[高三数学]2011年广东高考数学试题理科.doc

广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 1 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 二二. 填空题（本大题共填空题（本大题共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分。分。 ） （一）必做题（一）必做题（913 题）题） 9. 不等式不等式的解集是的解集是_.130xx 解答：解答：, ,130xx13xx , 即 ， 22 (1)(3)xx2169xx ，因此解集是.1x 1,) 10. 的展开式中的展开式中, 的系数是的系数是_.（用数字作答）（用数字作答） 7 2 ()x x x 4 x 解答：解答：, 552233 67 27 6 ()( 2)84 2 TC xxx x 的展开式中, 的系数是 84. 7 2 ()x x x 4 x 11. 等差数列等差数列前前 9 项的和等于前项的和等于前 4 项的和。若项的和。若, 则则 n a 1 1a 4 0 k aa k=_. 解答：解答：， 49 SS ， 567897 50aaaaaa ， 7 0a ， 47 02 k aaa ， 4 7 2 k .k10 12. 函数函数在在 _处取得极小值处取得极小值. 32 ( )31f xxxx 解答：解答：, 32 ( )31f xxx , 2 ( )363 (2)fxxxx x 当时，.( )0fx 1 0x 2 2x 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 2 因为当时，；当时，；当时，2x ( )0fx02x( )0fx0x , ( )0fx 所以在处，函数取得极小值，极小值为；在处，函数取得x 230x 极大值，极大值为 . 1 13. 某数学老师身高某数学老师身高 176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别为，他爷爷、父亲和儿子的身高分别为 173cm、170cm 和和 182cm。因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方。因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方 法预测他孙子的身高为法预测他孙子的身高为_cm. 解答：解答：因为儿子的身高 y 与父亲的身高 x 相关, 取得数据, , 11 ( ,)(173,170)x y 22 (,)(170,176)xy 33 (,)(176,182)xy , 173 170 176170 176 182 173,176 33 xy , 222 00(176 173)(182 176) 1,176 1 1733 0(170 173)(176 173) ba 所以.3yx 当时，.182x 1823y 185 （二）选做题（二）选做题 14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程为（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程为 和和，它们的交点坐标为，它们的交点坐标为 5cos sin x y (0) 2 5 4 xt yt ()tR _. 解答：解答：将两参数方程转化为：和，联立求解， 2 2 1(0) 5 x yy 2 5 (0) 4 xyx 可得： ,（舍去） ，代入, 可得, （舍去） 1 1x 2 5x 1 1x 1 2 5 5 y 2 2 5 5 y 则交点坐标为. 2 5 (1,) 5 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 3 15.（几何证明选讲选做题）如图（几何证明选讲选做题）如图 4，过圆，过圆 O 外一点外一点 P 分别作圆的切线和割线交分别作圆的切线和割线交 圆与圆与 A,B 且且 PB=7, C 是圆上一点使得是圆上一点使得 BC=5, BAC=APB, 则则 AB=_. 解答：解答：因为 AP 为切线，所以 . 又因为,PABACB BACAPB , ,PABACB PBAB BABC .7 5ABPBBC35 图 4 三、解答题（三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和 演算步骤。 ） 16.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知已知，) 63 1 sin(2)( xxf.Rx (1) 求求的值的值.) 4 5 ( f (2) 设设,求求的值的值. 