FECh稳态热传导问题的有限元法.ppt

第 10 章 稳态热传导问题的有限元法 本章的内容如下： 10.1 热传导方程与换热边界 10.2 稳态温度场分析的一般有限元列式 10.3 三角形单元的有限元列式 10.4 温度场分析举例 10.5 小结 10.1 热传导方程与换热边界 在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分 布情况，例如发动机的工作温度、金属工件在热处理过 程中的温度变化、流体温度分布等。物体内部的温度分 布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之 间的热量交换，一般认为是与时间相关的。物体内部的 热交换采用以下的热传导方程（Fourier方程）来描述， （10-1 ） 式中 为密度，kg/m3；c为比热容，J/(kgK)； 为导热系数，w/(mk)；T为温度，；t为时间，s； 为内热源密度，w/m3。 对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同， 热传导方程可写为以下形式， 除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要 指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最初的 温度分布情况， 边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况 。在传热学中一般把边界条件分为三类。 1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件 。 物体表面上的温度或温度函数为已知， 或 （10-4) 2) 给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类 边界条件。 已知物体表面上热流密度， 或 （10-5) 3）给定对流换热条件，称为第三类边界条件。 物体与其相接触的流体介质之间的对流换热系数和介 质的温度为已知。 （10-6） 其中h为换热系数，W/(m2 K)； 是物体表面的温度； 是介质温度。 如果边界上的换热条件不随时间变化，物体内部的 热源也不随时间变化，在经过一定时间的热交换后，物 体内各点温度也将不随时间变化，即: 这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。 稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化，而 是指温度分布稳定后的状态，我们不关心物体内部 的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场 。随时间变化的瞬态（Transient）热传导方程就退 化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程 为， （10-7 ） 对于各向同性的材料，可以得到以下的方程，称为 Poisson方程， （10-8） 考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的 温度场满足Laplace方程， （10-9） 在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初 始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考 虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计 算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。 温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单 元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简 单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学 问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元 的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工 程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也 很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度 场计算的一个难点。 10.2 稳态温度场分析的一般有限元列式 在前面我们已经介绍了有限元方法可以用来分析 场问题，稳态温度场计算是一个典型的场问题。我们 可以采用虚功方程建立弹性力学问题分析的有限元格 式，推导出的单元刚度矩阵有明确的力学含义。在这 里，介绍如何用加权余量法（Weighted Residual Method）建立稳态温度场分析的有限元列式。 微分方程的边值问题，可以一般地表示为未知函 数u满足微分方程组， （在域 内）（10-10） 未知函数u还满足边界条件， （在 边界上）（10-11） 如果未知函数u是上述边值问题的精确解，则在域中的 任一点上u都满足微分方程（10-10），在边界的任一 点上都满足边界条件（10-11）。对于复杂的工程问题 ，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似解 。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数， 一般表示为: （10-12） 其中 为待定系数，为 已知函数，称为试探函数。