大学物理马文蔚课堂笔记.ppt

上海师范大学1 3.9 质心 质心运动定律 1. 对于分立的质点系 x z y O m2 m1 Cmi mN 第一章和第二章学习了质点的运动学和动力学. 本章的前几节从能量及其守恒定律的角度学习了质点系的运动规律. 但对于质点系的运动学和动力学没有讨论 .因为质点系的运动学方程组和动力学方程组的求解太复杂. 换一个角度考虑, 质点系的运动可以看成是质心的运动和质点系中各质点 相对于质心的运动. 例如, 跳水运动员在空中的运动可以看成质心的运动和相对于质心的转动. 一、质心的坐标 m是质点系的总质量. (1) /14 上海师范大学2 3.9 质心 质心运动定律 直角坐标系下： 2. 对于质量连续分布的物体 x z y O m2 m1 C(xc,yc,zc ) mi mN 对于质量连续分布的物体, 上面的求和要用 积分代替. 如右下图所示. x z y O C rc dm r 直角坐标系下： 是物体的总质量. 式中是质量元. (3) (2 ) (4) /14 上海师范大学3 3.9 质心 质心运动定律 下面通过两个例子掌握质量分立和连续分布体系的质心的求法. 例 1 水分子H2O是由两个氢原子和一个氧原子构成, 它们的结构如右下图 所示. 每个氢原子与氧原子之间距离均为d=1.010-10m, 氢原子与氧原 子两条连线之间的夹角为=104.60. 求水分子的质心. 解 如图所示, 将坐标原点建在氧原子的中心. H O H 52.30 52.30 Cx y 根据对称性可知, 质心的位置应该在对称轴(x轴)上. 密度均匀、形状对称分布的物体, 其质心都在它的几何中心处. 如质量均匀分布的圆环其质心在圆环中心; 质量均匀分布的球其质心在球心等. 即 由质心的计算公式可得, 即水分子的质心在对称轴上 距氧原子中心6.8 10-12m处. /14 上海师范大学4 3.9 质心 质心运动定律 例 2 求半径为R的匀质半薄球壳的质心. 解 如图所示, 将坐标原点建在球壳的球心. 根据对称性可知, 质心的位置应该在对称轴(z轴)上. 即 由质心的计算公式可得, 在球坐标系中进行计算, 球坐标系中有 y z 0 x C dS 设匀质薄球壳的质量面密度为, 则半球壳的总质量为 /14 上海师范大学5 3.9 质心 质心运动定律 y z 0 x dS C 将和 代入质心计算式 得, 由此可得, 质心的坐标为(0,0, R/2), 质心在半球壳对称轴上半径的中点处. 二、质心运动定律 以上讨论的是如何确定任意体系的质心位置. 那么质心的运动遵守什么规律呢 ? 遵守牛顿定律吗 ? 因为质点的质量及总质量是不变的, 因此上式两边对时间求导数, 得 (5) 设质点系由n个质点组成. /14 上海师范大学6 3.9 质心 质心运动定律 (5) 由速度的定义式可知是质心的运动速度; 是第i个质点的运动速度. 因此, (5)式可以写成, (6) (6)式表明, 系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度乘以系统的质量. 即系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的动量. (6)式两边再对时间求导数得, 由质点系的动量定理(P553-4b式) 可得, (7) /14 上海师范大学7 3.9 质心 质心运动定律 (7) (7)式表明, 作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度. -这一结论称为质心运动定律. (7)式形式上相当于质点系的所有质量都集中在质心上, 而所有外力都作用在 质心上时的牛顿第二定律. 例 3 设有一质量为2 m的弹丸, 从地面斜抛出去, 它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片, 其 中一个碎片竖直自由下落, 另一个碎片水平抛出, 它们同时落地, 试问第二个碎片落地点在何处 ? mm 分析, 本题可以用二种方法求解: (ii) 直接用运动学方法求解. (i) 用质心运动定律求解. 下面用二种方法进行求解. 2mC /14 上海师范大学8 3.9 质心 质心运动定律 2m C m m 由质心坐标的计算公式可得, 解法一: 书上的解法-用质心运动定律求解. 由于爆炸是属于内力, 因此根据质心运动定律 可知, 爆炸前后弹丸的质心运动轨迹是相同的 . 建立坐标系如图, 以第一个碎片的落地点为坐标原点. 第二个碎片的落地点为x2; 二碎片的质心坐标为xc . x o xC x2 由此可解得, 即第二个碎片的落地点与第一个碎片落地点之间的水平距离是碎片的质心 与第一个碎片落地点水平距离的两倍. 质心的落地点就是弹丸不爆炸时的落地点. /14 上海师范大学9 3.9 质心 质心运动定律 解法二: 直接用运动学方法进行求解. 设爆炸前弹丸的速度为v, 爆炸后第一个碎片 的速度为v1, 第二个碎片的速度为v2. 2m C m m x o xC x2 v2 V1=0 由于爆炸过程中, 内力远大于外力, 因此动量守恒. 题设爆炸后第一个碎片自由下落, 因此V1=0. 由此可得, 爆炸后第二个碎片的水平速度v2为 设爆炸后碎片下落的时间为 t, 则第二个碎片的落地点距第一个碎片落地点的距离为 如果弹丸不爆炸, 则弹丸的下落时间也是 t, 因此弹丸(质心)落地点距离原点为 即 由此可得, 即第二个碎片的落地点与第一个碎片落地点之间的水平距离是碎片的质心 与第一个碎片落地点水平距离的两倍. 与方法一计算结果相同. /14 上海师范大学10 习 题 课 /14 P97 习题3-30: 质量为m1的弹丸, 穿过如图所示的摆锤后, 速率由v减小到v/2. 已知摆锤的质量 为m2, 摆线长度为L, 如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动, 弹丸 的速度的最小值应为多少? vv/2 m1 m2 解 本题分为两个过程: 过程一: 弹丸与摆锤的碰撞过程; 过程二: 摆锤在竖直平面内作圆周运动的过程; 碰撞过程中, 弹丸与摆锤在水平方向合力为零, 因此水平方向动守恒. 设碰撞后摆锤的速度为 , 由动量守恒定律得 即 上海师范大学11 习 题 课 /14 碰撞后,摆锤在竖直平面内作圆周运动, 因此 在最高点处有, Fn是摆锤作圆周运动所需的向心力. vv/2 m1 m2 mg F 由此可得 最高点处的速率为 , 最高点处摆锤受到重力mg和绳子 的拉力F的作用, 如图所示 摆锤在竖直平面内作圆周运动的过程中只有重力作功,故机械能守恒. 取最低点为势能零, 则有 即 由此可得子弹速度为 上海师范大学12 习 题 课 P97 习题3-34: 如图所示, 一个质量为m的小球, 从内壁为半球形的容器边缘点A滑下, 设容器质 量为 , 半径为R, 内壁光滑, 并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上, 开始时小 球和容器都处于静止状态, 当小球沿内壁滑到容器底的点B时, 受到向上的支持 力为多大? m A R O B 解 桌面为参照系 (1) 在小球下落过程中, 小球和容器所受的合外力等于 零, 因此小球和容器构成的系统动量守恒. 当小球下落到最低点B时, 小球的速度方向沿水平向左. 设在B点时小球相对于桌面的速度为 由于动量守恒, 容器将向右运动, 设容器相对于桌面的速度为 设向左方向为正, 由动量守恒定律可得 /14 上海师范大学13 习 题 课 m A R O B (2) 在小球下落过程中, 小球和容器中只受到重力和 支持力作用, 因此小球和容器构成的系统机械能守恒. 取B点为势能零点, 由