利用Mathematica计算中微子质量问题.doc

本科毕业论文题目：利用Mathematica计算中微子质量问题姓 名： 学 号： 院 系： 专 业： 导 师： 二一三 年 五 月I天 津 理 工 大 学本科毕业论文任务书题目：利用Mathematica计算中微子质量问题学生姓名 张海洋 届 2013 学院（系） 理学院 专业 应用物理 指导教师 刘继元 职称 讲师 下达任务日期 2012.12.01 利用Mathematica计算中微子质量问题 摘要粒子物理的标准模型在解释物质的微观结构及其相互作用取得了巨大成。自理论创建开始，它经受了几乎所有实验的检验，成功预言的粒子在实验上已经被发现,其中包括2012年才发现的Higgs粒子。但是在标准模型中，中微子是没有质量的，而中微子振荡实验却表明其是有质量的。这就使得实验事实超出了标准模型。此外，在已经运行的强子对撞机（LHC）上去寻找TeV能标的新物理信号，也是当今物理学的重要目标。这篇文章先是综述中微子研究的的历程,核心是计算在在考虑惰性大质量中微子的的影响下轻中微子的质量矩阵,并对角化其质量矩阵 。本文先从有理论推导得出的含惰性中微子的混合的质量矩阵出发，然后利用seesaw机制，分离出轻中微子的质量矩阵，接着利用PMNS矩阵对轻中微子质量矩阵进行对角化，进而得出轻中微子的质量。本文主要是利用mathematica这个数学软件来对角化在一个惰性中微子下作用的四代中微子质量矩阵和两个惰性中微子作用下的五代中微子质量矩阵关键字: seesaw机制 中微子质量 质量矩阵 对角化 Using the Mathematica to calculate neutrino massAbstractThe Standard Model of elementary particles is huge successful in the interpretation of the basic structure of matter and their interactions. Since theory is created, it experienced the test of nearly all of the experiment and successfully predict particle have been found in the experiment. But in the standard model, neutrinos are without quality, the neutrino oscillation experiments has shown that neutrino must be massive. This makes the experimental facts beyond the standard model. In addition, in an already running Hadron Collider (LHC) search TeV new physical signal is also the important target of physics today. This article first reviews the neutrino research course. The core is to calculate light neutrino mass matrix under the influence of sterile neutrinos. And make the quality matrix diagonalization. This article first derived from the theory of mass matrix of the mixture of sterile neutrinos . Using the method of seesaw isolated light neutrino mass matrix and the light neutrinos mass matrix can be diagonalized by the PMNS matrix and the light quality of neutrinos are obtained. In the third chapter, a mass matrix is diagonalized under the influence of a sterile neutrino. While in the fourth chapter, a