106 ,0,(3),(32 ) 22135 ff )cos( （本小题主要考查正弦的诱导公式，同角三角函数的基本关系、两角和的余弦（本小题主要考查正弦的诱导公式，同角三角函数的基本关系、两角和的余弦 公式等基础知识，考查推理论证和运算求解能力，以及化归与转化的数学公式等基础知识，考查推理论证和运算求解能力，以及化归与转化的数学 思想方法）思想方法） 解答：解答： （1） ) 64 5 3 1 sin(2) 4 5 ( f 4 sin2 2 （2） 101 (3)2sin(3)2sin 132326 f 5 sin 13 61 (32 )2sin(32 )2sin()2cos 5362 f 3 cos 5 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 4 ,0, 2 , 2 cos1 sin 2 sin1 cos , 12 cos 13 4 sin 5 12354 cos()coscossinsin 135135 16 65 注注 1：第一问的新解法：第一问的新解法 1 ( )2sin() 36 f xx 2sincos2cossin 3636 xx 3sincos 33 xx 555 ()3sincos 41212 f 3sin()cos() 6464 3sincos3cossincoscossinsin 64646464 2 第一问的新解法第一问的新解法 1 ( )2sin() 36 f xx 1 2sin() 332 x 1 2cos() 33 x 515 ()2cos() 4343 f 3 2cos 4 2 第一问的新解法第一问的新解法 55 ()2sin() 4126 f 55 2(sincoscossin) 126126 3 2662 2() 88 2 （2） 101 (3)2sin(3)2sin 132326 f 5 sin 13 22 512 cos1 sin1 () 1313 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 5 61 (32 )2sin(32 )2sin()2cos 5362 f 3 cos 5 22 34 sin1 cos1 ( ) 55 cos()coscossinsin 31254 513135 16 65 17.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产 品中分别抽取品中分别抽取 14 件和件和 5 件，测量产品中微量元素件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）的含量（单位：毫克）, x y .下表是乙厂的下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：件产品的测量数据： 编号编号12345 x169178166175180 y 7580777081 （1）已知甲厂生产的产品共有）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素）当产品中的微量元素满足满足时，该产品为优等品时，该产品为优等品.用上述用上述, x y17575xy且 样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的件，求抽取的 2 件产品中优等件产品中优等 品数品数 的分布列及其均值（即数学期望）的分布列及其均值（即数学期望）. 解答：（解答：（1） 解法解法 1：， 98 7 14 ， 5 7 35 即乙厂生产的产品数量为 35 件。 解法解法 2：设乙厂生产的产品数量为，则有， n 9814 5n 解得。 35n 即乙厂生产的产品数量为 35 件。 解法解法 3：设乙厂生产的产品数量为，则有， n 9814 98145n 解得。 35n 即乙厂生产的产品数量为 35 件。 解法解法 4：设甲、乙两厂生产的产品总数量为，则有， n 9814 19n 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 6 解得。 133n 故乙厂生产的产品数量为件。 1339835 解法解法 5：设甲、乙两厂生产的产品总数量为，乙厂生产的产品数量为，则mn 有 9814 19 5 19 m n m 解得。 35n 故乙厂生产的产品数量为 35 件。 （2） 易见只有编号为 2，5 的两组产品为优等品， 所以乙厂生产的产品中的优等品率为， 2 5 ， 2 35=14 5 故乙厂生产有大约件优等品. 14 （3） 解法解法 1：的取值为 0，1，2. 2112 3322 222 555 331 (0)(), (1)(), (2)(). 