[数学]2010年上海市各区县数学模拟试题分类.doc

2010年上海市各区县数学模拟试题分类一、三角形论证题1.如图7，直角梯形ABCD中，且,(图7)ABCD（1）求证：；（2）在边上找点,联结,将绕点C顺时针方向旋转得到联结EF，如果EFBC，试画出符合条件的大致图形，并求出AE：EB的值. (2010宝山区)解：（1）过点A作AHBC，垂足为点H 在RtAHB中， AH=2BH（1分） ，AH=DC AD=HCCD=2ADAH=2HC（2分）BH=HC 即BC=CD(2分) (2 ) 画出符合条件的大致图形（2分）根据题意，得：ECF中，CE=CF，ECF=90，FDC=CBE（1分）ABCDFEMEFBC，DCEF ECD=FCD=45，CM=FM （1分）设EF与DC交于点M，RtDMF中，FM=2DM（1分）（2分）2已知：如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，EF与CD相交于点G（1） 求证：；（2） 联结DF，如果EFCD，那么FDC与ADC之间有怎样的数量关系？证明你所得到的结论(2010静安区)证明：（1）联结BD，（1分）点E在菱形ABCD的对角线AC上，ECB=ECD（1分） BC=CD，CE=CE，BCEDCD（1分）EDC=EBC（1分） EB=EF，EBC=EFC（1分） EDC=EFC（1分）DGE=FGC，DGEFGC（1分）（1分）（2）ADC=2FDC（1分）证明如下：DGF=EGC，DGFEGC（1分）EFCD，DA=DC，DAC=DCA=DFG=90FDC（1分）ADC=1802DAC=1802（90FDC）=2FDC（1分）3.如图68中，点、分别是正三角形、正四边形、正五边形中以点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且，延长线交于点.(1)求图6中度数，并证明；(2)图7中的度数为 ，图8中度数为 ，在图7、图8中，(1)中的等式 ；(填“成立”或“不成立”，不必证明)C图6CDBEAFAFEDB图7MDAFNBEMCM图8（3）若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正边形”，其它条件不变，则度数为 .(可用含的代数式表示，不必证明）(2010虹口区)解：（1）在等边三角形ABC中，AB=BC，ABC=ACB =60 ABE=BCD =120又ABEBCD (2分)E=D又FBE=CBDAFB=E+FBE=D+CBD=ACB=60 (2分)由FBE=CBD，E=D得：FBECBD (2分)又 (1分)（2）90 ， 108，成立 (3分)（3） (2分)4.如图6，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，联结BE、CD相交于点O。（1）如果AB=AC，AD=AE，求证：OB=OC；ABCEDO图6（2）在OB=OC，BD=CE，ABE=ACD，BDC=CEB四个条件中选取两个个作为条件，就能得到结论“ABC是等腰三角形”，那么这两个条件可以是： （只要填写一种情况）。(2010金山区)证明：AB=AC，AD=AE，A=A，（1 分）ABEACD（2 分）ABE=ACD（1分）AB=AC，ABC=ACB（1分） OBC=OCB（1分） OB=OC（2分） （2） 或或或（4分）ABCDEM（第23题图）5已知：如图，在平行四边形ABCD中，AM=DM求证：（1）AE=AB；（3） 如果BM平分ABC，求证：BMCE(2010浦东区)证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD（2分） E=ECD（1分） 又AM=DM，AME=DMC，AEMDCM（1分） CD=AE（1分） AE=AB（1分） （2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC AMB=MBC（1分）BM平分ABC，ABM=MBC（1分）ABM=AMBAB=AM（1分）AB=AE，AM=AE（1分）E=AME（1分）EEBMBMAAME180，BME90，即BMCE（1分）6.如图，在梯形ABCD中，AD/BC， E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，B=ADNPEFMBC（1）求点E到BC边的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMBC，垂足为M，过点M作MN/AB交线段AD于点N，联结PN探究：当点P在线段EF上运动时，PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出PMN的面积；若变化，请说明理由(2010青浦区)解:（1）过E作EGBC，垂足为G，由AB=4，E为AB的中点，得BE=2 （1分）RtEBG中， ， （2分）（2）不变 （1分）解法（一）：在梯形ABCD中，由ADBC，MNAB，得MN=AB=4 （1分）过点P作PHMN，垂足为H （1分）由MNAB得NMC=B= 所以PMH= （1分）由E、F是AB、DC边的中点 得EFBC，由EGBC，PMBC，得EGPMPM = EG= （1分）在RtPMH中，所以PH=PM （2分） （2分）7.