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数列求和的基本方法与技巧 福州三中金山校区 林继枫（350008）数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧。一、利用常用求和公式求和（定义法） 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5例1 求和：解：1、当x=0时，2、当x=1时，3、当x0,且x1时，.例2 已知，求。解：由 由等比数列求和公式得 二、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法。例3 求之和。解：由于 （找通项及特征） （分组求和）例4 已知数列：，求的值。解： （找通项及特征） （设制分组） （裂项） （分组、裂项求和） 三、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例5、求和:解:原式=例6 求数列的前项和：解：设将其每一项拆开再重新组合得 当时， 当时，例7 求数列的前项和。解：设 将其每一项拆开再重新组合得 四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例8、求和：分析：由=解：原式=例9 求数列的前项和。解：设 则 五错位相减求和法例10、求和：分析：原式等价于其中，象这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法.解：令 例11、求和：解：1、当a=1时，2、当a1时，1六、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例12 求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 .
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