试探 函数要取完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数 是完全的函数序列，任一函数都可以用这个序列来表示。 采用这种形式的近似解不能精确地满足微分方程和 边界条件，所产生的误差就称为余量。 微分方程（10-10）的余量为， （10-13） 选择一族已知的函数，使余量的加权积分为零，强迫近 似解所产生的余量在某种平均意义上等于零， (10-15) 称为权函数，通过公式（10-15）可以选择待 定的参数。 这种采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似 解的方法称为加权余量法。对权函数的不同选择就得 到了不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、子 域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法（Galerkin method）。在很多情况下，采用Galerkin法得到的方 程组的系数矩阵是对称的，在这里也采用Galerkin法 建立稳态温度场分析的一般有限元列式。在Galerkin 法中，直接采用试探函数序列作为权函数，取: ， 。 下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin法（ 参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值方法 ”的1.2.3节）。 以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场的一 般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程为， 第一类换热边界为 第二类换热边界条件为， 第三类边界条件为， 在一个单元内的加权积分公式为， 由分部积分得， 应用Green定理，一个单元内的加权积分公式写为， 采用Galerkin方法，选择权函数为， 将单元内的温 度分布函数和换热边界条件代入(10-18)式，单元的加权积 分公式为， 换热边界条件代入后，在(10-19)式内相应出现了第二类换 热边界项 第三类换热边界项 但没有出现与第一类换热边界对应的项。这是因为， 采用 作为权函数，第一类换热边界被自动满足。写 成矩阵形式有， 公式（10-20）是n个联立的线性方程组，可以确定n个结 点的温度Ti。按有限元格式将（10-20）表示为， 其中矩阵Ke为单元的导热矩阵或称为温度刚度矩阵， Te为单元的结点温度向量，Pe称为单元的温度载荷 向量或热载荷向量（Thermal load vector）。对于某个 特定单元，单元导热矩阵Ke和温度载荷向量Pe的元 素分别为， 如果某个单元完全处于物体的内部， 在整个物体上的加权积分方程是单元积分方程的和， 根据单元结点的局部编号与整体编号的关系，直接 求和得到整体刚度矩阵，整体方程组为， 10.3 三角形单元的有限元列式 回顾已经学过的内容可以发现，与计算弹性力学 平面问题时所采用的方法一样，二维温度场问题计算 中所采用的三角形单元可以使用相同的形函数， 单元内的温度分布用结点上的温度值表示为， 在三角形单元上，采用Galerkin法可得 假定单元内的导热系数为常数， 单元的刚度矩阵为， 显然，单元的导热矩阵是对称的。 如果单元的内部热源为常数，由内部热源产生的温度 载荷项为， 由Green公式可得 方便起见，把换热边界统一表示为第三类换热边界， 如果在单元边上存在热交换，各条边上的边界换热条 件在单元刚度矩阵中生成的附加项为， 由边界换热条件生成的温度载荷向量为， 10.4 温度场分析举例 正方形截面的烟囱如图10-2所示，烟囱由混凝 土建造，边长为60cm，通道的边长为20cm，混凝 土的导热系数为k=1.4W/(mK)。假定烟囱内表面的 温度为100，烟囱外表面暴露在空气中，空气的 温度为30，换热系数为h=20W/(m2K)。计算烟囱 截面内的稳态温度场。（参见，Finite Element Method Theory and Application with ANSYS, p279） 图10-2 烟囱截面 图10-3 有限元模型 图10-4 稳态温度分布 图10-5 热流量分布 稳态温度场分布与物体的初始状态无关，那么是 否与材料的导热系数相关？我们把烟囱的模型做些修 改，假定烟囱壁由两层材料构成。内层材料为混凝土 ，外表面的截面尺寸为30cm 30cm，烟囱通道的尺 寸不变，仍为20cm 20cm 。外层材料的导热系数 为k=0.1W/(mK) ，外部表面的截面尺寸不变，内部表 面的截面尺寸为30cm 30cm 。换热边界条件不变 ，双层烟囱的有限元模型如图10-6所示。 图10-6 双层烟囱的有限元模型 图10-7 双层烟囱的温度分布 图10-8 双层烟囱的热流量分布 对比两种不同结构烟囱的温度分布和热流量分布， 稳态温度场分布与材料的换热系数相关。双层烟囱外 层材料的导热系数比较小，接近保温材料，热量很快 传进内层烟囱，但向外部环境传热慢了很多，所以内 层烟囱的温度很高。比较热流量分布，保温材料的却 能够有效的阻止热量散失。北方城市的供暖管道都包 有一层隔热材料就是基于这个道理。 小结：稳态热传导问题的有限单元的有限元列式 与弹性力学问题所采用的方法类似，二维温度 场问题计算中，既可以采用三角形单元及其形函数 ，也可以采用四边形等参单元及其形函数。采用等 参单元时，各刚度矩阵和热荷载向量均要通过数值 积分完成。 10.5 小结 二维稳态热传导有限元格式 二维稳态热传导微分方程 一. 单元温度场单元结点温度插值 单元结点温度: 二.加权余量法 离