已知：如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，BEAC，垂足为点E，M为AB边的中点，联结ME、MD、ED。ABCDEM（1）求证：MED为等腰三角形；（2）求证：EMD=2DAC(2010杨浦区)证明：（1）M为AB边的中点，ADBC， BEAC， ,-2分，2分ME=MD,-1分MED为等腰三角形-1分 （2） MAE=MEA,-1分BME=2MAE,-1分同理， MAD=MDA, -1分BMD=2MAD, -1分EMD=BMEBMD-1分=2MAE2MAD=2DAC-1分8.如图，ABC中，B的平分线BD与C的外角平分线CE交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CD所在的直线的距离相等。(2010长宁区)如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N。.2分 则垂线段PQ、PM、PN即为P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离。2分 P是ABC的平分线BD上的一点 PM=PQ2分 P是ACM的平分线CE上的一点 PM=PN2分 PQ=PM=PN P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。2分ABDCE（第23题图）9.已知：如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD=BE，联结AE、CD（1）求证：CBDACE；（2）如果AB=3cm，那么CBD经过怎样的图形运动后，能与ACE重合?请写出你的具体方案（可以选择的图形运动是指：平移、旋转、翻折）(2010上海抽样)1）证明：在等边三角形ABC中，AD=BE，AB=BC，BD=CE（2分）又ABC=ACB=60，CBD=ACE（2分）CB=AC，ACECBD（2分）（2）方法一：绕正三角形的中心逆时针旋转120（6分）（注：如果运用此种方法，那么讲清旋转中心“正三角形的中心”，得3分；讲清“逆时针旋转120”，得3分）方法二：绕点C逆时针旋转120，再沿CA方向平移3cm（6分）方法三：绕点B逆时针旋转120，再沿BC方向平移3cm（6分）方法四：绕点A逆时针旋转60，再绕点C逆时针旋转60（6分）（注：不管经过几次运动，只要正确都可得分如果分两次运动得到，那么讲清每一种运动均可得3分：如果讲出旋转，那么得1分，如果讲清方向和旋转角的大小，那么得2分；如果讲出平移，那么得1分，如果讲清平移的方向和距离，那么得2分）10.已知梯形ABCD中，AD/BC，AB=AD（如图7所示），BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.图7（1）在图7中，用尺规作BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）ABC60，EC=2BE，求证：EDDC.(2010上海中考)解：分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，则连接AP，即AP即为BAD的平分线，且AP交BC于点E，AB=AD，ABOAOD BO=ODAD/BC, OBE=ODA, OAD=OEBBOEDOABE=AD（平行且相等）四边形ABDE为平行四边形，另AB=AD，四边形ADBE为菱形（2）设DE=2a,则CE=4a，过点D作DFBCABC60，DEF=60, EDF=30, EF=DE=a，则DF=，CF=CE-EF=4a-a=3a，DE=2a，EC=4a,CD=,构成一组勾股数，EDC为直角三角形，则EDDC二、四边形论证题1.PFEMDCBAA第23题图如图，点M是平行四边形ABCD的边AD的中点 ，点P是边BC上的一个动点，PEMB，PFMC，分别交MC于点E、交MB于点F，如果ABAD=12，试判断四边形PEMF的形状，并说明理由。(2010奉贤区)解：（1）四边形PEMF为矩形；-（1分）(2)PEMB，PFMC 四边形PEMF为平行四边形-（2分）平行四边形ABCD AB=CDM是的边AD的中点 AM=DM=ADABAD=12， AB=CD= AM=DM-(2分)ABM =AMB，DMC=DCM-（1分）ADCB CBM =AMB DMC=BCM-（1分）CBM =ABM=ABC DCM=BCM=DCB ADCB ABC +DCB=180-（2分）MBC +MCB=90 BMC =90-（1分）平行四边形PEMF为矩形-（2分）NMDCBAO2. 如图6，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC与BD交于点O，M、N分别为OB、OC的中点，又ACB=DBC. (1)求证：AB=CD； 2)若AD=BC.求证：四边形ADNM为矩形. (2010黄浦区)证明：（1）ACB=DBC，（2分）ADBC，即（2分）,（1分）梯形ABCD为等腰梯形，即AB=CD.（1分）（2）AD=BC，ADBC，,又N为OC的中点，（2分），（1分）同理，又.