mass matrix is diagonalized under the influence of two sterile neutrinos.Key words: Seesaw mechanism Neutrino mass Mass matrix Diagonalization 目 录第一章 引言- 1 -第二章 中微子的基本理论- 5 -2.1 概述- 5 -2.2 中微子发现- 6 -2.3 太阳微中子、大气微中子及微中子振荡- 8 -2.4 PMNS矩阵的介绍- 11 -第三章 四代中微子质量矩阵的对角化- 14 -3.1 特殊矩阵的对角化方法- 14 -3.2 质量矩阵子矩阵的对角化- 16 -3.3 总质量矩阵的对角化- 20 -第四章 五代中微子质量矩阵的对角化- 23 -4.1 质量矩阵的简化- 23 -4.2 子矩阵的对角化- 24 -4.3 总质量矩阵的对角化- 34 -第五章 总结与展望- 37 -参考文献- 39 -附录I 四代中微子的计算程序- 40 -附录II 五代中微子的计算程序- 44 -致谢- 51 -天津理工大学2013届本科毕业论文第一章 引言 查得威克于1941年的衰变实验拉开了中微子物理的序幕。当时实验结果表明，衰变产生的电子能谱是连续的，而如果衰变是两体衰变，根据能量守恒定理，电子能量是确定的单一的。为了解释这个理论与实验的矛盾，泡利大胆提出在衰变过程中还存在质量很轻的，粒子自旋为1/2的一种新的粒子，当时泡利将其命名为中子1。之后1932年中子被查得威克发现，费米才将这个新粒子命名为中微子。由于中微子只参加弱相互作用，与其他粒子和物质之间的相互作用极其微弱，正是由于这种诡异的性质，所以直到1956年人们才在实验上首次探测到中微子的存在。 在理论方面,中微子的振荡概念与中性介子系统中的振荡类似,由Pontecorvo于1957年最先提出的。在被发现后，1962年，Maki等人提出两代中微子混合，接着1967年，Pontecorvo提出了两代中微子混合于振荡概念。1985年Mikheyev和Smirnov基于Wolfenstein的工作提出了太阳中微子在传播过程中由于物质效应会使得混合出现共振现象，这就是MSW效应。之后两年，Bilenky首次研究了三种味道中微子之间的混合。至此，中微子振荡的基本理论已完全建立起来了。另一方面，与此相关的粒子物理标准模型也发展起来4。 费米于1934年提出了弱相互作用的四费米子的相互作用理论。1956年两分量理论的建立和弱相互合作用下的宇称不守恒的发现，使人们在之后建立的标准模型的时候认为中微子是没有质量的粒子。而在1958年，费曼和盖尔曼与马尔萨克和苏达珊两组理论家几乎同时提出了“VA”理论用来修改费米理论。按照VA理论，中子与质子或中微子与电子不仅形成了矢量流(V)，而且还形成了一种轴矢量流(A)。流流耦合还是对的，只不过现在的流是矢量流与轴矢量流的组合。V和A在空间反射变换下符号的变化刚好相反，所以“VA”理论中的拉格朗日函数包括的两项在空间反射变换下符号的变化相反，变换后的拉格朗日函数与变换以前不再相同，不变性不再存在。VA理论尽管有许多成功之处，但它没有改变四个粒子点作用的基本形式，因而费米理论的一些严重的困难问题仍然没有得到解决。1961年，Sheldon Glashow提出了对称性的电弱统一理论。格拉肖首先意识到，要同时描写弱作用和电磁作用，内部对称性应当扩大，即除了弱同位旋以外还应加上弱超荷。这时中性规范玻色子就有两个，混合后一个即为光子，另一个具有质量，称为Z粒子，它与一个形式很特殊的中性弱流相耦合。1964年，萨拉姆和沃德在不知道Sheldon Glashow工作的情况下，提出了类似的理论。但是Sheldon Glashow的这个理论并不是严格的非阿贝耳规范场理论，因为这个理论中加进了中间玻色子的质量项。Sheldon Glashow曾认为这样的具有部分规范对称性的理论仍然是可重正化的，后来知道这个结论并不正确。实际上只有在引入对称性自发破缺概念之后，才有可能建立一个既可重正化又使中间玻色子具有质量的电弱统一理论。1967年，温伯格将规范理论和对称性自发破坏的概念用到电弱作用中，提出了一个可重正化的理论，统一处理轻子的电磁作用和弱作用，其中所采用的规范对称性即为格拉肖所提出的弱同位旋和弱超荷对称性。1968年萨拉姆也提出了类似的理论模型。这一模型因而被称为格拉肖-温伯格-萨拉姆电弱统一理论模型。1970年Sheldon Glashow等人提出了GIM机制，通过引入Charm夸克来避免夸克混合出现的奇异数改变中性流5。特霍夫特与威特曼于1971年一起证明了该理论的可重整性6,7。