[理学]高等代数基础习题答案 (2).doc

第九章 欧几里得空间1 定义与基本性质 一、 填空题1 ； 2. 正交 ； 3. ;4 . 正定矩阵 ;5. .二、 判断题1.T ; 2. T ; 3. T ; 4. T.三、 解答题1. 证明: 容易验证欧氏空间定义的公理化条件都成立.因此对所规定的内积构成欧氏空间.2. 解:所以该基的度量矩阵为.3. 解: 设为与都正交的单位向量,则,解方程组的.2-3 标准正交基同构一、判断题 1.F; 2.T; 3.F; 4. F .二、填空题 1. 小于等于n ; 2. 正交 .一、 解答题1.解 令,然后单位化得出的一个标准正交基:.2.解:令, 对单位化得的一组标准正交基:4 正交变换 一、 判断题 1.F ; 2.T ; 3. T.二、 解答题1. 解: 因为关于标准正交基的矩阵为,显然它是一个正交矩阵,因此是一个正交变换. 2.证明: 由于正交变换是保内积变换因此也是保长度变换,故必要性易证.往证充分性:由 ,即,利用内积的定义与条件容易得到.故是正交变换. 5 子空间一、判断题 1. T; 2.T ; 3. T .二、解答题 1 解：（法一）先对扩充为的基，求出标准正交基。由于为的基，对它们正交化容易求出正交基：，则。（法二）解齐次线性方程组得基础解系，从而2 解：(1)容易验证是齐次线性方程组的一组基础解系，故其解空间，对施行单位正交化方法可求解空间的一标准正交基:.(2) 是线性方程组的解空间。的基础解系的一组基础解系为，故。并求。3 证明: ，令，因为的任意解向量都于正交，故的解空间为。所以有解可由线性表示，即的解空间正交。6 对称矩阵的标准形一、判断题 1.F; 2.F; 3.F; 4.F.二、解答题1 取的标准正交基容易计算在该基下的矩阵是为对称矩阵，从而是的一个对称变换。2 证明：设是的两个对称变换，则关于标准正交基的矩阵都是对称矩阵，因此关于标准正交基的矩阵也是对称矩阵，从而是对称变换。3解：先求的特征根及相应的特征向量。因此矩阵的特征值为对特征值得到，然后单位化得到；对于特征值得到，然后单位化得到；对于特征值得到，然后单位化得到；取，则3.设对称矩阵,试求正交矩阵，使为对角形。7-8 向量到子空间的距离最小二乘法酉空间介绍达标训练习题解答1解 最小二乘解所满足的代数方程为即解之得 为所求的最小二乘解。第九章 测试题一、 填空题1；2。若，则；3。；4；1 。二、 判断题1（F）；2。（T）； 3。 (F); 4. (T);5. (F); 6.(T).三、选择题 1（C）；2。（A）； 3。（B）。四、解答题1解 容易计算矩阵的特征值为，。容易计算出是矩阵的属于特征值3的单位正交的特征向量；是矩阵的属于特征值7的单位正交的特征向量。故取，则。2.解 令， ，再令则它们是一个标准正交基。3.证明 （1）设，则。故。 （2）因为对任意，根据内积的性质知，即。4解 首先把正交化、单位化得到，然后再把它扩充为的标准正交基，故5.证明：因为，分别取的标准