10510 CCCC PPP CCC 所以的分布列为： 012 P 3 10 6 10 1 10 故的均值为 331 012 10510 E =4/5. 解法解法 2：的取值为 0，1，2. 326322312212 (0), (1), (2). 54205454205420 PPP 所以的分布列为： 012 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 7 P0.30.60.1 故的均值为 0 0.3 1 0.62 0.1E . 0.8 18.(本小题满分本小题满分 13 分分) 如图如图 5，在锥体，在锥体 P-ABCD 中，中，ABCD 是边长为是边长为 1 的菱形，且的菱形，且DAB=60， PA=PD=，PB=2，E,F 分别是分别是 BC,PC 的中点的中点2 (1)证明：证明：AD平面平面 DEF； (2)求二面角求二面角 P-AD-B 的余弦值的余弦值 E F P D C B A 证法证法 1：(1) AD=AB=1，DAB=60，ABCD 是边长为 1 的菱形. ABD，CBD 均为边长为 1 的正三角形. E 为 BC 的中点，BCDE. 又ADBC， ADDE. 取 AD 的中点 G，连结 PG，BG，BD. 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 8 GE F P D C B A PA=PD=，G 为 AD 的中点，PGAD.2 AB=AD=1，G 为 AD 的中点，BGAD. 而 PGBG =G，AD平面 PBG ADPB. E、F 分别是 BC、PC 的中点.EFPB. ADEF. 由 ADDE，ADEF、EFDE=E 知 AD平面 DEF. （另一方法：另一方法：从 AD平面 PBG 之后开始 由于 E、F 分别为 BC、PC 的中点，则 DEBG,EFPB. 并且 DEDF=D，BGPB=B，面 DEF面 PBG. 知 AD平面 DEF. (2) 由(1)的证明知 PGAD，BGAD。又PG平面 PAD，BG平面 BAD. 平面 PAD平面 BAD=AD. PGB 为二面角 P-AD-B 的平面角. 在 RtPAG 中，, 2 7 22 AGPAPG 在 RtABG 中， 3 sin60 2 BGAB . 222 cos 2 PGBGPB PBG PG BG 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 9 . 73 4 21 44 773 2 22 证法证法 2： (1)AD=AB=1，DAB=60，ABCD 是边长为 1 的菱形. ABD，CBD 均为边长为 1 的正三角形. E 为 BC 的中点，BCDE. 又ADBC， ADDE. . 2 1 cos|ADCDCDADCDA 在ADP 中，. 22 1 2 2 1 cosPDA . 2 1 22 1 21cos|ADPDPDADPDA . 0)( 2 1 )( 2 1 DPDADCDADPDCDADFDA ADDF. 由 ADDE，ADEF、EFDE=E 知 AD平面 DEF. (2)与证法 1 的证明相同。 证法证法 3：（向量法） AD=AB=1，DAB=60，ABCD 是边长为 1 的菱形. ABD，CBD 均为边长为 1 的正三角形. E 为 BC 的中点，BCDE. 又ADBC， ADDE. 以 D 为原点， 的方向分别为 x 轴，y 轴的正向，建立如图所示的空间,DA DE 直角坐标系。 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 10 z y x GE F P D C BA 则有 D（0，0，0） ，C（） ，. 0 , 2 3 , 2 1 (1,0,0)A 取 AD 的中点 G，连 PG，GB. 由 GBDE， ADBG，可得 B（） ，G（）. 13 ,0 22 0 , 0 , 2 1 PA=PD PGAD， 可设 P（）. zy, 2 1 GE F P D C B A 于是，（或用） 31 (0,),( , , ) 22 PByz DPy z 1 ( ,), 2 PAyz 222 3 |()4 2 PByz 222 1 |2 4 PDyz 解得 P（）. 1 , 2 3 , 2 1 又 C（） ，F（）. 0 , 2 3 , 2 1 2 1 , 0 , 0(1,0,0),DA 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 11 13 (0,0, ),(0,0) 22 DFDE ，0,0DA DFDA DE DADF，DADE. AD平面 DEF. (2) 由（1）得， 13 ( ,1) 22 DP (1,0,0)DA 设面 PAD 的法向量为 ( , , )nx y z 由于，且， 13 0 22 DP nxyz 0n DAx 所以取 3 (0, 1,). 