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第三章 实 数 集 实数理论是数学的基础。实数的连续性 是极限的基础，极限是微积分的基础。 人们在对实数的认识过程中，知道了有 限与无限，距离及逼近，完备与连续。 1 数学的研究对象：现实世界中的 数量关系及空间形式 研究数量关系离不开数。 我们这里涉及自然数、整数、有理数( 无理数) 、实数。集合符号分别为： 2 研究数的重要性 对数的研究形成了集合论及代数系统的 重要内容 实数的连续性是极限的基础，极限是微 积分的基础 人们在对实数的认识过程中，知道了有 限与无限，距离及逼近，完备与连续 实数理论是数学的基础 3 一、如何衡量元素的数目 1.你能数到多少？ 例1：两个古代贵族的数字游戏 某些原始部落，不存在比3大的数词 例2：印度舍罕王的奖赏 例3：世界末日的传说 只能数到不太大的有限数 4 2.元素多少的比较集合对等的概念 例4：玻璃珠与铜币哪个多？ 集合A与集合B 对等：存在一一对应(1-1, 满） 有限集的计数（元素个数）（势）： 记 Mn =1,2,n（ n为正整数） 如A为空集或与某个Mn 对等，称A为有限集 ，当A与某个Mn 对等时，称n为A 的计数。 5 两个有限集对等的充分必 要条件是其元素个数相等 有限集不与其真子集对等 6 3.怎样计数无穷大的数字？ 无限集的讨论 l 自然数集 l 可数集 l 可数集的运算 l 可数集的例子 7 l无限集必有可数子集 l可数集是最小的无限集 l研究可数集的意义 8 例5：客满旅店如何接待新客人 u无限集必与其某个真子集对等 u在无穷大的世界里，部分可能等于全 部。 9 4. 不可数集 (0,1)区间不可数 通过一一对应, (a, b)与(0,1)区间对等。 通过一一对应, (0,1)区间与实数集 R 对等。 10 5. 集合的势（定义，大小比较） 空集，有限集，可数集，不可数集 11 6.无限集的分类 如A与B 对等，则势相同， A与B 属于同一类。 第一类：可数集类（最简类） 第二类：连续统类 12 二、实数的连续性 有理数的定义 分数 有限小数与无限循环小数 13 2. 无理数的发现 大约公元前400年，古希腊毕达哥拉 斯学派成员希帕索斯发现“等腰直角三 角形的直角边与斜边不可通约”（ 的发现）。 芝 诺 悖 论 第一次数学危机的产生及解决。 14 十九世纪
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