（2分）四边形ADNM为矩形.（1分）ABCDEMN第22题3. 如图所示，已知在ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线，交BC于点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个 正方形？请加以证明(2010普陀区)证明：(1) AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC， 1ADC=90AD是BAC的平分线，1=BAC，1同理：2=MAC1 BAC+MAC=180 1+2=90即EAD=90 1CEAN，AEC=90 1四边形ADCE是矩形1 （2）当ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形1 证明：BAC=90，AB=AC，AD是BAC的平分线， AD是斜边BC上的中线，AD=DC1 四边形ADCE是矩形， 1四边形ADCE是正方形14.已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分BCD、（第23题图）ABDCGOEFCF平分GCD， EFBC交CD于点O （1）求证：OE=OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形(2010松江区) （1）证明：CE平分BCD、CF平分GCD 1分EFBC，1分1分OE=OC，OF=OC，OE=OF2分（2）点O为CD的中点，OD=OC，又OE=OF 四边形DECF是平行四边形2分 CE平分BCD、CF平分GCD 2分2分即，四边形DECF是矩形 1分5.在等腰梯形ABCD中，ADBC，E、F是边BC上的两点，且BEFC，DE与AF相交于梯形ABCD内一点O(1) 求证：OEOF；(2) 当EFAD时，联结AE、DF，先判断四边形AEFD是怎样的四边形，再证明你的结论(2010徐汇区)（1）四边形ABCD是等腰梯形，2BE=FC，BF=EC1ABFDCE11OE=OF1 (2)四边形AEFD是矩形2EFAD且 EFAD，四边形AEFD是平行四边形2由（1）有ABFDCEAF=DE2四边形AEFD是矩形。ABCDE（图五）6.已知：如图五，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，点E为边BC上一点，且AEDC（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当B2DCA时，求证：四边形AECD是菱形(2010闸北区)证：（1）在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDCBDCB1分AEDC， AE=AB 1分B=AEB 1分DCB =AEB1分AEDC1分四边形AECD为平行四边形 1分（2）AEDC，EACDCA 1分B2DCA，BDCBDCB2DC 1分ECADCA 1分EACECA 1分AEC E1分四边形AECD为平行四边形四边形AECD为菱形1分7.F（第23题图）DCBAE如图，在正方形ABCD中，点E、F是对角线BD上，且BE = EF = FD，联结AE、AF、CE、CF求证：（1）AF = CF； （2）四边形AECF菱形(2010闵行区)(没有评分标准)三、函数中的图形1ABOxy（第24题图）CBDBEB如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O、且经过点A（3，3），一次函数的图像经过点A和点B（6，0） （2010 静安）（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图像与相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图像相交于点E，CDO=OED，求点D的坐标解：（1）设二次函数解析式为， 点A（3，3）在二次函数图像上，（1分） ，二次函数解析式为（1分） 设一次函数解析式为，一次函数的图像经过点A和点B（6，0）（1分）（1分）一次函数解析式为（1分）（2）DE/轴，COD=ODE，CDO=OED，CDOOED（1分），（1分）设点D的坐标为（），点E的坐标为（）（1分），（1分）点C（0，6），CO=6，（1分）（1分）点D的坐标为（1分）2 。已知点P是函数（x0）图像上一点，PAx轴于点A，交函数（x0）图像于点M, PBy轴于点B，交函数（x0）图像于点N.（点M、N不重合）（2010 黄浦） （1）当点P的横坐标为2时，求PMN的面积； （2）证明：MNAB；（如图7）yOxyONMPBAx （3）试问：OMN能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由.解：（1）点P是函数（x0）图像上一个点，当点P的横坐标为2，点P为（2，1），（1分）由题意可得：M为（2，），N为（1，1），（2分）.（1分）（2）令点P为，（a0）（1分）则，（1分）即（1分）MNAB.（1分）（3）由（2）得， ，易知.当时， 有，解得(舍去)，即点P为.（2分）同理当时，点P为.