2 n 又面 ABD 的法向量， (0,0,1)m ( 或 ) | ,cos nm nm nm 3 2 3 11 4 =. 21 7 证法证法 4： （1）AD=AB=1，DAB=60，ABCD 是边长为 1 的菱形. ABD，CBD 均为边长为 1 的正三角形. E 为 BC 的中点，BCDE. 又ADBC， ADDE. 过点 P 作 PO平面 ABCD.垂足是点 O 连接 OA、OD. 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 12 O H GE F P D C B A 取 AD 的中点 G，连接 OG、GB， 则由 PA=PDOA=OD 2 OGAD BGAD OBAD 又 POAD， POOB =O， AD平面 PBO ADPB .又 EFPB ADEF ADDE，ADEF，DEEF =E AD平面 DEF. （2）连接 PG 后，与证法 1 的（2）相同 证法证法 5： AD=AB=1，DAB=60，ABCD 是边长为 1 的菱形 ABD，CBD 均为边长为 1 的正三角形. E 为 BC 的中点，BCDE 又ADBC ADDE 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 13 O H GE F P D C B A 取 PB 的中点 H，连结 AH，DH 在APB 中，PA=，AB=1，PB=22 由三角形的中线长公式得 AH=，同理可得 DH=. 2 2 2 2 取 AD 的中点 G 则 HGAD ADBG ADHG AD平面 HGB ADPB 又 EFPB ADEF 由 ADDE ADEF 得 AD平面 DEF O H GE F P D C B A （证（证 FDAD 的另法：的另法： 1) 2 3 2(2 2222 OBPBPO 5) 11 (1 2222 OCPOPC 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 14 FD=PO= 2 1 2 1 在APC 中，PA=，AC=，PC=，F 为 PC 的中点2 2 3 235 由三角形的中线长公式，得 AF=。 2 5 在ADF 中，由 AD=1，DF=，AF=知 ADDF 2 1 2 5 由 ADDE，ADDF，DEDF=D 知 AD平面 DEF. （2）连接 PG 后，与证法 1 的（2）相同 证法证法 6： (1) 取 AD 中点为 G， 因为 PA=PD， 所以 PGAD， 又 AB=AD, DAB=60,ABD 为等边三角形，因此，BGAD, 从而 AD平面 PBG 延长 BG 到 O 且使得 POOB, 又 PO平面 PBG, POAD, ADOB=G, 所以，PO平面 ABCD. 以点 O 为坐标原点，1 为单位长度， 的方向分别为 x 轴，z,OB OPAD 轴，y 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设 P(0,0,m）,G(n,0,0) 则 11 ( ,0),( ,0) 22 A nD n G y z x O E F P D C B A , 3 sin60 2 GBAB 333 13 1 (,0,0),(,1,0),(,0),(,) 2222242 2 nm B nC nE nF 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 15 于是， 33 (,0,0),(,0,), 2242 nm DEFE 得 ADDE, ADFE, 0,0,AD DEAD FE 而 DEFE=E, AD平面 DEF. (2) 13 ( ,),(,0,), 22 PAnm PBnm 2222 13 2, ()2, 42 mnnm 解之得. 3 1, 2 mn 设平面 PAD 的法向量， 2 ( , , )na b c 由于，得，由，得， 2 0PA n 3 0 22 b ac 2 0PD n 3 0 22 b ac 取 2 3 (1,0,). 2 n 取平面 ABD 的法向量， 1 (0,0, 1)n 12 12 12 3 21 2 cos, 77 1 4 n n n n nn 证法证法 7：（：（1） AD=AB=1，DAB=60，ABCD 是边长为 1 的菱形. ABD，CBD 均为边长为 1 的正三角形 E 为 BC 的中点，BCDE 又ADBC ADDE 取 PB 的中点 H，连结 AH，DH 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 16 H GE F P D C B A 在APB 中，PA=，AB=1，PB=22 由三角形的中线长公式得 AH=，同理可得 DH= 2 2 2 2 取 