1973年，小林和益川将夸克推广到三代，并给出了CKM矩阵8,9。至此，弱电统一理论完全建立起来。近几十年来，中微子实验取得了许多重大突破性进展。其中包括三代中微子的发现：1956年，莱茵斯和苛万等人在反应堆中率先观测到电子中微子e；1962年，美国布鲁克海文国家实验室的物理学家利昂莱德曼等人发现了中微子有“味”的属性，证实了中微子和电中微子是不同的中微子。他们也因此获得1988年的诺贝尔物理学奖；2000年7月21日，美国费米国家实验室宣布发现了子中微子存在的证据。关于中微子振荡方面：20世纪60年代晚期，美国南达科他州矿井中的Homestake实验首次测量了太阳产生的中微子的流量10，发现大约只有根据标准太阳模型计算出来的三分之一。这就是经常提到的太阳中微子之谜的开端。1998年，超级神冈探测器首次发现了中微子振荡的确切证据，表明三种中微子是可以互相转换的，为解决太阳中微子问题指明了道路。2001年，加拿大的萨德伯里中微子天文台发表了测量结果，探测到了太阳发出的全部三种中微子，证实了太阳中微子在达到地球途中发生了相互转换，三种中微子的总流量与标准太阳模型的预言相符合，基本上有解释了太阳中微子失落的部份。还有CHOOZ11等反应堆实验给出了最小中微子混合角的实验上限和其他一些和中微子相关的实验，例如无中微子的双衰变、末态含有中微子的衰变等。大亚湾中微子实验所发现了一种新的中微子振荡，并精确测量到其振荡几率，即物理学中的基本参数中微子混合角13 。介绍该结果的论文在美国物理评论快报发表。该发现是对自然界最基本的物理参数的测量，被认为是对物质世界基本规律的新的认识。还有地中海和南极的中微子实验，都将对中微子振荡参数和性质给出更加精确的结果。很多粒子物理和核物理的过程中都伴随着中微子的产生，例如恒星内的反应，超新星的爆炸，宇宙射线，天然的放射性，核反应堆等等。宇宙中存在大量的中微子，其中大部分为宇宙大爆炸所残留的，所以每时每刻都有大量中微子在宇宙中各个角落穿梭，然而却长期不为人所知。中微子质量很小，电荷量为零，不与大多数物质发生相互作用，这也是我们长期以来对其一无所知的原因。粒子物理的标准模型在描述物质结构和基本粒子相互作用方面取得了极大地成功，其中就预言无质量的中微子。而大量中微子实验表明，中微子存在很小的质量且不同味的中微子之间存在混合，这就使得中微子成为具有确凿证据的超出标准模型的新物理。如何在不违背已有的低能物理条件限制下，去扩充标准模型用以解释中微子质量问题已经成为了粒子物理学的一个热点问题。本文主要考虑通过对标准场扩充解释中微子质量，而解释中微子质量的Seesaw机制就属于这一类情况。由于中微子质量矩阵的对角化工作十分复杂，故借助一款逻辑运算功能强大的数学软件Mathematica来帮助我们完成计算工作。Mathematica是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于世界领先地位，截至2013年，它也是为止使用最广泛的数学软件之一。Mathematica的发布标志着现代科技计算的开始。Mathematica是世界上通用计算系统中最强大的系统。自从1988发布以来，它已经对如何在科技和其它领域运用计算机产生了深刻的影响。最初，Mathematica的影响主要限于物理学、工程学、和数学领域。但是，随着时间的变化，Mathematica在许多重要领域得到了广泛的应用。它已经被应用于科学的各个领域-物理、生物、社会学、和其它。许多世界顶尖科学家都是它的忠实支持者。它在许多重要的发现中扮演着关键的角色，并是数以千计的科技文章的基石。在工程中，Mathematica已经成为开发和制造的标准。世界上许多重要的新产品在它们的设计某一阶段或其它阶段都依靠了Mathematica的帮助。在商业上，Mathematica在复杂的金融模型中扮演了重要的角色，广泛地应用于规划和分析。同时，Mathematica也被广泛应用于计算机科学和软件发展：它的语言元件被广泛地用于研究、原型、和界面环境。本文主要利用Mathematica软件在物理研究中的广泛的应用,例如强大的符号运算功能,可以进行繁琐的公式推导等等,只要掌握一些常用的命令,就能解决许多物理难点问题,这样将有助于大大减少因为复杂计算所带来的错误和不必要的时间浪费。本文计算所用的软件版本为Mathematica 9。相比其他版本增加新的重要计算领域，引入新的接口范式，进一步增强了mathematica的基础算法，知识引擎和接口功能。新添加了一些主要的性能和质量改进功能，进一步拓展了Mathematica 9 算法、知识和界面功能。