基本初等函数的导数公式及四则运算(4).ppt

常见函数的导数及四则运算 高二理科一二班卢 二、几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 公式1: = 0 (C为常数) 公式2: . 公式3: 公式4: 公式5:对数函数的导数 公式6:指数函数的导数 注意:关于 是两个不同 的函数,例如: 总结：我们今后可以直接使用的基本初等函数 的导数公式 例1：求下列函数的导数 例2: 例3.求下列函数的导数 例4.求下列函数的导数 (三)函数的和、差、积、商的求导法则 设f(x)、g(x)是可导的 （1 ） （2 ） （3 ） 特殊地（c为常数） 注意：1、前提条件导数存在； 、和差导数可推广到任意有限个； 、商的导数右侧分子中间“”， 先 子导再母导。 例 2 设 y = xlnx ， 求 y . 解 根据除法公式，有 例 3 设求 y . 例4:求下列函数的导数: 答案: 例5. 如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 解: 切线与直线 y=4x+3 平行, 切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0 3x02+1=4. x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. 切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, - 12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8. =(x3+x-10) | x=x0 =3x02+1. 例6.若直线y=3x+1是曲线y=ax3 的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1, y0=ax03, 3ax02=3. 由,得3x0+1=ax03,由得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=1/2. 所以a(-1/2)2=1, 即:a=4 4.已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与 曲线 C 相切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标. 解: 由直线 l 过点(x0, y0)，其斜率 k= , x0 y0 点 (x0, y0) 在曲线 C 上, y0=x03-3x02+2x0. =x02-3x0+2. x0 y0 又 y=3x2-6x+2, 在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0. x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0.解得 x0= (x00). 3 2 这时 y0=- , k=- . 3 8 1 4 直线 l 的方程为 y=- x, 1 4 切点坐标是 ( , - ). 3 8 3 2 设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得: 故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0. 练习:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平 行且距离等于 ,求直线m的方程. 解： 令 切点为 所求切线方程为和 3.求曲线 上与 轴平行的切线方程. 4 、 求曲线y=xlnx平行于x-y+1=0的切线方程 解：设切点 切线的斜率为1 切线方程为y=x-1 即x-y-1=0 5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0 的最短距离 解：设曲线点在 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求 处的切线与2x-y+3=0 切点为（1，0） 小结:基本初等函数的导数公式 注意:牢记公式呦 （3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导 数” 之间的区别与联系。 三、巩固练习 则1、函数 、函数 的导数是 、函数 的导数是 、函数a=则 0或 解： （2）y=tanx 5、求下列函数的导数 （1）y=xsi