AD 的中点 G DH=AH=， GHAD 2 2 E、F、G、H 分别是 BC、PC、AD、PB 的中点 ABD、CBD 均为边长为 1 的正三角形 GDBEHF/ H GE F P D C B A HGDF 是平行四边形，GHDF ADDF ADDE，ADDF、DFDE=D AD平面 DEF 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 17 (2)连接 PG、BG、则 PGAD，BGAD. PGB 为二面角 P-AD-B 的平面角 设PGH 为，则 GHPG PHGHPG 2 cos 222 7 72 2 1 2 7 2 1 4 1 4 7 20 cos1sin)90cos(cosPGB 7 21 7 4 1 证法证法 7 中（中（2）问的向量法）问的向量法 1： 由（1）问知 HGAD，由勾股定理得 GH=， 2 1 由勾股定理逆定理得 GHGB ，GH平面 ABCD 延长 BG 至点 K，使 KG=BG，连接 PK， H、G 分别为 PB、KB 的中点 PKHG PK=2HG=2=1 2 1 PK平面 ABCD 以 G 为坐标原点，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建,GA GB GH 立空间直角坐标系，则 G(0,0,0） ，A(,0,0） ，P(0，,1)，H(0,0，) 2 13 2 1 2 K z y x H GE F P D C B A 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 18 于是 313 (0,1),(,1) 222 GPAP 设平面 PAD 的法向量( , , )na b c 则由 得 0 0 APn GPn 0 2 3 2 0 2 3 cb a cb 取，则 b=2，a=03c 是平面 PAD 的一个法向量 0 (0,2, 3)n 取平面 ABD 的一个法向量， 1 1 (0,0,) 2 n 01 01 01 1 3 21 2 cos, 1 7 7 2 nn n n nn 证法证法 7 中（中（2）问的向量法）问的向量法 2： 由（1）问知 HGAD，由勾股定理得 GH=， 2 1 由勾股定理逆定理得 GHGB ，GH平面 ABCD 由（1）问知 FDGH，FD平面 ABCD 延长 CD 至 M，使 MD=CD. 连接 PM， F、D 分别为 PC、MC 的中点 PMFD，PM=2FD=2HG=2=1 2 1 PM平面 ABCD 以 D 为坐标原点，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间,DA DE DF 直角坐标系， 则 D(0,0,0） ，A(1,0,0） ，F(0,0，)，于是 13 ( ,1) 22 P 1 2 1313 ( ,1),(,1) 2222 DPAP 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 19 z y M x H GE F P D C B A 设平面 PAD 的法向量，于是 2 ( , , )na b c 由 得 0 0 2 2 APn DPn 0 2 3 2 0| 2 3 2 cb a cb a 取，则有. 3 2 c 2 3 (0,1,) 2 n 取平面 ABD 的一个法向量 . 1 1 (0,0,) 2 nDF . 12 12 12 13 21 22 cos, 713 1 24 n n n n nn GE F P D C B A 证法证法 8：（1） AD=AB=1，DAB=60，ABCD 是边长为 1 的菱形. ABD，CBD 均为边长为 1 的正三角形. H 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 20 E 为 BC 的中点，BCDE. 又ADBC， ADDE. 取 AD 的中点 G，连结 PG，BG，BD，GC. PA=PD=，G 为 AD 的中点，PGAD. 2 设 GC 交 DE 于 H，连结 FH. 四边形 DGEC 是平行四边形， H 为 GC 的中点. 又F 是 PC 的中点. FHPG. ADFH. 由 ADDE，ADFH、FHDE=H 知 AD平面 DEF. (2)与证法 1 的证明相同。 