（2分）综上所述，当点P为与时，能使OMN为直角三角形.3已知：如图，在平面直角坐标系中，点B在轴上，以3为半径的B与轴相切，直线过点,且和B相切，与轴相交于点C（2010徐汇）（1）求直线的解析式；（2）若抛物线经过点和，顶点在B上，求抛物线的解析式；(3) 若点E在直线上，且以A为圆心，AE为半径的圆与B相切，求点E的坐标1）过B作BD垂直交于点D，B与相切，BD=31在中， AB=5，1在、中， ，AO=2，CO=1.5。1 设直线的解析式为，代入得，1（2）过OB的中点F作HF垂直于轴交B于点H，联结BH。在中，BH=3，BF=1.5，11将、代入 2（3）当两圆外切时，AE=2，2当两圆内切时，AE=8，24已知等腰在平面直角坐标系中的位置如图9，点坐标为，点坐标为（2010 虹口 ）（1）若将沿轴向左平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值； OBA图9（2）若将绕点顺时针旋转，点恰好落在反比例函数的图像上，求的值；（3）若将绕点顺时针旋转度（0a180）到位置，当点、恰好同时落在（2）中所确定的反比例函数的图像上时，请直接写出经过点、且以轴为对称轴的抛物线解析式1)设点平移后落在反比例函数图像上的点记为：, =2（1分）代入,求得（2分）（2分）(2) 将点恰好落在反比例函数图像上的点记为，可求得： （2分） （2分）5 。如图8，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上（1）求、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形BAO1111xy(图8)A ABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为点C，试在轴上找点D，使得以点B、C、D为顶点的三角形与相似（2010 宝山）解：（1）根据题意，得：（2分）BAO1111xyAB 解得（2分） （2）四边形A ABB为菱形，则A A=BB= AB=5（1分） =（1分） 向右平移5个单位的抛物线解析式为 （2分）yBAO1111xCBD（3）设D（x，0）根据题意，得：AB=5， A=B BA （1分） ) ABCBCD时， ABC=BCD BD=6-x 由 得 解得x=3 D（3，0）ABCBDC时， 解得 （2分+1分）6AOyx（第24题图）如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图像上的一点，且ABP是直角三角形（2010 浦东新区）（1）求点P的坐标；（2）如果二次函数的图像经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与y轴交于点C，过该函数图像上的点C、点P的直线与x轴交于点D，试比较BPD与BAP的大小，并说明理由解：（1）由题意，得点B的坐标为（2，0）（1分）设点P的坐标为（，） 由题意可知 ABP90或APB90（i）当ABP90时，点P坐标是（2，1）（1分）（ii）当APB90时，即（1分）又由，可得（负值不合题意，舍去）当时，点P点坐标是（，）（1分）综上所述，点P坐标是（2，1）或（，）（2）设所求的二次函数的解析式为（i）当点P的坐标为（2，1）时，点A、B、P不可能在同一个二次函数图像上（1分）（ii）当点P的坐标为（，）时，代入A、B、P三点的坐标， 得 （1分）解得（1分）所求的二次函数解析式为（1分） （3）BPD=BAP（1分）证明如下：点C坐标为（0，），（1分） 直线PC的表达式为 点D坐标为（，0）（1分） PD=2，BD=，AD=，PDB=ADP，PBDAPD（1分） BPD=BAP另证：联接OPAPB90，OA=OB，OP=OAAPO=PAO又点C坐标为（0，），（1分） 直线PC的表达式为 点D坐标为（，0）（1分）OC=OD点P的坐标为（，），PC=PDOPCDBPD=APO（1分）BPD=BAPyOBCDxA第24题7 。如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点A的坐标为（2，2），点B、C在轴上，BC=8，AB=AC，直线AC与轴相交于点D1）求点C、D的坐标；2）求图象经过B、D、A三点的二次函数解析式及它的顶点坐标（2010 普陀 ）解：（1）过点A作AEx轴，垂足为点E1点A的坐标为（2，2），点E的坐标为（2，0）1AB=AC，BC=8， BE=CE， 1点B的坐标为（-2，0）， 1点C的坐标为（6，0）1 设直线AC的解析式为：（）， 将点A、C的坐标代入解析式，得到： 1点D的坐标为（0，3） 1 （2）设二次函数解析式为：（）， 图象经过B、D、A三点， 2 解得：1此二次函数解析式为： 1OABCyx顶点坐标为（，） 18如图，直线OA与反比例函数的图像交于点A(3，3)，向下平移直线OA，与反比例函数的图像交于点B(6，m)与y轴交于点C（2010青浦 ）（1）求直线BC的解析式；（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；（3）设经过A、B、C三点的二次函数图像的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由直线OA与反比例函数的图像交于点A(3，3)，得直线OA为：，双曲线为：，点B(6，m)代入 