A自然数集 B整数集C有理数集 D无理数集答案C解析A：自然数集对减法，除法运算不封闭，如121N,12N.B：整数集对除法运算不封闭，如12Z.C：有理数集对四则运算是封闭的D：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭如(1)(1)2，0，2，1，其运算结果都不属于无理数集二、填空题11(文)已知集合Ax|logx3，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是(，c，其中的c_.答案0解析Ax|0x，AB，a0，c0.(理)(2010江苏苏北四市、南京市调研)已知集合A0,2，a2，B1，a，若AB0,1,2,4，则实数a的值为_答案2解析AB0,1,2,4，a4或a24，若a4，则a216，但16AB，a24，a2，又2AB，a2.12(2010浙江萧山中学)在集合M0，1,2,3的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对xA，则A”的概率是_答案解析集合M的非空子集有25131个，而满足条件“对xA，则A”的集合A中的元素为1,2或，且，2要同时出现，故这样的集合有3个：1，2，1，2因此，所求的概率为.13(文)(2010江苏，1)设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a_.答案1解析AB3，3B，a244，a23，a1.(理)A(x，y)|x2y2B(x，y)|xy2，则AB_.答案(0,0)，(1,1)，(1，1)解析AB(0,0)，(1,1)，(1，1)14若Ax|22x1，Bx|logx，实数集R为全集，则(RA)B_.答案x|0x解析由22x1得，x，由logx得，0x|0xx|0x三、解答题15设集合Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0(1)若AB2，求实数a的值；(2)若ABA，求实数a的取值范围解析(1)A1,2，AB2，2B，44(a1)(a25)0，a1或3.(2)ABA，BA，由4(a1)24(a25)8(a3)0得，a3.当a3时，B2，符合题意；当a3时，3时，BA，BA，故，无解综上知，a3.16(2010广东佛山顺德区质检)已知全集UR，集合Ax|x2x60，Cx|x24ax3a20，若U(AB)C，求实数a的取值范围解析Ax|2x3，Bx|x2，ABx|x2，U(AB)x|4x2，而Cx|(xa)(x3a)0时，Cx|ax3a，显然不成立(2)当a0时，C，不成立(3)当a0时，Cx|3axa，要使U(AB)C，只需，即2a0，nN*)(1)求证数列an是等比数列，并求an；(2)已知集合Ax|x2a(a1)x，问是否存在实数a，使得对于任意的nN*，都有SnA？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解析(1)当n1时，(a1)S1a(a11)，a1a(a0)当n2时，由(a1)Sna(an1)(a0)得，(a1)Sn1a(an11)(a1)ana(anan1)，变形得：a(n2)，故an是以a1a为首项，公比为a的等比数列，anan.(2)当a1时，Ax|1xa，S2aa2a，S2A，即当a1时，不存在满足条件的实数a.0a1时，Ax|ax1Snaa2an(1an)，Sna，)，因此对任意的nN*，要使SnA，只需，解得0a，综上得实数a的取值范围是(0，第1章 第2节一、选择题1(2010广东惠州一中)如果命题“綈(pq)”是真命题，则正确的是()Ap、q均为真命题Bp、q中至少有一个为真命题Cp、q均为假命题Dp、q中至多有一个为真命题答案C解析命题“綈(pq)”为真命题，命题“pq”为假命题，命题p和命题q都为假命题2(2010胶州三中)命题：“若x21，则1x1C若1x1，则x21D若x1，或x1，则x21答案D3(文)(2010延边州质检)下列说法错误的是()A如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；B命题“若a0，则ab0”的否命题是：“若a0，则ab0”；C若命题p：xR，x2x10，则綈p：xR，x2x10；D“sin”是“30”的充分不必要条件答案D解析“綈p”为真，p为假，又“p或q”为真，q为真，故A正确；B、C显然正确；30时，sin，但sin时，不一定为30，故“sin”是“30”的必要不充分条件(理)(2010广东高考调研)下列有关选项正确的是()A若pq为真命题，则pq为真命题B“x5”是“x24x50”的充分不必要条件C命题“若x0”的否定为：“若x1，则x23x20”D已知命题p：xR，使得x2x1sinx，则()A綈p：xR，xsinxB綈p：xR，xsinxC綈p：xR，xsinxD綈p：xR，xcosxCxR使得x2x1Dx(0，)，exx1答案D解析对xR，sinxcosxsin1.5，A错；又当x时，sinx，cosx，B错；方程x2x10的判别式30，f(x)在(0，)上为增函数，f(x)f(0)0，故对x(0，)都有exx1.5(文)(2010山东枣庄模考)设集合Ax|2ax0，命题p：1A，命题q：2A.若pq为真命题，pq为假命题，则a的取值范围是()A0a2 B0a1或a2C1a2 D1a2答案C解析1A，2a11，2A，2a22，pq为真，pq为假，p与q一真一假，故10.若pq为假命题，则实数m的取值范围是()Am2 Bm2Cm2或m2 D2m2答案A解析若pq为假命题，则p、q均为假命题，即綈p：xR，mx210，与綈q：xR，x2mx10均为真命题，根据綈p：xR，mx210为真命题可得m0，根据綈q：xR，x2mx10为真命题可得m240，解得m2或m2.