证法证法 9：（1） ABCD 是菱形，ACBD 如图建立空间直角坐标系 o-xyz z y x O E F P D C B A 边长为 1，DAB=60 BD=1 AC= A,C, B, D3)0 , 0 , 2 3 ()0 , 0 , 2 3 ()0 , 2 1 , 0() 0 , 2 1 , 0( 设 P（x,y,z）则 3 (, , ) 2 APxy z 1 ( , ) 2 DPx yz 1 ( , ) 2 DPx yz 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 21 P（ 2) 2 1 ( 2) 2 1 ( 2 2 3 222 2 222 2 22 2 2 zyxDP zyxDP zyxAP 1 1 2 3 z y x ) 1 , 1, 2 3 ( E F = =) 0 , 4 1 , 4 3 () 2 1 , 2 1 , 0( DE) 0 , 4 3 , 4 3 (DF) 2 1 , 0 , 0( = DA) 0 , 2 1 , 2 3 (0DEDA0DFDA AD平面 DEF (2) 设平面 PAD 的法向量( , , )ma b c = =DA) 0 , 2 1 , 2 3 (DP) 1 , 2 1 , 2 3 ( 0 2 1 2 3 0 2 1 2 3 cbaDPm baDAm (1,3,3)m 平面 ABD 的一个法向量(0,0,1)n 321 cos, 71 33 1 m n m n mn 面 P-AD-B 的平面角的余弦为 21 7 19. (本小题满分本小题满分 14 分分) 设圆设圆与两圆与两圆中的一个内切中的一个内切,另一个外切另一个外切.C 22 22 54,54xyxy (1) 求求的圆心轨迹的圆心轨迹的方程的方程;CL (2) 已知点已知点,且且为为上的动点上的动点.求求的最大值及的最大值及 3 5 4 5 ,5,0 55 MF PL|MPFP 此时点此时点的坐标的坐标.P 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 22 (本小题主要考查两圆的位置关系、双曲线的定义等基础知识本小题主要考查两圆的位置关系、双曲线的定义等基础知识,考查推理论证和运考查推理论证和运 算求解能力算求解能力,以及数形结合、化归与转化的数学思想方法以及数形结合、化归与转化的数学思想方法.) (1) 解解：设的圆心的坐标为,由题设条件知C( , )x y 22 22 554,xyxy 化简得的方程为 L 2 2 1. 4 x y 43211234 x 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 y P M F O T1 T2 (2) 解解：过的直线 的方程为:将其代入的方程得,M Fl 25 ,yx L 2 1532 5840.xx 解得故 与的交点为 12 6 514 5 , 515 xxlL 12 6 52 514 5 2 5 ,. 551515 TT 因在线段外, 在线段内，所以, 1 TMF 2 TMF 11 | 2MTFTMF 22 MTFT .若不在直线上,则在中有 | 2MFPMFMFP| 2.MPFPMF 故只在点取得最大值 2. |MPFP 1 T (1)解法一解法一 设的圆心的坐标为,由题设条件知C( , )x y 22 22 554,xyxy 化简得的方程为 L 2 2 1. 4 x y 解法二解法二 由题设条件可知,两圆和的圆心分别为4)5( 22 yx4)5( 22 yx 和,其半径均为 2. 1( 5,0)F ( 5,0)F 设的圆心为,则到的距离分别为:C( , )P x yP 1, F F 22 22 1 |5,|5PFxyPFxy 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 23 由与两圆中的一个内切,另一个外切,所以C 22 22 54,54xyxy 1 4.PFPF 由双曲线定义知,轨迹是以,为焦点的双曲线. L 1( 5,0)F ( 5,0)F 由于,可得 24a , 5c . 1 22 acb 故轨迹的方程为 L 2 2 1. 4 x y (2)过的直线 的方程为: ,M Fl 25 ,yx 将其代入的方程得 L 2 1532 5840.xx 解得 12 6 514 5 ,; 515 xx 故 与的交点为 lL 12 6 52 514 5 2 5 ,. 551515 TT 因在线段外, 1 TMF 11 | 2;MTFTMF 在线段内,故 2 TMF 22 | 2.MTFTMF 若不在直线上,在中有 PMFMFP| 2.MPFPMF 故只在点取得最大值 2. |MPFP 1 T 43211234 x 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 y P M F O T1 T2 解法二解法二 当在双曲线的左支时, P1 4 2 2 y x . 2 MFFPMP 当在双曲线的右支时, P1 4 2 2 y x . 2 MFFPMP 当且仅当在线段的延长线上时取等号. 故的最大值为PMFFPMP . 