得 ，点B(6，) ， （1分）设直线BC的解析式为 ，由直线BC经过点B，将，代入得 （1分）所以，直线BC的解析式为 （1分）(1)由直线得点C(0，)，设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为将A、B两点的坐标代入，得 （1分）解得 （1分）所以，抛物线的解析式为 （1分）（3）存在把配方得， 所以得点D(4，)，对称轴为直线 （1分）得对称轴与轴交点的坐标为E(4，0). （1分）由BD=，BC=，CD=,得，所以，DBC=（1分）又PEO=，若以O、E、P为顶点的三角形与BCD相似，则有：即 得，有(4，) ，(4，) 即得， 有(4，12) ，(4，). （3分）所以，点P的坐标为 (4，) ， (4，)， (4，12) ， (4，).9如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A和点B二次函数的图象经过点B和点C（-1，0），顶点为P. （2010 松江 ）（1）求这个二次函数的解析式，并求出P点坐标；（2）若点D在二次函数图象的对称轴上，且ADBP，求PD的长；（3）在（2）的条件下，如果以PD为直径的圆与圆O相切，求圆O的半径OCBAyx（第24题图）解：（1）因为直线分别与x轴、y轴交于点A和点B由得，得， 所以1分把代入中，得， 解得2分这个二次函数的解析式为 1分，P点坐标为P 1分（）设二次函数图象的对称轴与直线交于E点，与x轴交于F点把代入得，1分PE/OB，OF=AF， ADBP，2分（3）， ，设圆O的半径为，以PD为直径的圆与圆O相切时，只有外切，1分， 解得：， 3分即圆O的半径为或10yOxCABD（第24题图）E如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，联结CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E（2010 闵行 ）（1）求m的值；（2）求CDE的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由11如图，抛物线交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C。已知B（8，0），ABC的面积为8. (2010 长宁)（1） 求抛物线的解析式；（2） 若动直线EF（EF/x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动。联结FP，设运动时间t秒。当t为何值时，的值最小，求出最大值；（3） 在满足（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与ABC相似。若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由。（1）（5分）由题意知 COB = 90B(8，0) OB=8 在RtOBC中tanABC = OC= OBtanABC = 8=4 C(0,4) 1分 AB = 4 A(4,0) 1分把A、B、C三点的坐标带入得 解得 .2分所以抛物线的解析式为。.1分（2）（5分）C ( 0, 4 ) B ( 8, 0 ) E ( 0, 4-t ) ( t 0) OC = 4 OB = 8 CE = t BP=2t OP =8-2t 1分EF / OB CEF COB 则有 得 EF = 2t .1分 =.2分 当t=2时 有最大值2. .1分（3）（4分）存在符合条件的t值，使PBF与ABC相似。C ( 0, 4 ) B ( 8, 0 ) E ( 0, 4-t ) F(2t , 4 - t ) P ( 8-2t , 0 ) ( t 0) AB = 4 BP=2t BF = OC = 4 OB = 8 BC = 当点P与A、F与C对应 则代入得 解得 2分当点P与C、F与A对应 则代入得 解得 （不合题意，舍去）2分综上所述：符合条件的和。12xyO已知直线与轴交于点A，与轴交于点B，与抛物线交于点A和点C，抛物线的顶点为D。 （2010 杨浦 ）（1）求直线和抛物线的解析式； （2）求的面积。解：（1）直线 过点C，k=，-1分A(-2,0)，-1分抛物线交于点A和点C， 即，解得，抛物线解析式为-2分（2）可求得顶点D-2分作DHy轴，交y轴于H-1分-1分 =-2分13 。已知：如图六，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线yax3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12BOCOOyAOxD（图六）（1）求该抛物线的对称轴；（2）P是经过A、B两点的一个动圆，当P与轴相交，且在轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；（3）若线段DO与AB交于点E，以点 D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由（2010 闸北 ）解：