七级数学思维探究线段、射线与直线（含答案）.docx

欧几里得，古希腊数学家在流传了几千年的光辉著作几何原本中，他用公理化方法将古希腊丰富的几何学知识整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学，传说托勒密王曾经问他，除了他的几何原本外还有没有学习几何的捷径，他回答说：“几何，无王者之道”这句话成为千古流传的名言21线段、射线与直线解读课标意大利科学家伽利略曾说：“大自然用数学的语言讲话，这个语言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体”构成平面图形的基本元素是点和线在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物运动成线，线运动成面，面运动成体在线中，最简单、最常见的就是线段、射线、直线，它们的概念、画法、性质不但是后续学习研究由线段组成的较复杂图形的基础，而且为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形的研究观察一操作一思考一交流一总结是学习平面图形性质的有效途径，解与线段相关的问题时，常用到中点、代数化、穷举、分类与讨论等概念与方法问题解决例1 已知一条直线上有、三点，线段的中点为，线段的中点为，则线段的长为_试一试利用中点表示相关线段，因未给出图形，故应考虑点位置的多种可能例2如图，已知是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，为的中点，为的中点，则等于（ ）A B C D试一试利用中点，设法把、用含相同线段的代数式表示，例3（1）在一条直线上有个点，以这些点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有条两两相交直线，这条直线最少有几个交点？最多有几个交点？试一试从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律，或运用“两点确定一条线段（直线）”、“两条直线相交有且只有一个交点”等几何性质作抽象分析，例4 已知为线段的中点，是线段的中点（1）画出相应的图形，并求出图中线段的条数；（2）若图中所有线段的长度和为，求线段的长度；（3）若为线段上的点，为的中点，求线段的长度试一试对于（2），设，把其他线段长用的式子表示，通过列方程求解：对于（3），把长用恰当的线段和表示例5如图，已知点、是数轴上三点，为原点点对应的数为，（1）求点、对应的数；（2）动点、同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动、为的中点，在上，且，设运动时间为求点、对应的数（用含的式子表示）；为何值时，分析 对于（2），把、进一步用含的式子表示，建立的方程解 （1）、两点对应的数分别为、（2），为中点，则，点对应的数为，点对应的数为，由得由得故当秒或秒时巧合还是必然例6如图，“回”字形的道路宽为米，整个“回”字形是一个长米、宽米的长方形场地，如果你沿着小路的中间从内部出发走完这条小路，共走多少米？ 分析与解 行走路线的总宽为，总长为，因此走完这条小路的总长为细心的读者会发现，正好是长方形场地长与宽的乘积，也就是说，走完这条小路的总长与这块长方形场地面积的数值相等追问 上述关系是巧合还是必然？若是巧合，怎样解释这一现象；若是必然，又如何证明？探究（1）若路宽为米，走完这条小路共走多少米？（2）若长方形的场地的长为，宽为，其中充满宽为的小路，走完这条小路共走多少米？数学冲浪知识技能广场1如图，已知线段，延长到，使，为的中点，那么的长为_2已知点在直线上，且线段的长度为，线段的长度为，、分别为线段、的中点，则线段的长度为_3小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短；展开后按图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是_4如图，是的中点，是的中点，下列等式不正确的是（ ）A B C D5如图，点、顺次在直线上，是线段的中点，是线段的中点若想求出的长度，则只需条件（ ）A B C D6如图，有、三户家用电路接人电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（ ）A户最长 B户最长 C户最长 D三户一样长7已知线段，直线上有一点（l）若，求的长；（2）若是的中点，是的中点，求的长8（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系（3）平面上有条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与之间的关系思维方法天地9如图，、依次是上的三点，已知，则图中以、这个点为端点的所有线段长度的和为_10平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定条直线若平面上不同的个点最多确定条直线，则的值为_11如图，一根长为、宽的长方形纸条，将它按图所示的过程折叠为了美观，希望折叠完成后纸条端到点的距离等于端到点的距离，则最初折叠时，的长应为_12某班名同学分别站在公路的、两点处，、两点相距米，处有人，处有人要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）A点处 B线段的中点处C线段上，距点米处 D线段上，距点米处13公园里准备修条直的通道，并在通道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（ ）A个 B个 C个 D个14线段上选取种点，第种是将等分的点；第种是将等分的点；第种是将等分的点，这些点连同线段的端点可组成线段的条数是（ ）A B C D15电子跳蚤游戏盘为，如果电子跳蚤开始时在边上点，。第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳到边上点，且跳蚤按上述规则跳下去，第次落到，请计算与之间的距离16在直线上，点在、两点之间，点为线段的中点，点为线段的中点若，且使关于的方程有无数个解（1）求线段的长；（2）试说明线段的长与点在线段上的位置无关；（3）如图，若点为线段的中点，点在线段的延长线上，试说明的值不变17切蛋糕在小明岁的生日晚会上，一共有位客人到场，在他吹灭了生日蜡烛，准备切蛋糕时，爸爸说：“小明，你能用最少的切割次数为我们在座的人每切一份蛋糕吗？你切割次，最多能切得多少块蛋糕？”18已知数轴上、两点对应数分别为和，为数轴上一动点，对应数为（1）若为线段的三等分点，求点对应的数；（2）数轴上是否存在点，使点到点、点距离和为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由（3）若点、点和点（点在原点)同时向左运动，它们的速度分别为、个长度单位分，则第几分钟时，为的中点？21线段、射线与直线问题解决例1 或例2B，例3（1）；（2）当平面内两两相交的条直线交于一点时，此时交点个数最少为个；为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，可使其任意两线相交都产生一个新的交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为例 4（1）略（2）（3）例6追问假定有这样一条长方形的小路，宽，长，如图，沿着这条小路的中间行走，显然行走路线的长为，这就说明行走路线的长与宽为的长方形小路的长是相等的由于长方形场地充满了宽的小路，这便启发我们将长方形场地分割成条宽、长的小路，如图，于是这条小路的总长为探索（1）；（2）假定有这样一条小路，长为，宽为沿着这条小路的中间行走，显然行走路线的长为由于长为，宽为的长方形场地可以分割成条长为、宽为的长方形小路，可知这条小路的长为数学冲浪1 2或 3 4D 5A 6D 7（1）或（2）8（1）如图1，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成个或个区域；如图2，三条直线因其位置关系的不同，可以分别把平面分成个、个和个区域（2）如图3，四条直线最多可以把平面分成个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点（3）平面上条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成个区域，平面本身就是一个区域，当时，；当时，；当时，；当时，由此可以归纳公式9其长度总和10平面上个不同点最多可确定条直线11设，则12A设集合地点在线段的处，距点米，则距点米，所走的路程总和为，当时，总和最小为米13