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数学答案（理工类） 20165一、选择题：（满分40分） 题号12345678答案ABBCDAD C二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案，16,（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15（本小题满分13分）解：() 因为，且 ， 所以因为， 由正弦定理，得6分() 由得 由余弦定理，得 解得或（舍负） 所以 13分解: （）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25， 据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为 2600.25=65天. 5分（）由题意可知的可能取值为 且； ；所以 13分ECDBA图117（本小题满分14分）解：（）如图1，在等腰梯形中，由，为中点，所以为等边三角形如图2,CBFODA1E因为为的中点，所以又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以4分（）连结，由已知得，又为的中点， 图2 所以A1xzXyzXzzXFOBCDEP由（）知平面，所以，所以两两垂直以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）因为，易知所以，所以设平面的一个法向量为， 由 得 即 取，得设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为 9分（）假设在侧棱上存在点，使得平面 设，因为，所以易证四边形为菱形，且，又由（）可知，所以平面所以为平面的一个法向量由，得所以侧棱上存在点，使得平面，且 14分18（本小题满分13分）解：（）当时, ， 则，而 所以曲线在点(1,)处的切线方程为，即 4分（）依题意当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当时，恒成立 设，所以（1）当，即时，当时，为单调减函数，所以 依题意应有解得所以（2）若 ，即时，当，为单调增函 数， 当，为单调减函数 由于，所以不合题意 （3）当，即时，注意到，显然不合题意 综上所述， 13分19（本小题满分14分）解：（）依题意可知， 所以椭圆离心率为 3分（）因为直线与轴，轴分别相交于两点，所以令，由得，则 令，由得，则 所以的面积 因为点在椭圆上，所以 所以即，则 所以 当且仅当，即时，面积的最小值为 9分（）当时，当直线时，易得，此时， 因为，所以三点共线 同理，当直线时，三点共线当时，设点，因为点与点关于直线对称， 所以整理得解得 所以点 又因为， 且 所以所以点三点共线 综上所述，点三点共线 14分20（本小题满分13分）证明：（）当时，令，,则, 且对，都有，所以具有性质相应的子集为， 3分（）若,由已知,又,所以所以 若,可设，,且， 此时 所以，且所以若, ,，则,所以又因为，所以所以所以综上，对于，都有 8分（）用数学归纳法证明（1）由（）可知当时，命题成立，即集合具有性质（2）假设()时，命题成立即，且，都有那么 当时，记,， 并构造如下个集合：,， 显然又因为，所以 下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素 若两个元素,则,
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