2 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 24 又直线的方程为 MF 25 ,yx 将其代入得 1 4 2 2 y x 2 1532 5840.xx 解得 , 5 56 1 x. 15 514 2 x 因为 所以取得最大值 2 时，点的坐标为,5 5 6 55 5 14 |MPFPP ). 5 52 , 5 56 ( 20 （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 设设, 数列数列满足满足 .0b n a 1 ,ab 1 1 22 n n n nba a an 2n (1)求数列求数列的通项公式的通项公式; n a (2)证明证明: 对于一切正整数对于一切正整数, .n 1 1 1 2 n n n b a （本小题主要考查等差、等比数列的通项公式与前（本小题主要考查等差、等比数列的通项公式与前项和公式、基本不等式等项和公式、基本不等式等n 基础知识，考查推理论证和运算求解能力，以及分类与整合、化归与转化基础知识，考查推理论证和运算求解能力，以及分类与整合、化归与转化 的数学思想方法的数学思想方法) 第一问：求数列第一问：求数列的通项公式；（本小题满分的通项公式；（本小题满分 8 分）分） n a (1)解法解法 1(国标国标): 由知, 1 ,ab 1 1 22 n n n nba a an 0 1 1 221 n nn an anba 1 121 nn nn abb a A 令, 1 1 , n n n AA ab 当时, 2n 1 12 nn AA bb 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 25 2 12 12 n A bb bb 21 1 211 1222 nn nn A bbbb . 21 21 1222 nn nn bbbb 当时, 2b 12 1 2 1 n n bb A b . 2 2 nn n b bb 当时, . 2b 2 n n A 2 ,2 2 2,2 n nn n nbb b a b b 解法解法 2: 由知, 1 ,ab 1 1 22 n n n nba a an 0 ， 1 1 221 n nn an anba 。 1 121 nn nn abb a A 令, 1 1 , n n n AA ab 当时, 2n 1 12 nn AA bb 当时, 令， 2b 1 2 nn AA b 整理得，由，得. 1 22 1 nn AA bb 21 1 bb 1 2b 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 26 . 1 121 22 nn AA bbb 数列是首项为,公比为的等比数列. 1 2 n A b 1 12 22 A bbb 2 b ， 1 122 22 n n A bbbb A . n A 2 2 nn n b bb 当时, .2b 1 1 2 nn AA 数列是首项为,公比为的等差数列. n A 1 1 2 A 1 2 . 11 1 222 n n An 2 ,2 2 2,2 n nn n nbb b a b b 解法解法 3: 由知, 1 ,ab 1 1 22 n n n nba a an 0 1 1 221 n nn an anba 1 121 nn nn abb a A 令, 1 1 , n n n AA ab 当时, 2n 1 12 nn AA bb 两边同乘以得: , 2 n n b 11 1 1 222 nnn nn nnn bbb AA 得. 11 1 1 222 nnn nn nnn bbb AA 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 27 112 112 112 ()() 22222 nnnnn nnnnn nnnnn bbbbb AAAAA 2 211 2 () 222 bbb AAA . 12 12 1 2222 nn nn bbb 当时, 2b 1 1 22 2 22 1 2 n nnn n n b bb A b b . n A 2 2 nn n b bb 当时, . 2b 2 n n A 2 ,2 2 2,2 n nn n nbb b a b b 解法解法 4: 由知, 1 ,ab 1 1 22 n n n nba a an 0 1 1 221 n nn an anba 1 121 nn nn abb a A 令, 1 1 , n n n AA ab 当时, 2n 1 12 nn AA bb . 1 12 nn AA bb . 11 2 nnnn AAAA b 数列是首项为,公比为的等比数列. 1nn AA 21 2 2 AA b 2 b . 1 1 21 222 n n nn n AA bbb 121321nnn AAAAAAAA 广东省 2011 年数学高考试题解法研究（理科） 28 . 21 23 1222n