综上，m2.6(2010天津文)下列命题中，真命题是()AmR，使函数f(x)x2mx(xR)是偶函数BmR，使函数f(x)x2mx(xR)是奇函数CmR，使函数f(x)x2mx(xR)都是偶函数DmR，使函数f(x)x2mx(xR)都是奇函数分析由函数f(x)是奇(或偶)函数时，m的取值情况作出判断答案A解析当m0时，f(x)x2显然为偶函数，故选A.7(2010北京延庆县模考)下列命题中的假命题是()Ax0且x1，都有x2BaR，直线axya恒过定点(1,0)CmR，使f(x)(m1)xm24m3是幂函数DR，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数答案D解析x2等号在x1时成立，A真；将x1，y0代入直线方程axya中成立，B真；令m11得m2，此时f(x)x1是幂函数，故C真；当时，f(x)sincos2x为偶函数，故D假8(09海南、宁夏)有四个关于三角函数的命题：p1：xR，sin2cos2p2：x、yR，sin(xy)sinxsinyp3：x0，sinxp4：sinxcosyxy其中假命题的是()Ap1，p4 Bp2，p4Cp1，p3 Dp3，p4答案A解析xR，sin2cos21，故p1为假命题x0，sinx0，|sinx|sinx，p3真，故选A.9已知命题p：|x1|x1|3a恒成立，命题q：y(2a1)x为减函数，若“pq”为真命题，则a的取值范围是()Aa B0aC.a D.a1答案C解析因为|x1|x1|2，由|x1|x1|3a恒成立知：3a2，即a.由y(2a1)x为减函数得：02a11即a1.又因为“pq”为真命题，所以，p和q均为真命题，所以取交集得a.因此选C.10(2010浙江杭州质检)下列命题中正确的是()A设f(x)sin，则x，必有f(x)1C设f(x)cos，则函数yf是奇函数D设f(x)2sin2x，则f2sin答案C解析f(x)sin在上单调递增，在上单调递减，A错；sinx0cosx0sin1，故B不正确；yfcossinx，为奇函数，故C正确；f2sin2sin，故D不正确二、填空题11已知下列四个命题：a是正数；b是负数；ab是负数；ab是非正数选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题_答案若a是正数且ab是负数，则一定有b是负数解析逆否命题为真命题，即该命题为真，a是正数且ab是负数，则一定有b是负数12给出以下四个关于圆锥曲线的命题，设A、B为两个定点，k为非零常数，若|k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若()，则动点P的轨迹为椭圆；方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆y21有相同的焦点其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案解析表示双曲线的一支；动点P的轨迹为圆；两根x12，x2正确；正确13(2010南昌市模拟)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；m3是直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直的充要条件；设a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a1，b，则A30是B60的必要不充分条件；其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)答案解析令bnanan1，则若bn是等比数列，则为常数，因此，当an为等比数列时，bn为等比数列，但bn为等比数列时，an未必为等比数列，如数列an：1,2,3,6,9,18，对任意nN*，有an23an，满足anan1是等比数列，但an不是等比数列，真；a2时，f(x)|x2|在2，)上单调增，但f(x)|xa|在2，)上单调增时，a2，故错；由(m3)m6m0得，m0或m3，故m3是两直线垂直的充分不必要条件，错；由知，sinBsinA，ba，BA，故B60时，A30，但A30时，B可以为120，正确14(2010马鞍山市质检)给出下列四个结论：命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”“若am2bm2，则a0时，f (x)0，g(x)0，则xg(x)其中正确结论的序号是_(填上所有正确结论的序号)答案解析显然正确中命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是“若ab，则am20时单调增，故x0时单调增，从而x0；g(x)为偶函数，x0时单调增，从而x0时单调减，x0时，g(x)0，xg(x)，故正确三、解答题15(2010河南调研)已知函数f(x)2sinxsinxcosxsin2x，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若存在x0，使不等式f(x0)1，即m的取值范围是(1，)16(2010聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y22x相交于A、B两点(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解析(1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y22x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，)、B(3，)3.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x3)，其中k0.由得，ky22y6k0，则y1y26.又x1y12，x2y22，x1x2y1y2(y1y2)2y1y23.综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么3”是真命题(2)逆命题是：设直线l交抛物线y22x于A、B两点，如果3，那么直线过点T(3,0)该命题是假命题例如：取抛物线上的点A(2,2)，B，此时3，直线AB的方程为y(x1)，而T(3,0)不在直线AB上17(文)已知命题p：在x1,2时，不等式x2ax20恒成立；命题q：函数f(x)log(x22ax3a)是区间1，)上的减函数若命题“pq”是真命题，求实数a的取值范围解析x1,2时，不等式x2ax20恒成立ax在x1,2上恒成立令g(x)x，则g(x)在1,2上是减函数，g(x)maxg(1)1，a1.