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第五、六节 复变函数及其极限 与连续 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限 三、复变函数的连续性 四、小结与思考 2 一、复变函数的概念 1.复变函数的定义: 3 2.单(多)值函数的定义: 3.定义集合和函数值集合: 4 4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如, 5 5.映射的概念 引入: 6 映射的定义: 7 两个特殊的映射: 8 且是全同图形. 9 10 根据复数的乘法公式可知, 11 (如下页图) 12 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中 同一个长方形. 13 以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线) 以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线) 14 6. 反函数的定义: 15 根据反函数的定义, 当反函数为单值函数时, 今后不再区别函数与映射. 16 解 例1 还是线段. 17 例1 解 18 例1 解 仍是扇形域. 19 二、复变函数的极限 1.函数极限的定义: 注意: 20 2. 极限计算的定理 定理一 证 根据极限的定义 (1) 必要性. 21 (2) 充分性. 22 证毕 说明 23 定理二 与实变函数的极限运算法则类似. 24 三、复变函数的连续性 1. 连续的定义: 25 定理三 例如, 26 定理四 27 特殊的: (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 28 例2 证 在z2处连续否？ 结论：不连续 30 四、小结与思考 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质. 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多. 31 思考题 1. “函数”、“映射”、“变换”等名词有无区 别？ 32 思考题答案 在复变函数中, 对“函数”、“映射”、“变换” 等名词的使用, 没有本质上的区别. 只是函数一 般是就数的对应而言, 而映射与变换一般是就 点的对应而言的. 放映结束，按Esc退出. 33 例2 解 34 所以象的参数方程为 35
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