大学数学函数的连续性.ppt

函数的连续性(continuity) 气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化 着，反映在函数关系上是函数的连续性。 当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当 自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性 。 连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。 自变量的增量 函数的增量 增量的概念 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义， 在区间(a , b)上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函 数,或者说函数在该区间上连续,若在该区间左右端点处连续,称 函数是闭区间上的连续函数。 x y o 如果函数y=f(x)在x0点连续, 则必须 同时满足下列三个条件： (1) f(x)在x0的某个邻域内有定义 (2) 极限值 存在 (3) 极限值与函数值 相等 定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变 量的增量x=x-x0 趋于零时，对应的函数的增量 y=f(x0+x) - f(x0) 也趋于零，即 那末就称函数 y=f(x)在点x0连续. 连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线. 函数在一点处连续的本质特征：当自变量改变很微小时， 函数值变化也很微小 连续性举例 1. 讨论绝对值函数在x=0处的连续性. 解 因为 所以所以绝对值函数在 x=0 处连续 2.作为例子我们来证明函数y=sinx在区间 内是连续的 由三角公式有 一般地, 证明一个函数在某个区间内连续时, 宜使用等价定 义式 ; 若要证明函数在某点处连续, 则宜使用原定 义式 . 3. 设有函数, 问 为何值时, 函数 在 点连续? 解 因为 要使函数在 点连续, 则应有所以 函数的间断点 discontinuity x y o 1234 1 2 Discontinuity at x =1 and x =2 若函数 有下列三种情形之一： 则称函数 在点 处不连续，点 称为函数 的间断点。 不连续点 即为间断点 可去间断点(1)第一类 点 x =1 是函数 f (x) 的可去间断点 x y o 1 1/2 1 函数的间断点的类型 可去间断点(2)第一类 函数的间断点的类型 例如 但 不存在 点 称为函数的可去间断点。 1 跳跃间断点第一类 y x o 点 x =0是函数 f (x) 的跳跃间断点。 函数的间断点的类型 函数的间断点的类型 无穷间断点第二类 振荡间断点第二类 点 x =0是函数 f (x) 的 振荡间断点。 函数的间断点的类型 1 -1 解 这是一个初等函数，其定义域为 找出函数 的间断点，并判别其类型。 而 所以，x =1是函数的第一类的可去间断点；x =2是函数 的第二类的无穷间断点。 不存在而 设 求函数的间断点，并判别其类型。 解由 的定义可知，函数在 内连续 而 所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)， x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。 求 的值，使函数在点 处连续。 解 由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有 而 连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函 数值，即极限号 lim 与函数号 f 可以交换次序。 连续函数求极限法则 例如, 一、 连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 例 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理1 单调连续函数的反函数仍是单调连续函数。即 例 定理2 连续函数的复合函数仍是连续函数。即 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 . (均在其定义域内连续 ) 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 初等函数求极限的方法代入法. 例1 解 例2 解 例3 解 例4 求 解 如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续, 在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间a,b 上连续的 定义 闭区间连续函数的性质 最值定理（The max-min theorem） abx y o 在区间内部取得最大值和最小值 y abx o 在区间端点取得最大值 在闭区间 a,b 上连续的函数, 一定能取得它的最大值和最小值。 说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 介值定理 The intermediate value theorem 设设函数在闭闭区间间a,b上连续连续 ，且在这这区间间的端点取不同的 , 为为介于与之间间的任意 ,则在开区间(a,b) ， 函数值 一个数，即 内至少有一点，使得 根的存在定理 设函数 f (x) 在闭区间