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文档简介

一、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 3 一般项级数 证法一 由区间套定理， 即级数收敛于s. 证法二 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 仍构成一个交错级数 ， 解 显然单调趋于0， 解 原级数收敛. 二、绝对收敛与条件收敛 证明 与书上证 法不同 该定理的作用： 任意项级数正项级数 解 故由定理知原级数绝对收敛. 解 例5 解 绝对收敛。 例6 解 发散。 用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级 数一定发散。 三、绝对收敛级数的性质 1、级数的重排 映射 称为正整数列的重排。 定理 证* 即：绝对收敛的级数对加法有交换律。 由（1）的证明得： 下面证明两个级数的和相等。 前面已证收敛的正项级数重排后和不变， 证毕。 上述证明过程显然可以得到下面的结论： 命题： 同时可以证明： 命题： 证 矛盾！ 可以证明：条件收敛的级数，可以适当重排，使 其按任意预定的方式收敛或发散。 设其收敛于A， 两个级数相加，得 2、级数的乘积 两个无穷级数如何相乘？ 这两个级数中的项的所有可能的乘积为： 这些乘积可以按各种方法排成不同的级数， 常用正方形顺序和对角线顺序，分别为： “正方形”排序级数为： “对角线”排序级数为： 定理（柯西定理）： 则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对 收敛于AB. 例 考察： 按对角线顺序，得 该级数的和我们将来还会有其他方法求得。 二、 阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 引理（分部求和公式，Abel变换）： 离散型分部求和公式 证 代入即得。 解释“离散型分部求和公式” 推论（Abel引理） （2）对任一正整数 ，有 证 证毕。 定理（Abel判别法） 若（1） 为单调有界数列， 证 再由Cauchy准则， 证毕。 定理（Dirichelet判别法） 证 由Cauchy准则，证毕。 注（1） 交错级数的Leibniz判别法是Dirichelet 判别法的特例。 （2） 与反常积分类似，用Dirichelet判别法可以证 明Abel判别法。 无穷级数的Abel判别法： 若（1） 为单调有界数列， 无穷积分的Abel判别法： 无穷级数的Dirichelet判别法： 无穷积分的Dirichelet判别法： 例 同理， 例 解（1） 由Dirichelet判别法，得 收敛。 （2） 由Dirichelet判别法，得 显然其收敛性取决于
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