本文组织的结构如下：第二章介绍中微子基本理论。第三章计算四代中微子矩阵的对角化。第四章计算五代中微子的对角化。第五章是总结与展望。第二章 中微子的基本理论21 概述近几年来,中微子物理研究进行得如火如涂, 主要原因1998 年日本Super-Kamiokande 实验组的重大发现。该实验发现大气中微子在抵达地底探测器途中发生振荡现象,即从某一类中微子变换成另一类中微子。这种振荡现象属于量子效应,起 因于中微子弱作用本征态与其质量本征态不同,并且质量本征值之间互不相等。中微子振荡并非新观念,理论上早有人提出,只是实验上一直未能证实,因此也凸显 Super-Kamiokande 实验的重要性。Super-Kamiokande探测器位于日本岐阜县飞騨市神冈町（旧吉城郡）神冈矿山的一个深达1000米的废弃砷矿中，主要部分是一个高41.4米、直径39.3米的圆柱形容器，盛有5万吨高纯度的水，容器的内壁上安装有11200个光电倍增管，用于探测高速中微子在水中通过时产生的切连科夫辐射。切连科夫辐射是介质中运动的物体速度超过该介质中光速时发出的一种以短波长为主的电磁辐射，其特征是蓝色辉光。根据狭义相对论，具有静质量的物体运动速度不可能超过真空中的光速c，而光在介质中的传播速度（相速度）是小于c的，例如在水中（折射率n为1.33）光仅以0.75c的相速度在传播。物体可以被加速到超过介电质中的光相速，加速的来源可以是核反应或者是粒子加速器。带电粒子以超过介质中的光速穿过介质时，会发出切连科夫辐射。1998年，位于日本神冈的Super-Kamiokande实验观测到大气中微子的上下的不对称性，这对总结多年实验事实而发展起来的粒子物理标准模型认为中微子的质量为零,在相互用中轻子数守恒,中微子不会从一种类型变成另一种类型的观点相互矛盾。这次实验给出了大气中微子振荡的十分有力的证据。实验发现了中微子振荡,表明中微子具有质量,可以从中微子变成其他类型的中微子,而且轻子数不守恒,这就不符合粒子物理标准模型, 预示着这个发现将会推动这粒子物理学的快速发展。2.2中微子发现中微子是泡利于1930年为了解释核的衰变中电子的能量是一个连续谱而假设存在的粒子。可是人们一直未能从实验上证明中微子的存在。 衰变的示意图如下: 初态 末态图 2.1:衰变示意图Fig. 2.1: Beta decay schematic diagram上图显示一个原子序为Z,原子量为A 的核子 转换成原子序为Z+1,原子量为A 的核子,并放出一个电子。如果衰变的末态仅有两个粒子,则 依据能量、动量守恒,末态粒子只能有一种方式瓜分初始态的总动能,然而实验上所测得的电子动能能谱却呈现宽广分布如图二所示:电子数图 2.2:衰变之电子动能能谱Fig.2.2: Electron kinetic energy spectrum of beta decay 以当初的实验精度,物理学家发现电子的极大动能Temax正好等于核子的能量差(MZ+1,A-MZ,A)c2。有中微子带走一部份动能,电子能谱的连续分布现象就很容易解释了。Pauli 假设中微子跟其他粒子的作用十分微弱,因此在实验室中尚未被观测到,他也假设中微子为电中性、无质量且自旋为1/ 2 的粒子。电中性的假定是为了维持电荷守恒;无质量的假定 是由于电子能谱的顶点Temax 已经和核子能量差 (MZ+1,A-MZ,A)c2相等,再也没有多余能量可以给中微子带走。如果中微子有质量M,则中微子 至少可以带走Mc2的能量,和上述观察矛盾;自 旋1/ 2 的假定是为了保证角动量守恒。Pauli对中微子的性质描述并未随着粒子物理的发展而受到挑 战,至少Glashow, Salam 及Weinberg 的粒子物理标准模型中, 中微子仍被视为无质量的粒子,并具有上述其他性质。这项认知直到1998 年才有改变。由于微中子的作用很微弱,使得侦测微中子成为实验物理学家的一大挑战。1956年F. Reines和C. Cowan利用核反应堆作中微子源,产生反应: +pn+e+ （2.21）采用二氯化镉和水作靶、中子慢化剂和吸收体,采用液体闪烁体作探测器,探测由这个反应产生的正电子和中子。由于上述实验的成功Reines获得1995年诺贝尔物理奖。1956年二分量理论的建立,还有宇称不守恒的发现使人们认为中微子质量为零。两年后Goldhaber用实验测量了中微子的螺旋度,在实验误差允许范围中微子的螺旋度为- 1,即中微子是左旋的，由此可知在实验误差内，中微子的质量为零。 