即若命题p真，则a1.又函数f(x)log(x22ax3a)是区间1，)上的减函数，u(x)x22ax3a是1，)上的增函数，且u(x)x22ax3a0在1，)上恒成立，a1，u(1)0，1a1，即若命题q真，则11.(理)(2010河北正定中学模拟)已知动圆C过点A(2，0)，且与圆M：(x2)2y264相内切(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程； (2)设直线l：ykxm(其中k，mZ)与(1)中所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线1交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由解析(1)圆M：(x2)2y264的圆心M的坐标为(2,0)，半径R8.|AM|4|AM|.圆心C的轨迹是中心在原点，以A、M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为1(ab0)，则a4，c2，b2a2c212.所求动圆的圆心C的轨迹方程为1.(2)由，消去y化简整理得：(34k2)x28kmx4m2480，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x21(8km)24(34k2)(4m248)0由消去y化简整理得：(3k2)x22kmxm2120.设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3x4，2(2km)24(3k2)(m212)0(x4x2，y4y2)、(x3x1，y3y1)，且0，(x4x2)(x3x1)0，即x1x2x3x4，km0或.解得k0或m0.当k0时，由、得2m2，mZ，m的值为3，2，1,0,1,2,3；当m0时，由、得kb2”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析a2b2不能推出ab，例：(2)212，但2b不能推出a2b2，例：12，但12b2是ab的既不充分也不必要条件(理)“|x1|2成立”是“x(x3)0成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由|x1|2得2x12，1x3；由x(x3)0得0x3.因此“|x1|2成立”是“x(x3)0成立”的必要不充分条件2(2010福建文)若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析当x4时，|a|5当|a|5时，解得x4.所以“x4”是“|a|5”的充分而不必要条件3(文)已知数列an，“对任意的nN*，点Pn(n，an)都在直线y3x2上”是“an为等差数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析点Pn(n，an)在直线y3x2上，即有an3n2，则能推出an是等差数列；但反过来，an是等差数列，an3n2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2010南充市)等比数列an中，“a1a3”是“a50，a1a3a1q4a3q4a5n0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析由mn0可以得方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立故选C.5(文)设集合Ax|0，Bx|0x3，那么“mA”是“mB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析Ax|0xa，故A30；但当A30时，有sinB，B60，或B120.故真；否命题：若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数，这是一个真命题，假若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，即f(x)f(x)，f(x)为奇函数，与条件矛盾12(文)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有ab、ab、ab、P(除数b0)，则称P是一个数域例如有理数集Q是数域有下列命题：数域必含有0,1两个数；整数集是数域；若有理数集QM，则数集M必为数域；数域必为无限集；其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案解析结合题设的定义，逐一判断，可知正确(理)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有ab、ab、ab、P(除数b0)，则称P是一个数域例如有理数集Q是数域；数集Fab|a，bQ也是数域有下列命题：整数集是数域；若有理数集QM，则数集M必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案解析整数a2，b4，不是整数；如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a3，b，abM；由数域P的定义知，若aP，bP(P中至少含有两个元素)，则有abP，从而a2b，a3b，anbP，P中必含有无穷多个元素，对设x是一个非完全平方正整数(x1)，a，bQ，则由数域定义知，Fab|a、bQ必是数域，这样的数域F有无穷多个13(2010辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p：不等式x4m2xx2对一切实数x恒成立；q：f(x)(72m)x是R上的减函数，如果p