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唐山市20122013学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题A卷:BDCABCBABDCAB卷:DABCCABDADBD二、填空题(13)54(14)6(15)100p(16)100三、解答题(17)解:由余弦定理得,a2b2c22bccosA,将已知条件代入上式,得acbcc2,则bca,再由正弦定理,sinBsinCsin4分又sinCsin(B)cosBsinB,所以sinBcosB,即sin(B)10分因为B,所以B,即B12分(18)解:()由题意得列联表:语文优秀语文不优秀总计外语优秀60100160外语不优秀140500640总计200600800因为K216.66710.828,所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系5分()由已知数据,语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是则XB(3,),P(Xk)C()k()8k,k0,1,2,3X的分布列为X0123p10分E(X)312分(19)解:()连接B1C交BC1于点P,连接PQ因为直线AB1平面BC1Q,AB1平面AB1C,平面BC1Q平面AB1CPQ,所以AB1PQABCQA1B1C1Pxyz因为P为B1C的中点,且AB1PQ,所以,Q为AC的中点4分()如图建立空间直角坐标系设ABBCa,BB1b,则面BC1C的法向量为m(1,0,0)B(0,0,0),C1(0,a,b),Q(a,a,0),(0,a,b),(a,a,b)因QC1与面BC1C所成角的正弦值为,故,解得ba.8分设平面C1BQ的法向量n(x,y,z),则即取n(1,2)10分所以有cosm,n故二面角Q-BC1-C的余弦值为12分(20)解:()f(x)lnx1axf(x)单调递减当且仅当f(x)0,即x(0,),a设g(x),则g(x)当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增;当x(1,)时,g(x)0,g(x)单调递减所以g(x)g(1)1,故a的最小值为15分()(1)由()知,当a1时,f(x)没有极值点(2)当a0时,f(x)单调递增,f(x)至多有一个零点,f(x)不可能有两个极值点7分(3)当0a1时,设h(x)lnx1ax,则h(x)a当x(0,)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(,)时,h(x)0,h(x)单调递减9分因为f()h()ln0,f()h()0,所以f(x)在区间(,)有一极小值点x110分由()中的式,有1,即lnxx1,则ln1,故f()h()ln22ln1ln22(1)1ln210所以f(x)在区间(,)有一极大值点x2综上所述,a的取值范围是(0,1)12分(21)解:()依题意,曲线E是以(0,m)为焦点,以ym为准线的抛物线曲线E的方程为x24my2分设动圆圆心为A(a,),则圆C方程为(xa)2(y)2(m)2,令y0,得(xa)2m2当a0时,圆C被x轴截得弦长取得最小值2m,于是m,故曲线E的方程为x22y5分()假设存在题设的公共点B(b,b2)圆C方程为(xa)2(ya2)2(a2)2,将点B坐标代入上式,并整理,得(ba)21(ab)2(a21)27分对yx2求导,得yx,则曲线E在点B处的切线斜率为b又直线AB的斜率k(ab)由圆切线的性质,有(ab)b18分由和得b2(b28)0显然b0,则b29分所以存在题设的公共点B,其坐标为(2,4),公切线方程为y2(x2)4或y2(x2)4,即y2x412分(22)证明:ABCDEO()连接BD,因为D为的中点,所以BDDC因为E为BC的中点,所以DEBC因为AC为圆的直径,所以ABC90,所以ABDE5分()因为D为的中点,所以BADDAC,又BADDCB,则DACDCB又因为ADDC,DECE,所以DACECD所以,ADCDACCE,2ADCDAC2CE,因此2ADCDACBC10分(23)解:()将椭圆C的参数方程化为普通方程,得1a2,b,c1,则点F坐标为(1,0)l是经过点(m,0)的直线,故m14分()将l的参数方程代入椭圆C的普通方程,并整理,得(3cos24sin2)t26tcos90设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则|FA|FB|t1t2|当sin0时,|FA|FB|取最大值3;当sin1时,|FA|FB|取最小值10分(24)解:()当a2时,f(x)2(|x2|x4|)当x4时,不等式不成立;当4x2时,由4x42,得x2;当x2时,不等式必成立综上,不等式
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