1962 年,L.Lederman, M .Schwartz, J.Steinberger 及他们的合作者发现了第二类中微子12 ,这类中微子被命名为,有别于 衰变中的中微子e,在本实验之前,物理学家普遍认为中微子 只有一类,即使他们知道中微子亦可从 介子及 轻子的衰变而来,如 +, -+, +e+. （2.22）Schwartz 等人利用Brookhaven 国家实验室的 Alternate Gradient Synchrotron(A. G. S)设施产生 介子,再让 介子衰变出的中微子与核子碰撞产生 带电粒子。实验分析显示这些带电粒子为 轻子, 因此证实 介子衰变出的中微子有别于衰变中的中微子e 。公元2000年,美国费米国家实验室13第 一次直接观测到第三类中微子 。 2.3 太阳微中子、大气微中子及微中子振荡自从物理学家发现微中子后, 微中子束被广泛应用于粒子物理研究:重要成果包括发现中性流(Neutral Current)及精密测量电弱交互作用等。在这一节,我将介绍非加速器微中子物理。在此微中子不是来自实验室,而是来自我们熟悉的天文环境如大气层或太阳。从大气或太阳来的微中子带给我们什么讯息得从微中子的振荡(neutrino oscillation )说起。 前面提过中微子一直被视为无质量,然而 限于实验精确度,很难证明中微子质量的确为零。 反之,如果微中子有质量,即使是很小,只要不同类中微子具有不同质量,则任一类中微子在诞生之后都可能转换成另一类中微子2,例如e 在诞生之 后有某些机率会转成 或,这叫作中微子振荡 。为方便说明起见,我们先假定只有两类中微子。即e与 。通常我们叫e 及 为弱作用本征 态,因为它们是经由弱作用而产生,如前者是由 衰变产生,而后者是由 介子衰变产生3。由于弱作用本征态并不一定要等于质量本征态,因此e 及 可写成质量本征态1及2的线性组合: （2.31）假定在时间t =0 时e经由 衰变产生,则 （2.32）到了时间t,质量本征态分别演变为 （2.33）其中 （2.34）因此 （2.35）如果两质量本征值不相等,即 则意味e(t) 与 不再互相垂直,换言之, e(t)里已经有的成分,我们可以计算在此时刻e(t)究竟有多少机率是以形式存在（2.36）由于中微子速度已近光速,上式可改写成 （2.37）其中是中微子在时间t 所走的距离,A 是所谓的 振荡长度(oscillation length ) （2.38）从第(5 )式可知中微子一定要运动大约L/2 的距离后,才有显著的振荡产生当然微中子振荡的机率还跟有关,当 而当 恒为零。1998年,日本Super-Kamiokande 实验发表大 气微中子观测结果 ,该实验测量 与e流量比值与Monte-Carlo 仿真所得的流量比值作比较,即测量比值 R=jjedate/jjeMC (2.39)实验测得R 为0.6左右,显然 比预期要少。我们知 道大气微中子主要由宇宙线粒子与大气分子碰撞 产生 介子,再从 介子衰变而来,反应过程如下: + , +e+e -+ , -+e-+e (2.310)从以上反应式我们知道 的产量是e 的两倍,如 果没有振荡发生,则位于地底下的 Super-Kamiokande 侦测器测到的e值应该和产量比相同。既然实验测得的 流量比预期少,有可能意味 振荡到别种中微子。为了检验这项假 定,Super-Kamiokande 研究 流量是否和中微子入射角度有关:例如从天顶下来的微中子仅走了一 段大气曾就到达侦测器,反之从地球另一端穿上来的中微子则走了至少地球直径的距离。图2.3：大气中微子行进路径Fig.2.3: Atmospheric neutrinos travel path2.4 PMNS矩阵的介绍在粒子物理学中，庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵（英语：Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata Matrix，简称PMNS矩阵），又称牧-中川-坂田矩阵（MNS矩阵）、轻子混合矩阵或中微子混合矩阵，是一个幺正矩阵，内含自由转播中与弱相互作用中的轻子间量子态的相异之处，因此是研究中微子振荡的重要工具。此矩阵最早由牧二郎、中川昌美与坂田昌一于1962年提出，用于解释布鲁诺庞蒂科夫所预测的中微子振荡现象。三代中微子的混合矩阵如下： 。 (2.41)其中左边的是参与弱相互作用的中微子场，而右边的是PMNS矩阵，还有一个由中微子场本征态组成的矢量，将中微子质量矩阵对角化后可得这个矢量。PMNS矩阵描述某种味进入质量本征态的概率。这些概率与Ui2成正比。这个矩阵有好几种不同的参数化，但是由于中微子探测的难度，各参数的测量要比这个矩阵的夸克对应版本（CKM矩阵）要难得多。这个矩阵最常见的参数组为三个混合角（即、及）与一个相位。Ue1Ue2Ue3U1U2U3U1U2U3=cos12cos13sin12cos13sin13e-i-sin12cos23-cos12sin23sin13eicos12cos23-sin12sin23sin13eisin23cos13sin12sin23-cos12cos23sin13ei-cos12sin23-sin12cos23sin13eicos23cos13(2.42)从2011年以前的实验结果得知，混合角12约为 45 度，23约为 34 度，而13则小于 4 度。作为这项研究的一个起步点，以下是一份近期讲义中引述的矩阵参数约化值 （当中假设13=0，因此矩阵中无虚数项。 这样的假设在2011年以前与实验结果并无冲突，然而T2K、Double Chooz以及大亚湾等实验结果都指出130，其值约为 8.8 度。）(2.43)第三章 四代中微子质量矩阵的对角化本文的核心就是利用seesaw模型求解四代和五代中微子的质量矩阵。由于计算量很大，本章计算全部利用拥有强大逻辑运算功能的数学软件Mathematica，详细程序见附录I。3.1 特殊矩阵的对角化方法考虑一个惰性中微子作用下的质量矩阵，形式如下MN=0002u10002u20002u32u12u22u3M1 (3.11)其中，我们有近似条件： M1为了简化计算可以令M1=MRk=/(2MR) MN=MR000ku1000ku2000ku3ku1ku2ku31 (3.12)以下就是对角化这个质量矩阵，由于MN是一个复数矩阵，不能简单的用求解本征值的方法，由于MN矩阵的特殊形式，可以采取以下解法分次来对角化。由于一个形如AccB的矩阵可以用如下方法来对角化(3.13)各个参数的关系如下 (3.14)如果令A=0，B=1，c1则有 (3.15)此近似对角化的方法同样适用于复数矩阵。在复数矩阵中U中有 （3.16） (3.17)这样就把一个形如M的矩阵对角化了。3.2 质量矩阵子矩阵的对角化所以为了对角化MN矩阵，我们可以把MN矩阵拆成多个形如M的矩阵，进行逐一对角化，求出其幺正矩阵U。为了满足M的形式，我们可以把MN拆成3个矩阵，M14，M24，M34先在Mathematica的命令窗口中输入ku1=k Absu1 ExpI Argu1;ku2=k Absu2 ExpI Argu2;ku3=k Absu3 ExpI Argu3;来定义我们所要用到的复数变量，然后输入如下矩阵。M14=000ku100000000ku1001 （3.21）M24=0000000ku200000ku201 （3.22）M34=0000000ku3000000ku31 （3.23）下面就是对角化M14，M24，M34这3个矩阵。先对角化M14M14=000ku100000000ku1001 （3.24）根据前面多介绍的的特殊矩阵的近似幺正矩阵的推导结果，可以写出M14对应的近似的幺正矩阵。U14=1-ku12/200ku1*01000010-ku1001-ku12/2 （3.25）然后在Mathematica中输入NormalSimplifyUlh=TransposeU14.M14.U14,Assumptions-Elementk,Reals/FullSimplifyMatrixForm%所得的如下矩阵就是经过近似幺正矩阵所对角化出来的，但是很显然，此矩阵并不是我们所要的对角化矩阵，所以还需要进一步的处理。U14TM14U14=-k2u12+k4u13u1*001/4k3u1u12(-6+k2u1u1*)000000001/4k3u1u12(-6+k2u1u1*)001-34k4u14+k2u1u1*（3.26）因为是近似的幺正矩阵，所以在非主对角线上的仍然会存在非零k的高次项。由于 M1所以 k1故我们可以近似略去k的3次以上的高次元素，在Mathematica输入NormalSeriesSimplifyUlh=TransposeU14.M14.U14,Assumptions-Elementk,Reals,k,0,2/FullSimplifyMatrixForm%这样，我们就把3次和3次以上的高次项除去了，如下矩阵，很显然已经是一个很好的对角化的矩阵了。U14TM14U14=-k2u12000000000000001+k2u1u1* （3.27）由此完成了对M14的对角化工作。已知M24=0000000ku200000ku201 （3.28）可以对应写出M24对应的近似的幺正矩阵U24=100001-ku22/20ku2*00100-ku201-ku22/2 （3.29）命令窗口中输入NormalSimplifyUlh=TransposeU24.M24.U24,Assumptions-Elementk,Reals/FullSimplifyMatrixForm%可得到如下，非对角的矩阵U24TM24U24=00000-k2u22+k4u23u2*01/4k3u2u22(-6+k2u2u2*)000001/4k3u2u22(-6+k2u2u2*)01-34k4u24+k2u2u2* （3.210）因为是近似的幺正矩阵，所以在非主对角线上的仍然会存在非零k的高次项。由于 M1所以 k1所以我们可以近似略去k的3次以上的高次元素。输入命令NormalSeriesSimplifyUlh=TransposeU24.M24.U24,Assumptions-Elementk,Reals,k,0,2/FullSimplifyMatrixForm%所以可得U24TM24U24=00000-k2u220000000001+k2u2u2* （3.211）由此完成了对M24的对角化工作。然后是M34的对角化，已知M34于下：M34=0000000ku3000000ku31 （3.212）可以写出M34对应的近似的幺正矩阵U34：U34=10000100001-ku32/2ku3*00-ku31-ku32/2 （3.213）命令窗口中输入NormalSimplifyUlh=TransposeU34.M34.U34,Assumptions-Elementk,Reals/FullSimplifyMatrixForm%得到如下非对角矩阵U34TM34U34=0000000000-k2u32+k4u33u3*1/4k3u3u32(-6+k2u3u3*)001/4k3u3u32(-6+k2u3u2*)1-34k4u34+k2u3u3* （3.214）因为是近似的幺正矩阵，所以在非主对角线上的仍然会存在非零k的高次项。由于 M1所以 k1所以我们可以近似略去k的3次以上的高次元素。在命令窗口中输入NormalSeriesSimplifyUlh=TransposeU34.M34.U34,Assumptions-Elementk,Reals,k,0,2/FullSimplifyMatrixForm%所以可得U34TM34U34=0000000000-k2u3200001+k2u3u3* （3.215）由此完成了对M34的对角化工作3.3 总质量矩阵的对角化由于U14，U24，U34可以近似的对角化M14，M24，M34，所以可得：Ulh=U14U24U34为得到Ulh的符号矩阵，需要在命令窗口中输入NormalSeriesSimplifyUlh=U14.U24.U34,Assumptions-Elementk,Reals,k,0,2/FullSimplifyMatrixForm%得到如下图的矩阵Ulh=1-12k2u12-k2u2u1*-k2u3u1*ku1*01-12k2u22-k2u3u2*ku2*001-12k2u32ku3*-ku1-ku2-ku31-12k2(u12+u22+u32) （3.216）Ulh为MN的近似幺正矩阵，可以近似对角化分块矩阵MN。为了对角化MN，在命令窗口中输入NormalSeriesSimplifyTransposeUlh.MN.Ulh,Assumptions-Elementk,Reals,k,0,2/FullSimplifyMatrixForm%得到如下分块对角化的矩阵UlhTMNUlh=-k2u12-k2u1u2-k2u1u30-k2u1u2-k2u22-k2u2u30-k2u1u3-k2u2u3-k2u3200001+k2(u12+u22+u32)（3.217）取左上33矩阵组成Mlight，如下：Mlight=-k2u12-k2u1u2-k2u1u3-k2u1u2-k2u22-k2u2u3-k2u1u3-k2u2u3-k2u32 （3.218） Mlight即为在一个惰性中微子的影响下的轻中微子的质量矩阵，由此解法可以看出当我们用seesaw解法给质量较大的惰性中微子一个很小的微扰的话，这样所求的轻中微子矩阵也会出现一个很小的数值，由此就可以确定轻中微子的质量矩阵。接下来就是利用PMNS矩阵来对角化轻中微子质量矩阵UPMNS+MlightUPMNS*=diag(m1,m2,m3) （3.219）这样在四代模型下的中微子质量已经求出，下面是五代模型下的中微子质量的求解。第四章 五代中微子质量矩阵的对角化五代中微子质量计算与四代相似，同样需要利用Mathematica来完成，计算程序见附录II4.1 质量矩阵的简化在五代模型下，我们假定存在两个惰性中微子影响下的质量矩阵，形式如下MN=0002u12v10002u22v20002u32v32u12u22u3M102v12v22v30M2 （4.11）M1，M2分别为两个惰性中微子的质量，为了使计算简化，我们假定M1=M2=MR则有MN=MR000ku1kv1000ku2kv2000ku3kv3ku1ku2ku310kv1kv2kv301 （4.12）为了使形式简化，令k=/(2MR)则有MN如下MN=MR000ku1kv1000ku2kv2000ku3kv3ku1ku2ku310kv1kv2kv301 （4.13）4.2 子矩阵的对角化下面的工作和四代中微子的解法类似，就是对角化MN这个分块矩阵，进而求解出轻中微子的质量矩阵。为了对角化MN，必须先找出其近似的的幺正矩阵，方法还是把MN拆开，逐一的求解每一部分的幺正矩阵，再把各个幺正矩阵相乘，求出MN的近似幺正矩阵。1.首先把含有ku1项的行列对应的四个元素保持不变，其它元素设为0，可得M14=000ku100000000000ku1001000000 （4.21）由求解四代中微子时的求近似幺正矩阵的方法可以得出M14的近似的幺正矩阵U14=1-ku12/200ku1*00100000100-ku1001-ku12/2000001 （4.22）然后再求近似对角化后的M14，在命令窗口中输入NormalSimplifyUlh=TransposeU14.M14.U14,Assumptions-Elementk,Reals/FullSimplifyMatrixForm%得到如下非对角的矩阵U14TM14U14=-k2u12+k4u13u1*001/4k3u1u12(-6+k2u1u1*)000000000001/4k3u1u12(-6+k2u1u1*)001-34k4u14+k2u1u1*000000（4.23）很显然矩阵里含有k的高次项，由于 k1所以可以近似略去k的3次以上的元素，输入：NormalSeriesSimplifyUlh=TransposeU14.M14.U14,Assumptions-Elementk,Reals,k,0,2/FullSimplifyMatrixForm%近似后可得U14TM14U14=-k2u12000000000000000001+k2u1u1*000000 (4.24)这就完成了M14的对角化。2.再把含有ku2项的行列对应的四个元素保持不变，其它元素设为0，可得M24=00000000ku20000000ku201000000 (4.25)由求解四代中微子时的求近似幺正矩阵的方法可以得出M24的近似的幺正矩阵U24=1000001-ku22/20ku2*0001000-ku201-ku22/2000001 (4.26)然后再求近似对角化后的M24，输入：NormalSimplifyUlh=TransposeU24.M24.U24,Assumptions-Elementk,Reals/FullSimplifyMatrixForm%得到如下非对角矩阵U24TM24U24=000000-k2u22+k4u23u2*01/4k3u2u22(-6+k2u2u2*)00000001/4k3u2u22(-6+k2u2u2*)01-34k4u24+k2u2u2*000000 (4.27)很显然矩阵里含有k的高次项，由于 k1所以可以近似略去k的3次以上的元素，输入程序NormalSeriesSimplifyUlh=TransposeU24.M24.U24,Assumptions-Elementk,Reals,k,0,2/FullSimplifyMatrixForm%近似后可得U24TM24U24=000000-k2u22000000000001+k2u2u2*000000 (4.28) 这就完成了M24的对角化。3.再把含有ku3项的行列对应的四个元素保持不变，其它元素设为0，可得M34=00000000ku300000000ku31000000 (4.29)由求解四代中微子时的求近似幺正矩阵的方法可以得出M34的近似的幺正矩阵U34=1000001000001-ku32/2ku3*000-ku31-ku32/2000001 (4.210)然后再求近似对角化后的M34，输入程序NormalSimplifyUlh=TransposeU34.M34.U34,Assumptions-Elementk,Reals/FullSimplifyMatrixForm%可得非对角化的矩阵如下U34TM34U34=000000